全国通用2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题6三角变换三角函数的图象与性质含解析

【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题6三角变换、三角函数的图象与性质一、选择题1．(2022·河南八市质检)已知sin－cosα＝，则2sinαcos＝(　　)A．－B.C．－D.[答案]　B[解析]　2sinαcos＝2sinα＝sin2α－＝sin－，又由于sin－cosα＝sinα＋cosα－cosα＝sinα－cosα＝sin＝，又sin＝cos＝cos＝1－2sin2＝1－＝，所以2sinαcos＝－＝.[方法点拨]　1.已知条件为角α的终边过某点时，直接运用三角函数定义求解；已知条件为角α的终边在某条直线上，在直线取一点后用定义求解；已知sinα、cosα、tanα中的一个值求其他值时，直接运用同角关系公式求解，能用诱导公式化简的先化简．2．已知tanα求sinα与cosα的齐次式的值时，将分子分母同除以cosnα化“切”代入，所求式为整式时，视分母为1，用1＝sin2α＋cos2α代换．3．sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ知一求其他值时，利用关系(sinθ±cosθ)2＝1±2cosθcosθ.要特别注意利用平方关系巧解题．已知某三角函数式的值，求另一三角函数式的值时，关键是分析找出两三角函数式的联系恰当化简变形，再代入计算．15\n2．(文)(2022·洛阳市期末)已知角α的终边经过点A(－，a)，若点A在抛物线y＝－x2的准线上，则sinα＝(　　)A．－B.C．－D.[答案]　D[解析]　由已知得抛物线的准线方程为y＝1，故A(－，1)，所以sinα＝.(理)(2022·山东理，3)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象(　　)A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位[答案]　B[解析]　因为y＝sin(4x－)＝sin[4(x－)]所以要得到y＝sin[4(x－)]的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．故选B.3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，则只要将f(x)的图象(　　)A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度[答案]　B15\n[解析]　由题知，函数f(x)的周期T＝4(－)＝，所以＝，解得ω＝3，易知A＝1，所以f(x)＝sin(3x＋φ)．又f(x)＝sin(3x＋φ)过点(，－1)，所以sin(3×＋φ)＝－1，所以3×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin(3x＋)＝sin[3(x＋)]，所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)＝sin3x的图象，故选B.[方法点拨]　1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时，用待定系数法求解．由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定ω，由图象上特殊点的坐标来确定φ，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．2．解答有关平移伸缩变换的题目时，向左(或右)平移m个单位时，用x＋m(或x－m)代替x，向下(或上)平移n个单位时，用y＋n(或y－n)代替y，横(或纵)坐标伸长或缩短到原来的k倍，用代替x(或代替y)，即可获解．4．(文)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　　)A.B.C．－D．－15\n[答案]　C[解析]　本题考查三角函数同角间的基本关系．将sinα＋2cosα＝两边平方可得，sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，∴4sinαcosα＋3cos2α＝.将左边分子分母同除以cos2α得，＝，解得tanα＝3或tanα＝－，∴tan2α＝＝－.(理)(2022·唐山市一模)已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝(　　)A．－B.C．－或0D.或0[答案]　D[解析]　∵，∴或∴tan2α＝0或tan2α＝.5．(2022·安徽理，10)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)A．f(2)＜f(－2)＜f(0)B．f(0)＜f(2)＜f(－2)C．f(－2)＜f(0)＜f(2)D．f(2)＜f(0)＜f(－2)[答案]　A[解析]　考查三角函数的图象与应用及函数值的大小比较．解法1：由题意，f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ>0)，T＝＝＝π，所以ω＝2，则f(x)＝Asin(2x＋φ)，而当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asin(2x＋)(A>0)，则当2x＋＝＋2nπ，n∈Z，即x15\n＝＋nπ，时，n∈Z，f(x)取得最大值．要比较f(2)，f(－2)，f(0)的大小，只需判断2，－2,0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0,2与比较近，－2与－比较近，所以，当k＝0时，x＝，此时|0－|＝0.52，|2－|＝1.47，当k＝－1时，x＝－，此时|－2－(－)|＝0.6，所以f(2)<f(－2)<f(0)，故选A.解法2：∵f(x)的最小正周期为π，且在x＝时f(x)取最小值，∴在x＝－＝时取到最大值f(－2)＝f(－2＋π)，∵f(x)在[，]上单调递减，∴f(π－2)>f(2)，即f(－2)>f(2)，又π－2－>－0，f(x)图象的一条对称轴方程为x＝，∴f(π－2)<f(0)，即f(－2)<f(0)，∴f(2)<f(－2)<f(0)．6．(文)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)A．(，1)B．(，0)C．(，0)D．(－，0)[答案]　B[解析]　由题意知T＝π，∴ω＝2，由函数图象关于直线x＝对称，得2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝Asin(2x－)，令2x－＝kπ(k∈Z)，则x＝＋π(k∈Z)．∴一个对称中心为(，0)，故选B.(理)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是(　　)A．f(x)既是偶函数又是周期函数15\nB．f(x)最大值是1C．f(x)的图象关于点(，0)对称D．f(x)的图象关于直线x＝π对称[答案]　B[解析]　f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝cosxsin2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin2(x＋2π)＝cosxsin2x，∴2π是f(x)一个周期，故A选项正确．f(x)＝cosxsin2x＝－cos3x＋cosx，令t＝cosx则t∈[－1,1]，g(t)＝－t3＋t，g′(t)＝－3t2＋1令g′(t)＝0，则t＝±，易知f(x)在区间[－1，－)上单调递减，在(－，)上单调递增，在(，1]上单调递减，g(－1)＝0，g()＝，∴g(t)max＝≠1，故B项错误．7．(文)给出下列四个命题：①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z；②函数f(x)＝sinx＋cosx最大值为2；③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π；④函数f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函数．其中正确命题的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4[答案]　B[解析]　①由2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋(k∈Z)，即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z，正确；②由f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)知，函数的最大值为2，正确；③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；15\n④函数f(x)＝sin(x＋)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故④错误．(理)若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f(＋t)＝f(－t)，且f()＝－3，则实数m的值等于(　　)A．－1B．±5C．－5或－1D．5或1[答案]　C[解析]　依题意得，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，于是x＝时，函数f(x)取得最值，因此有±2＋m＝－3，∴m＝－5或m＝－1，选C.8．(文)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是(　　)A．－B.C.D．－[答案]　B[解析]　由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝，故选B.(理)(2022·新课标Ⅰ理，8)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则(　　)A．3α－β＝B．3α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝[答案]　C[解析]　本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法．解法1：当2α－β＝时，β＝2α－，所以＝＝＝tanα.15\n解法2：∵tanα＝＝，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)，∵α、β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.9．(2022·石家庄市二模)在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P，则sin＝(　　)A.B．－C.D．－[答案]　A[解析]　由于角α的终边经过点P(sin，cos)，即P(cos，sin)，∴α＝2kπ＋，k∈Z.∴sin(2α－)＝sin(4kπ＋－)＝sin＝，故选A.10．(文)(2022·河南六市联考)函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2，则该函数图象的一条对称轴为(　　)A．x＝B．x＝C．x＝1D．x＝2[答案]　C[解析]　∵y＝cos(ωx＋φ)为奇函数，∴其图象过原点，∴cosφ＝0，∵0<φ<π，∴φ＝，15\n∴y＝cos(ωx＋)＝－sinωx，设周期为T，则由条件知()2＋[1－(－1)]2＝(2)2，∴T＝4.∴ω＝＝，∴函数为y＝－sin(x)．令x＝kπ＋(k∈Z)得x＝2k＋1，∴x＝1为其一条对称轴．(理)(2022·陕西理，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)A．5B．6C．8D．10[答案]　C[解析]　由图象知，最小值为2，∴－3＋k＝2，∴k＝5，∴最大值为3＋k＝8.故选C.二、填空题11．(2022·葫芦岛市一模)已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R则f(x)在闭区间上的最大值和最小值分别为________．[答案]　、－[解析]　f(x)＝sinxcosx＋cos2x－cos2x＋＝sin2x－(cos2x＋1)＋＝sin，当x∈时，2x－∈，∴sin∈.15\n∴f(x)∈.12．(文)(2022·陕西文，13)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________.[答案]　[解析]　本题考查向量垂直、向量坐标运算等．∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.又0<θ<，∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.(理)如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝(sinx＋cosx)；③f(x)＝sinx；④f(x)＝sinx＋.其中为“互为生成”函数的是________(填序号)．[答案]　①④[解析]　首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝sin(x＋)，②f(x)＝2sin(x＋)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝sinx＋，可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f(x)＝sin(x＋)的图象与②f(x)＝2sin(x＋)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝sinx＋的图象向左平移个单位，再向下平移个单位即可得到①f(x)＝sin(x＋)的图象，所以①④为“互为生成”函数．三、解答题13．(文)(2022·甘肃三诊)已知f(x)＝sinωx－2sin2(ω>0)的最小正周期为3π.15\n(1)当x∈[，]时，求函数f(x)的最小值；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．[解析]　∵f(x)＝sin(ωx)－2·＝sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋)－1，由＝3π得ω＝，∴f(x)＝2sin(x＋)－1.(1)由≤x≤得≤x＋≤，∴当sin(x＋)＝时，f(x)min＝2×－1＝－1.(2)由f(C)＝2sin(C＋)－1及f(C)＝1，得sin(C＋)＝1，而≤C＋≤，所以C＋＝，解得C＝.在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，∴2cos2A－sinA－sinA＝0，∴sin2A＋sinA－1＝0，解得sinA＝.∵0<sinA<1，∴sinA＝.(理)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．[解析]　(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)15\n＝sin(4x＋)所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin(4α＋)＝1.因为α∈(，π)，所以4α＋∈(，)，所以4α＋＝，故α＝.14．已知函数f(x)＝2sin(x＋)cos(x＋)－2cos2(x＋)＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间．[解析]　(1)∵f(x)＝2sin(x＋)cos(x＋)－2cos2(x＋)＋1＝sin(2x＋)－cos(2x＋)＝[sin(2x＋)·cos－cos(2x＋)·sin]＝sin[(2x＋)－]＝sin(2x＋)．∴f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由(1)可知f(x)＝sin(2x＋)．当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)＝sin(2x＋)是增函数，∴函数f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．15\n[方法点拨]　1.解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，通过将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．2．求三角函数的最值的方法：(1)化为正弦(余弦)型函数y＝asinωx＋bcosωx型引入辅助角化为一角一函．(2)化为关于sinx(或cosx)的二次函数．15．设函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋m(x∈R)．(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，]，是否存在实数m，使函数f(x)的值域恰为[，]？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．[解析]　(1)∵f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋m＝1＋cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)假设存在实数m，符合题意．∵x∈[0，]，∴≤2x＋≤，则sin(2x＋)∈[－，1]，∴f(x)＝2sin(2x＋)＋m＋1∈[m,3＋m]．又∵f(x)的值域为[，]，解得m＝.∴存在实数m＝，使函数f(x)的值域恰为[，]．[方法点拨]　1.求值题一般先将三角函数式化简，再求值．2．讨论三角函数的性质(求单调区间、求最值、求周期等)的题目，一般先运用三角公式化简函数表达式，再依据正弦型或余弦型函数的性质进行讨论．3．三角变换的基本策略：(1)1的变换；(2)切化弦；(3)升降次；(4)引入辅助角；(5)角的变换与项的分拆．16．(文)(2022·广东文，16)已知tanα＝2.(1)求tan的值；15\n(2)求的值．[分析]　考查：1.两角和的正切公式；2.特殊角的三角函数值；3.二倍角的正、余弦公式；4.同角三角函数的基本关系．(1)由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan的值；(2)先利用二倍角的正、余弦公式变形，然后化切求解．[解析]　(1)tan＝＝＝＝－3，(2)＝＝＝＝＝1.(理)(2022·福建文，21)已知函数f(x)＝10sincos＋10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.(ⅰ)求函数g(x)的解析式；(ⅱ)证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.[解析]　(1)因为f(x)＝10sincos＋10cos2＝5sinx＋5cosx＋5＝10sin＋5.所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.15\n(2)(i)将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sinx＋5的图象，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)＝10sinx＋5－a的图象．又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.所以g(x)＝10sinx－8.(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0－8>0，即sinx0>.由<知，存在0<α0<，使得sinα0＝.由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sinx>.因为y＝sinx的周期为2π，所以当x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sinx>.因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0>>1，所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得sinxk>.即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.15