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全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺第二篇第6讲函数与导数理

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第6讲 函数与导数题型一 利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题例1 (13分)(2022·安徽)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.规范解答解 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2.[1分]令f′(x)=0,得x1=,x2=,x1<x2,所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).[2分]当x<x1或x>x2时,f′(x)<0;当x1<x<x2时,f′(x)>0.[4分]故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增.[5分](2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.[6分]①当a≥4时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值;[8分]②当0<a<4时,x2<1,由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,所以f(x)在x=x2=处取得最大值.[10分]又f(0)=1,f(1)=a,所以当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;[11分]当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;[12分]当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.[13分]评分细则第(1)问得分点1.若没写出定义域可不扣分.2.若f′(x)<0与f′(x)>0解集出错,只得2分.3.若(-∞,x1)和(x2,+∞)中间用∪连接,扣1分.第(2)问得分点7\n1.没根据a≥4与0<a<4分类讨论,不得分.2.当0<a<4时,没根据0<a<1,a=1,1<a<4讨论,扣3分.3.按a>4与0<a≤4分类讨论,同样得分.4.当0<a<4时,把a=1合并在0<a<1或1<a<4讨论,同样得分.第一步:确定函数的定义域.如本题函数的定义域为R;第二步:求f(x)的导数f′(x);第三步:求方程f′(x)=0的根;第四步:利用f′(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间,并列出表格;第五步:由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性;第六步:明确规范地表述结论;第七步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.跟踪训练1 已知函数f(x)=(x∈R).其中a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值.     题型二 导数的综合应用问题7\n例2 (12分)(2022·课标全国Ⅰ)f(x)=alnx+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.规范解答解 (1)f′(x)=+(1-a)x-b.[1分]由题设知f′(1)=0,解得b=1.[3分](2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知,f(x)=alnx+x2-x,f′(x)=+(1-a)x-1=(x-)(x-1).[5分]①若a≤,则≤1,故当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件为f(1)<,即-1<,解得--1<a<-1.[7分]②若<a<1,则>1,故当x∈(1,)时,f′(x)<0,当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,)单调递减,在(,+∞)单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件为f()<.而f()=aln++>,所以不合题意.[9分]③若a>1,则f(1)=-1=<.[11分]综上,a的取值范围是(--1,-1)∪(1,+∞).[12分]评分细则7\n第(1)问得分点1.若导函数求错,不得分.2.若f′(1)=0解错,只得2分.第(2)问得分点1.若没求定义域,其他正确,不扣分.2.没进行分类讨论的,不得分.漏一类扣2分.3.没有结论的扣1分.4.利用其他方法求解的,同样得分.第一步:整理函数式,对其求导数;第二步:研究函数单调性,含参数的,要依题意对参数进行讨论;第三步:应用函数单调性,解决题目涉及的问题,如存在性问题,恒成立问题,探索性问题等,主要依据是函数最值、单调性;第四步:得出综合结论;第五步:回顾反思,查易错点,验规范性.跟踪训练2 已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在[,e]上有两个零点,求实数m的取值范围.     7\n答案精析第6讲 函数与导数跟踪训练1 解 (1)当a=1时,f(x)=,f(2)=,又f′(x)==,f′(2)=-.所以,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-=-(x-2),即6x+25y-32=0.(2)f′(x)==.由于a≠0,以下分两种情况讨论.①当a>0时,令f′(x)=0,得到x1=-,x2=a.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-)-(-,a)a(a,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘所以f(x)在区间,(a,+∞)内为减函数,在区间内为增函数.函数f(x)在x1=-处取得极小值f,且f=-a2.函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.②当a<0时,令f′(x)=0,得到x1=a,x2=-,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:7\nx(-∞,a)a(a,-)-(-,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在区间(-∞,a),内为增函数,在区间内为减函数.函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.函数f(x)在x2=-处取得极小值f(-),且f=-a2.综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-,a),单调递减区间为(-∞,-),(a,+∞),极大值为1,极小值为-a2.当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(-,+∞),单调递减区间为(a,-),极大值为1,极小值为-a2.跟踪训练2 解 (1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,f′(x)=-2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f′(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=2lnx-x2+m,则g′(x)=-2x=.∵x∈[,e],∴当g′(x)=0时,x=1.当<x<1时,g′(x)>0;当1<x<e时,g′(x)<0.故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.又g()=m-2-,g(e)=m+2-e2,g(e)-g()=4-e2+<0,则g(e)<g(),7\n∴g(x)在[,e]上的最小值是g(e).g(x)在[,e]上有两个零点的条件是解得1<m≤2+,∴实数m的取值范围是(1,2+].7

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发布时间:2022-08-25 23:55:17 页数:7
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文章作者:U-336598

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