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全国通用2022高考数学二轮复习专题三第1讲等差数列等比数列的基本问题

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第1讲 等差数列、等比数列的基本问题一、选择题                   1.(2022·焦作模拟)在等差数列{an}中,a1+3a3+a15=10,则a5的值为(  )A.2B.3C.4D.5解析 设数列{an}的公差为d,∵a1+a15=2a8,∴2a8+3a3=10,∴2(a5+3d)+3(a5-2d)=10,∴5a5=10,∴a5=2.答案 A2.(2022·广州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S4=S5+S6,则数列{an}的公比q的值为(  )A.-2或1B.-1或2C.-2D.1解析 法一 若q=1,则S4=4a1,S5=5a1,S6=6a1,显然不满足2S4=S5+S6,故A、D错.若q=-1,则S4=S6=0,S5=a5≠0,不满足条件,故B错,因此选C.法二 经检验q=1不适合,则由2S4=S5+S6,得2(1-q4)=1-q5+1-q6,化简得q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.答案 C3.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为(  )A.-110B.-90C.90D.110解析 ∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又∵a7是a3与a9的等比中项,∴(a1-12)2=(a1-4)·(a1-16),解得a1=20.∴S10=10×20+×10×9×(-2)=110.答案 D5\n4.(2022·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于(  )A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.解析 由a2,a4,a8成等比数列,得a=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),∴a1=2.∴Sn=2n+×2=2n+n2-n=n(n+1).答案 A5.(2022·福建卷)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(  )A.6B.7C.8D.9解析 由题意知:a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.在a,b,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比数列的情况有:a,-2,b;b,-2,a.∴或解之得:或∴p=5,q=4,∴p+q=9,故选D.答案 D二、填空题6.(2022·阳泉模拟)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.解析 根据题意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,∴a9<0,∴当n=8时,{an}的前n项和最大.答案 87.在等比数列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15=________.解析 设等比数列{an}的公比为q,由已知,得解得q4=.又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8×=2,a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8×=1,所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.答案 35\n8.(2022·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________.解析 由等比数列性质知a2a3=a1a4,又a2a3=8,a1+a4=9,所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列,∴a1=1,a4=8,从而a1q3=8,∴q=2.∴数列{an}的前n项和为Sn==2n-1.答案 2n-1三、解答题9.已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得d===3,所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{bn-an}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n-1.10.(2022·洛阳模拟)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15.5\n解得a=5.所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故{bn}的第3项为5,公比为2.由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.所以bn=b1·qn-1=·2n-1=5·2n-3,即数列{bn}的通项公式bn=5·2n-3.(2)证明 由(1)得数列{bn}的前n项和Sn==5·2n-2-,即Sn+=5·2n-2.所以S1+=,==2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.11.已知等差数列{an}的公差为-1,且a2+a7+a12=-6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn;(2)求数列{an}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项,记{bn}的前n项和为Tn,若存在m∈N*,使对任意n∈N*,总有Sn<Tm+λ恒成立,求实数λ的取值范围.解 (1)由a2+a7+a12=-6得a7=-2,∴a1=4,∴an=5-n,从而Sn=.(2)由题意知b1=4,b2=2,b3=1,设等比数列{bn}的公比为q,则q==,∴Tm==8,5\n∵随m增加而递减,∴{Tm}为递增数列,得4≤Tm<8.又Sn==-(n2-9n)=-,故(Sn)max=S4=S5=10,若存在m∈N*,使对任意m∈N*总有Sn<Tm+λ,则10<4+λ,得λ>6.即实数λ的取值范围为(6,+∞).5

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发布时间:2022-08-25 23:52:29 页数:5
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文章作者:U-336598

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