天津市2022年高考数学二轮复习第一部分思想方法研析指导三数形结合思想检测文

思想方法训练3　数形结合思想一、能力突破训练1.已知i为虚数单位,如果图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,那么复数对应的点位于复平面内的(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：由题图知,z=2+i,==·=-i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.方程sin=x的实数解的个数是(　　)A.2B.3C.4D.以上均不对答案：B解析：在同一坐标系内作出y=sin与y=x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.3.若x∈{x|log2x=2-x},则(　　)A.x2>x>1B.x2>1>xC.1>x2>xD.x>1>x2答案：A解析：设y1=log2x,y2=2-x,在同一坐标系中作出其图象,如图,由图知,交点的横坐标x>1,则有x2>x>1.4.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a>0)在区间(-∞,b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于(　　)A.2±B.2-或6-3C.6±3D.2+或6+3答案：D解析：结合函数f(x)的图象(图略)可知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.当a=1时,-b2+4b-3=-1(b>3),解得b=2+;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b>9),解得b=6+3,故选D.6\n5.已知函数f(x)=与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是(　　)A.(-6,0]B.(-6,6)C.(4,+∞)D.(-4,4)答案：B解析：如图,由题知,若f(x)=与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有解得-6<t<6.6.已知函数f(x)=|log2|x||-,则下列结论正确的是(　　)A.f(x)有三个零点,且所有零点之积大于-1B.f(x)有三个零点,且所有零点之积小于-1C.f(x)有四个零点,且所有零点之积大于1D.f(x)有四个零点,且所有零点之积小于1答案：A解析：在同一坐标系中分别作出f1(x)=|log2|x||与f2(x)=的图象,如图.由图象知f1(x)与f2(x)有三个交点,即函数f(x)有三个零点.设三个零点从左到右分别是x1,x2,x3,因为f<0,f>0,所以-<x1<-.同理,<x2<1,1<x3<2,则-1<x1x2x3<-,即所有零点之积大于-1.7.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为　　　　　. 答案：-解析：在同一坐标系画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-.8.函数f(x)=2sinxsin-x2的零点个数为　　　　　. 答案：2解析：f(x)=2sinxsin-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2.6\n如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有2个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.9.若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=　　　　　. 答案：解析：令y1=,y2=k(x+2)-,在同一个坐标系中作出其图象,如图.∵≤k(x+2)-的解集为[a,b],且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2),∴k==.10.已知函数f(x)为偶函数且f(x)=f(x-4),又f(x)=函数g(x)=+a,若F(x)=f(x)-g(x)恰好有4个不同的零点,则a的取值范围是　　　　. 答案：解析：由f(x)=f(x-4),知f(x)是周期为4的函数;由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x+4),得图象的对称轴为直线x=2.若F(x)恰有4个零点,则有解得a∈.11.(2022天津,文16)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:6\n图1(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.图2二、思维提升训练12.已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案：D解析：由f(x)=得f(x)=f(2-x)==所以f(x)+f(2-x)=因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b∈时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.6\n13.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案：D解析：设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),当x<-时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D.取点C.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足kPC≤a<kPA.而kPC==,kPA==1,所以≤a<1.故选D.14.已知函数f(x)=则方程f(x)=2x在区间[0,2015]上的根的个数是　　　　. 答案：2016解析：画出y=f(x)与y=2x的图象如图所示,由图象可得,方程f(x)=2x在[0,2015]内的根分别是x=0,1,2,3,…,2015,共2016个.15.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范围.解因为-lga=lgb⇒ab=1,所以abc=c,也就是说只需要求出c的取值范围即可,如下图所示,绘制出图象,平移一条平行于x轴的直线,可以发现c的取值范围是10<c<12,因此10<abc<12.故6\nabc的取值范围是(10,12).16.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-lnx(a,b∈R),已知它们在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.解函数g(x)=bx2-lnx的定义域为(0,+∞).(1)f'(x)=3ax2-3a⇒f'(1)=0,g'(x)=2bx-⇒g'(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=.(2)当x∈(0,1)时,g'(x)=x-<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=x->0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=.当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,x∈(-1,0)时,f'(x)>0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则<a2<2a,所以实数a的取值范围是.图①图②6