全国通用2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题10数列求和及综合应用含解析

【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题10数列求和及综合应用一、选择题1．(文)(2022·新课标Ⅱ文，5)设Sn是等差数列的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)A．5　　　　　　B．7C．9D．11[答案]　A[解析]　考查等差数列的性质及求和公式．a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝＝5a3＝5.故选A.(理)(2022·新课标Ⅰ文，7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝(　　)A.　　　　　　　　　B.C．10D．12[答案]　B[解析]　本题主要考查等差数列的通项及求和公式．由题可知：等差数列{an}的公差d＝1，因为等差数列Sn＝a1n＋，且S8＝4S4，代入计算可得a1＝；等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则a10＝＋(10－1)×1＝.故本题正确答案为B.[方法点拨]　数列求和的类型及方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．(2)错位相减法这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n15\n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．(文)设{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2022的两个零点是a2、a3，则a1a4＝(　　)A．2022　　　　B．1C．－1D．－2022[答案]　D[解析]　由条件得，a1a4＝a2a3＝－2022.(理)已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝.若函数f(x)＝sin2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为(　　)A．0B．－9　　　C．9D．1[答案]　C[解析]　据已知得2an＋1＝an＋an＋2，即数列{an}为等差数列，又f(x)＝sin2x＋2×＝sin2x＋1＋cosx，因为a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，故cosa1＋cosa9＝cosa2＋cosa8＝…＝cosa5＝0，又2a1＋2a9＝2a2＋2a8＝…＝4a5＝2π，故sin2a1＋sin2a9＝sin2a2＋sin2a8＝…＝sin2a5＝0，故数列{yn}的前9项之和为9，故选C.3．(2022·辽宁协作联校三模)已知数列{an}的通项公式an＝2022sin，则a1＋a2＋…＋a2022＝(　　)A．2022B．2022C．2022D．2022[答案]　C[解析]　数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝2022(sin＋sinπ＋sin＋sin2π)＝0，又∵2022＝4×503＋2，15\n∴a1＋a2＋…＋a2022＝a1＋a2＝2022sin＋2022sinπ＝2022.4．(文)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝，则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为(　　)A．305B．315C．325D．335[答案]　D[解析]　∵f(1)＝，f(2)＝＋，f(3)＝＋＋，…，f(n)＝＋f(n－1)，∴{f(n)}是以为首项，为公差的等差数列．∴S20＝20×＋×＝335.(理)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)[答案]　A[解析]　设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)⇒k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋(2×6×1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.[方法点拨]　解决数列与函数知识结合的题目时，要明确数列是特殊的函数，它的图象是群孤立的点，注意函数的定义域等限制条件，准确的进行条件的转化，数列与三角函数交汇时，数列通常作为条件出现，去除数列外衣后，本质是三角问题．5．(文)已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a1、a49是2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)A.B．9C．±9D．35[答案]　B15\n[解析]　∵{an}是等比数列，且a1，a49是方程2x2－7x＋6＝0的两根，∴a1·a49＝a＝3.而an>0，∴a25＝.∴a1·a2·a25·a48·a49＝a＝()5＝9，故选B.(理)(2022·江西质检)如果数列{an}中，相邻两项an和an＋1是二次方程x＋2nxn＋cn＝0(n＝1,2,3，…)的两个根，当a1＝2时，c100的值为(　　)A．－9984B．9984C．9996D．－9996[答案]　C[解析]　由根与系数关系，an＋an＋1＝－2n，则(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝－2.即an＋2－an＝－2，∴a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为－2的等差数列，∵a1＝2，a1＋a2＝－2，∴a2＝－4，即a2k＝－2k－2，∴a100＝－102，a2k－1＝－2k＋4，∴a101＝－98.∴c100＝a100·a101＝9996.6．等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是(　　)[答案]　C[解析]　∵Sn＝na1＋d，∴Sn＝n2＋(a1－)n，又a1>0，公差d<0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．[点评]　可取特殊数列验证排除，如an＝3－n.7．(2022·南昌市一模)已知无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－A|<ε成立，就称数列{an}的极限为A，则四个无穷数列：①{(－1)n×2}；②{n}；③；④{}，其极限为2的共有(　　)A．4个B．3个C．2个D．1个[答案]　C[解析]　对于①，|an－2|＝|(－1)n×2－2|＝2×|(－1)n－1|，当n是偶数时，|an－2|＝0，当n是奇数时，|an－2|＝4，所以不符合数列{an15\n}的极限的定义，即2不是数列{(－1)n×2}的极限；对于②，由|an－2|＝|n－2|<ε，得2－ε<n<2＋ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε，即2不是数列{n}的极限；对于③，由|an－2|＝|1＋＋＋＋…＋－2|＝＝<ε，得n>1－log2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε成立，所以2是数列的极限；对于④，由|an－2|＝＝<ε，得n>，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε成立，所以2是数列的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④.二、填空题8．(文)若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列{}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是________．[答案]　100[解析]　由调和数列的定义知{bn}为等差数列，由b1＋b2＋…＋b9＝9b5＝90知b5＝10，∵bn>0，∴b4b6≤()2＝b＝100.(理)(2022·河南十所名校联考)对于各项均为整数的数列{an}，如果ai＋i(i＝1,2,3，…)为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”，不论数列{an}是否具有“P性质”，如果存在与{an}不是同一数列的{bn}，且{bn}同时满足下面两个条件：①b1，b2，b3，…，bn是a1，a2，a3，…，an的一个排列；②数列{bn}具有“P性质”，则称数列{an}具有“变换P性质”，下面三个数列：①数列{an}的前n项和为Sn＝(n2－1)；②数列1,2,3,4,5；③数列1,2,3，…，11.其中具有“P性质”或“变换P性质”的有________(填序号)．[答案]　①②[解析]　Sn＝(n2－1)，Sn－1＝[(n－1)2－1](n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝(n－1)(n＋1)－(n2－2n)＝(n－1)(n＋1－n＋2)＝n(n－1)(n≥2)，又a1＝S1＝0，∴a1＋1＝1＝12，a2＋2＝4＝22，a3＋3＝9＝32，…，an＋n＝n2，∴数列{an}具有“P15\n性质”；数列1,2,3,4,5排为3,2,1,5,4，则a1＋1＝4＝22，a2＋2＝4＝22，a3＋3＝4＝22，a4＋4＝9＝32，a5＋5＝9＝32，∴数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”，同理可验证数列1,2,3，…，11不具有“P性质”和“变换P性质”．[方法点拨]　脱去新定义的外衣，将问题化为基本数学模型，用相应的知识方法解答是解决此类问题的基本方法．9．(2022·安徽文，13)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．[答案]　27[解析]　考查1.等差数列的定义；2.等差数列的前n项和．∵n≥2时，an＝an－1＋，且a1＝1，∴{an}是以1为首项，为公差的等差数列．∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.10．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{}的最大项的值为________．[答案]　[解析]　∵a⊥b，∴a·b＝2Sn－n(n＋1)＝0，∴Sn＝，∴an＝n，∴＝＝，当n＝2时，n＋取最小值4，此时取到最大值.三、解答题11．(文)(2022·云南省检测)已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S18S9＝78.(1)求证：S3，S9，S6依次成等差数列；(2)a7与a10的等差中项是否是数列{an}中的项？如果是，是{an}中的第几项？如果不是，请说明理由．[解析]　(1)证明：设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S18＝18a1，S9＝9a1，S18S9＝21≠78.∴q≠1.15\n∴S18＝(1－q18)，S9＝(1－q9)，S18S9＝1＋q9.∴1＋q9＝，解得q＝－2－.∴S3＝＝×，S6＝＝×.S9＝(1－q9)＝×.∵S9－S3＝－×，S6－S9＝－×，∴S9－S3＝S3－S9.∴S3，S9，S6依次成等差数列．(2)a7与a10的等差中项等于＝＝.设a7与a10的等差中项是数列{an}中的第n项，则a1(－2－)n－1＝，化简得(－2)－＝(－2)－4，则－＝－4，解得n＝13.∴a7与a10的等差中项是数列{an}中的第13项．(理)(2022·唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn，满足(1－q)Sn＋qan＝1，且q(q－1)≠0.(1)求{an}的通项公式；(2)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．[解析]　(1)当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1，∴a1＝1，当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，两式相减得(1－q)an＋q(an－an－1)＝0，∴an＝qan－1，∵a1＝1，q(q－1)≠0，∴an＝qn－1，综上an＝qn－1.(2)由(1)可知＝q，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列．所以Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8.15\n故a2，a8，a5成等差数列．[方法点拨]　1.在处理数列求和问题时，一定要先读懂题意，分清题型，区分等差数列与等比数列，不是基本数列模型的注意运用转化思想化归为等差、等比数列，在利用分组求和时，要特别注意项数．2．在处理等差与等比数列的综合问题时，先要看所给数列是等差数列还是等比数列，再依据条件建立方程求解．12．(文)已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，f＝－1，且满足对任意x、y∈(－1，1)，有f(x)＋f(y)＝f，数列{xn}中，x1＝，xn＋1＝.(1)证明：f(x)在(－1,1)上为奇函数；(2)求数列{f(xn)}的通项公式；(3)求证：＋＋…＋>－.[分析]　(1)要证f(x)为奇函数，只需证明f(－x)＋f(x)＝0，只需在条件式中令y＝－x，为了求f(0)，令x＝y＝0即可获解．(2)利用f(x)＋f(y)＝f()可找出f(xn＋1)与f(xn)的递推关系，从而求得通项．(3)由f(xn)的通项公式确定数列{}的求和方法，求和后利用放缩法可证明．[解析]　(1)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在(－1,1)上为奇函数．(2)f(x1)＝f＝－1，f(xn＋1)＝f＝f＝2f(xn)，∴＝2，即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(xn)＝－2n－1.(3)＋＋…＋＝－15\n＝－＝－＝－2＋>－2，而－＝－＝－2－<－2.∴＋＋…＋>－.(理)在直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，对于每个正整数n，点Pn均位于一次函数y＝x＋的图象上，且Pn的横坐标构成以－为首项，－1为公差的等差数列{xn}．(1)求点Pn的坐标；(2)设二次函数fn(x)的图象Cn以Pn为顶点，且过点Dn(0，n2＋1)，若过Dn且斜率为kn的直线ln与Cn只有一个公共点，求Tn＝＋＋…＋的表达式；(3)设S＝{x|x＝2xn，n为正整数}，T＝{y|y＝12yn，n为正整数}，等差数列{an}中的任一项an∈(S∩T)，且a1是S∩T中最大的数，－225<a10<－115，求数列{an}的通项公式．[解析]　(1)由题意知xn＝－－(n－1)＝－n－，yn＝－n－＋＝－n＋，∴Pn.(2)由题意可设二次函数fn(x)＝a2－n＋，因为fn(x)的图象过点Dn(0，n2＋1)，所以a2－n＋＝n2＋1，解得a＝1，所以fn(x)＝x2＋(2n＋1)x＋n2＋1.由题意可知，kn＝f′n(0)＝2n＋1，(n∈N*)．所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝＝－.(3)由题意得S＝{x|x＝－2n－1，n为正整数}，T＝{y|y＝－12n＋9，n为正整数}，所以S∩T中的元素组成以－3为首项，－12为公差的等差数列，所以a1＝－3，则数列{an}的公差为－12k(k∈N*)，若k＝1，则an＝－12n＋9，a10＝－111∉(－225，－115)；15\n若k＝2，则an＝－24n＋21，a10＝－219∈(－225，－115)；若k≥3，则a10≤－327，即a10∉(－225，－115)．综上所述，数列{an}的通项公式为an＝－24n＋21(n为正整数)．[方法点拨]　1.数列与函数的综合性试题通常用到函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想．注意数列是特殊的函数、等差、等比数列更是如此，因此求解数列与函数的综合性题目时，注意数列与函数的内在联系，将所给条件向an与n的关系转化．2．数列还常与不等式交汇命题，不等式常作为条件或证明、求解的一问呈现，解答时先将数列的基本问题解决，再集中解决不等式问题，注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用．13．(文)(2022·山东文，19)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析]　考查1.等差数列的通项公式；2.“错位相减法”求和及运算求解能力．(1)设数列{an}的公差为d，令n＝1，得＝，得到a1a2＝3.令n＝2，得＋＝，所以a2a3＝15.解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1，两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝×4n＋1－，所以Tn＝×4n＋1＋＝.(理)(2022·河南八市质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n，直线x＋y＝2n总是把圆(x－n)2＋(y－)2＝2n2平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{bn}中，b6＝b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.[解析]　(1)由于x＋y＝2n总是把圆(x－n)2＋(y－)2＝2n215\n平均分为两部分，所以直线过圆心，所以n＋＝2n，即Sn＝n2，所以a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，经检验n＝1时也成立，所以an＝2n－1.等比数列{bn}中，由于b6＝b3b4，所以b1q5＝bq5，因为b1>0，q>0，所以b1＝1，因为b3和b5的等差中项是2a3，且2a3＝10，所以b3＋b5＝20，所以q2＋q4＝20，解得q＝2，所以bn＝2n－1.(2)由于cn＝anbn，所以Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)2n－1　①2Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n　②所以－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)2n＝1＋2×－(2n－1)2n＝－3＋2×2n－(2n－1)2n＝－3＋(3－2n)2n，Tn＝3＋(2n－3)2n.14．(文)政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价，用an表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用，用bn表示该企业第n年的产值．设a1＝a(万元)，且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a万元；又设b1＝b(万元)，且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.用Pn＝表示企业第n年“对社会的有效贡献率”．(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；(2)试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%?[解析]　(1)∵a1＝a，b1＝b，Pn＝，∴P1＝＝1%，P2＝＝＝3.3%.故该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%.(2)由题意，得数列{an}是以a为首项，以2a为公差的等差数列，数列bn是以b为首项，以1.1为公比的等比数列，∴an＝a1＋(n－1)d＝a＋(n－1)·2a＝(2n－1)a，bn＝b1(1＋10%)n－1＝1.1n－1b.15\n又∵Pn＝，∴Pn＝＝.∵＝×1.1＝×1.1>1，∴Pn＋1>Pn，即Pn＝单调递增．又∵P6＝≈17.72%<20%，P7＝≈23.03%>20%.故从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%.(理)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额都为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多()n－1a万元．(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年．[解析]　(1)设甲、乙两超市第n年销售额分别为an、bn，又设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn＝(n2－n＋2)(n≥2)，因n＝1时，a1＝a，则n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝a(n－1)，故an＝又因b1＝a，n≥2时，bn－bn－1＝()n－1a，故bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝a＋a＋()2a＋…＋()n－1a＝[1＋＋()2＋…＋()n－1]a15\n＝a＝[3－2·()n－1]a，显然n＝1也适合，故bn＝[3－2·()n－1]a(n∈N*)(2)当n＝2时，a2＝a，b2＝a，有a2>b2；n＝3时，a3＝2a，b3＝a，有a3>b3；当n≥4时，an≥3a，而bn<3a，故乙超市有可能被收购．当n≥4时，令an>bn，则(n－1)a>[3－2·()n－1]a⇒n－1>6－4·()n－1，即n>7－4·()n－1.又当n≥7时，0<4·()n－1<1，故当n∈N*且n≥7时，必有n>7－4·()n－1.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．[方法点拨]　1.用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，还是解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．2．数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．3．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．15．(文)定义：若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．(1)证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn＝(2a1＋1)(2a2＋1)…(2an＋1)，求Tn关于n的表达式；(3)记bn＝log2an＋1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn>2022成立的n的最小值．15\n[解析]　(1)证明：由题意得an＋1＝2a＋2an，∴2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2.所以数列{2an＋1}是“平方递推数列”．令cn＝2an＋1，所以lgcn＋1＝2lgcn.因为lg(2a1＋1)＝lg5≠0，所以＝2.所以数列{lg(2an＋1)}为等比数列．(2)由(1)知lg(2an＋1)＝(lg5)×2n－1，∴2an＋1＝10(lg5)×2n－1＝52n－1，∴Tn＝520×521×522×…×52n－1＝520＋21＋…＋2n－1＝52n－1.(3)∵bn＝log2an＋1Tn＝＝2－()n－1，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n－＝2n－2＋，由2n－2＝2022得n＝1007，∴S1006＝2×1006－2＋∈(2022,2022)，S1007＝2×1007－2＋∈(2022,2022)．故使Sn>2022成立的n的最小值为1007.(理)已知曲线C：xy＝1，过C上一点An(xn，yn)作一斜率为kn＝－的直线交曲线C于另一点An＋1(xn＋1，yn＋1)，点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1＝.(1)求xn与xn＋1的关系式；(2)令bn＝＋，求证：数列{bn}是等比数列；(3)若cn＝3n－λbn(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．[分析]　(1)由直线方程点斜式建立xn与yn关系，而(xn，yn)在曲线xy＝1上，有xnyn＝1，消去yn得xn与xn＋1的关系；(2)由定义证为常数；(3)转化为恒成立的问题解决．15\n[解析]　(1)过点An(xn，yn)的直线方程为y－yn＝－(x－xn)，联立方程，消去y得x2－x＋1＝0.解得x＝xn或x＝.由题设条件知xn＋1＝.(2)证明：＝＝＝＝＝－2.∵b1＝＋＝－2≠0，∴数列{bn}是等比数列．(3)由(2)知，bn＝(－2)n，要使cn＋1>cn恒成立，由cn＋1－cn＝[3n＋1－λ(－2)n＋1]－[3n－λ(－2)n]＝2·3n＋3λ(－2)n>0恒成立，即(－1)nλ>－n－1恒成立．①当n为奇数时，即λ<n－1恒成立．又n－1的最小值为1，∴λ<1.②当n为偶数时，即λ>－n－1恒成立，又－n－1的最大值为－，∴λ>－，即－<λ<1.又λ为非零整数，∴λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn.15