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全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺第二篇第4讲数列问题理
全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺第二篇第4讲数列问题理
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第4讲 数列问题题型一 数列通项与求和例1 (12分)(2022·江西)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1·bn=0.(1)令cn=,求数列{an}的通项公式;(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.规范解答解 (1)因为bn≠0,所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,得-+2=0,[2分]即-=2,[3分]所以cn+1-cn=2,所以{cn}是以c1==1为首项,2为公差的等差数列,[5分]所以cn=1+(n-1)×2=2n-1.[6分](2)因为bn=3n-1,cn=2n-1.所以an=cnbn=(2n-1)3n-1.[7分]所以Sn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)3n-1,3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,[9分]作差得:-2Sn=1+2(31+32+…+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n,[11分]所以Sn=(n-1)3n+1.[12分]评分细则第(1)问得分点1.利用已知条件合理转化得2分.2.写成等差数列定义形式得1分.3.得出其首项、公差进而写出通项得3分.第(2)问得分点1.由bn=3n+1,cn=2n-1,得到{an}的通项得1分.6\n2.在等式两端同乘以3给2分.3.错位相减给1分.4.错位相减后求和正确得2分.5.最后结果整理得1分.第一步:由已知条件确定{an}是等差数列还是等比数列;第二步:由等差数列或等比数列通项公式求得{an}的通项公式;第三步:分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如:公式法、裂项法,本题用错位相减法);第四步:明确规范表述结论;第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.如本题中在求an时,易忽视对n=1,n≥2时的讨论.跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn(其中k∈N*),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an;(2)求数列的前n项和Tn. 题型二 数列与函数、不等式的综合问题6\n例2 (12分)(2022·浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=()bn(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求an与bn;(2)设cn=-(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn;②求正整数k,使得对任意n∈N*,均有Sk≥Sn.规范解答解 (1)由题意知a1a2a3…an=()bn,b3-b2=6,知a3==()6=8.[2分]又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列{an}的通项为an=2n(n∈N*),[4分]所以,a1a2a3…an==()n(n+1).故数列{bn}的通项为bn=n(n+1)(n∈N*).[6分](2)①由(1)知cn=-=-=-(n∈N*),Sn=-(1-+-+…+-),所以Sn=-(n∈N*).[8分]②因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,[9分]当n≥5时,cn=,而-=>0,得≤<1,所以,当n≥5时,cn<0.[11分]综上,对任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.[12分]评分细则6\n第(1)问得分点1.利用已知条件得到a3=8得2分;得出b2,b3的关系式也给1分.2.解对an=2n得2分,求出q可得1分,但q=-2不舍去不得分.3.解出bn得2分.第(2)问得分点1.裂项得1分,求和写出正确结果得1分,不管过程有无.2.验算前4项给1分.3.验算后给出最后结果给2分.4.证明方式不唯一,只要论证合理,同样得分.第一步:由已知条件和数列性质求基本量,确定数列的特性(等差或等比数列);第二步:求出an或Sn的通项公式;第三步:分析an,Sn涉及的函数或不等式,利用相关函数或不等式性质解决题目中的问题;第四步:得出结果,叙述完整;第五步:回顾反思.查验“n”的取值是否符合要求,运算过程是否有不当之处.跟踪训练2 已知点是函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象上的一点.等比数列{an}的前n项和为f(n)-c.数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+(n≥2).(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若数列的前n项和为Tn,问满足Tn>的最小正整数n是多少? 6\n答案精析第4讲 数列问题跟踪训练1 解 (1)当n=k∈N*时,Sn=-n2+kn取最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而an=Sn-Sn-1=-n(n≥2).又a1=S1=,所以an=-n.(2)因为bn==,Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++,所以Tn=2Tn-Tn=2+1++…+-=4--=4-.跟踪训练2 解 (1)∵f(1)=a=,∴f(x)=x.由题意知,a1=f(1)-c=-c,a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-,a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-.又数列{an}是等比数列,∴a1===-=-c,∴c=1.又公比q==,∴an=-·n-1=-2·n(n∈N*).∵Sn-Sn-1=(-)(+)6\n=+(n≥2).又bn>0,>0,∴-=1.∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列,=1+(n-1)×1=n,即Sn=n2.当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,b1=1也适合此通项公式.∴bn=2n-1(n∈N*).(2)Tn=+++…+=+++…+=×+×+×+…+×=×=.由Tn=>,得n>,∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.6
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高考 - 三轮冲刺
发布时间:2022-08-25 23:55:17
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文章作者:U-336598
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