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全国通用2022高考数学二轮复习专题三第1讲等差数列等比数列训练文

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第1讲 等差数列、等比数列一、选择题1.(2022·广州模拟)在等差数列{an}中,a1+3a3+a15=10,则a5的值为(  )A.2B.3C.4D.5解析 设数列{an}的公差为d,∵a1+a15=2a8,∴2a8+3a3=10,∴2(a5+3d)+3(a5-2d)=10,∴5a5=10,∴a5=2.答案 A2.(2022·济南模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S4=S5+S6,则数列{an}的公比q的值为(  )A.-2或1B.-1或2C.-2D.1解析 法一 若q=1,则S4=4a1,S5=5a1,S6=6a1,显然不满足2S4=S5+S6,故A、D错.若q=-1,则S4=S6=0,S5=a5≠0,不满足条件,故B错,因此选C.法二 经检验q=1不适合,则由2S4=S5+S6,得2(1-q4)=1-q5+1-q6,化简得q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.答案 C3.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为(  )A.-110B.-905\nC.90D.110解析 ∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又∵a7是a3与a9的等比中项,∴(a1-12)2=(a1-4)·(a1-16),解得a1=20.∴S10=10×20+×10×9×(-2)=110.答案 D4.(2022·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于(  )A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.解析 由a2,a4,a8成等比数列,得a=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),∴a1=2.∴Sn=2n+×2=2n+n2-n=n(n+1).答案 A5.(2022·南昌模拟)在正项等比数列{an}中,3a1,a3,2a2成等差数列,则等于(  )A.3或-1B.9或1C.1D.9解析 依题意,有3a1+2a2=a3,即3a1+2a1q=a1q2,解得q=3,===9.答案 D二、填空题6.在等比数列{an}中,a1=3,a4=24,则a3+a4+a5等于________.解析 ∵a4=a1q3,∴q3=8,∴q=2,∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=84.答案 845\n7.(2022·阳泉模拟)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.解析 根据题意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,∴a9<0,∴当n=8时,{an}的前n项和最大.答案 88.等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________.解析 由等比数列的性质可知a1a5=a2a4=a,于是,由a1a5=4得a3=2,故a1a2a3a4a5=32,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log232=5.答案 5三、解答题9.(2022·重庆卷)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.解 (1)设{an}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+d=,化简得a1+2d=2,a1+d=,解得a1=1,d=,故通项公式an=1+,即an=.(2)由(1)得b1=1,b4=a15==8.设{bn}的公比为q,则q3==8,从而q=2,故{bn}的前n项和Tn===2n-1.10.(2022·江苏卷改编)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列;5\n(2)是否存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列?并说明理由.(1)证明 因为=2an+1-an=2d(n=1,2,3)是同一个常数,所以2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列,(2)解 不存在,理由如下:令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假设存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列,则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.将t2=t+1代入(*)式,t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立.因此不存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列.11.(2022·洛阳模拟)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15.解得a=5.所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故{bn}的第3项为5,公比为2.由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.所以bn=b1·qn-1=·2n-1=5·2n-3,即数列{bn}的通项公式bn=5·2n-3.(2)证明 由(1)得数列{bn}的前n项和5\nSn==5·2n-2-,即Sn+=5·2n-2.所以S1+=,==2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.5

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发布时间:2022-08-25 23:52:28 页数:5
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文章作者:U-336598

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