天津市2022年高考数学二轮复习第一部分思想方法研析指导二分类讨论思想检测文

思想方法训练2　分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(-∞,2)B.(-∞,4)C.[2,4]D.(2,+∞)答案：B解析：当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是(　　)A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c2答案：B解析：在△ABC中,由余弦定理得cosA===,则A=.又b=a,由正弦定理,得sinB=sinA=,则B=或B=.当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是(　　)A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q答案：C解析：当0<a<1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,∴a3+1<a2+1.∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为(　　)A.B.C.或D.或答案：C解析：当焦点在x轴上时,=,此时离心率e==;当焦点在y轴上时,=,此时离心率e==,故选C.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=λ·,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是(　　)A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线答案：C解析：不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.6.若x>0,且x≠1,则函数y=lgx+logx10的值域为(　　)5\nA.RB.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案：D解析：当x>1时,y=lgx+logx10=lgx+≥2=2;当0<x<1时,y=lgx+logx10=-≤-2=-2.故函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).7.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m等于(　　)A.6B.7C.8D.10答案：C解析：∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而2=+,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).∵a2+a5=2am,∴a2(1+q3-2qm-2)=0,1+q3-2qm-2=0,∴qm-2=,∴m=8.8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为(　　)A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°答案：C解析：球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'==,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.9.已知函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是　　　　　. 答案：或解析：当a>1时,y=ax在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0<a<1时,y=ax在区间[1,2]上递减,故a-a2=,得a=.故a=或a=.10.已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为　　　　　. 答案：4解析：f(x)=g(x)=(1)当0<x≤1时,方程化为|-lnx+0|=1,解得x=或x=e(舍去).所以此时方程只有一个实根.(2)当1<x<2时,方程可化为|lnx+2-x2|=1.设h(x)=lnx+2-x2,h'(x)=-2x=.因为1<x<2,所以h'(x)=<0,即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)=ln1+2-12=1,h(2)=ln2+2-22=ln2-2,所以h(x)∈(ln2-2,1).又ln2-2<-1,故当1<x<2时方程只有一解.(3)当x≥2时,方程可化为|lnx+x2-6|=1.记函数p(x)=lnx+x2-6,显然p(x)在区间[2,+∞)上单调递增.故p(x)≥p(2)=ln2+22-6=ln2-2<-1.又p(3)=ln3+32-6=ln3+3>1,所以方程|p(x)|=1有两个解,即方程|lnx+x2-6|=1有两个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.5\n11.已知函数f(x)=2asin2x-2asinxcosx+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值.解f(x)=a(1-cos2x)-asin2x+a+b=-2asin+2a+b.∵x∈,∴2x+∈,∴-≤sin≤1.因此,由f(x)的值域为[-5,1],可得或解得或12.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+lnx).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解(1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+.因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+==.①当0<a<1时,若x∈(0,a),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+alna,极小值是f(1)=-.②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+alna.综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-a2+alna,极小值是-;当a=1时,f(x)无极值;当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+alna.二、思维提升训练13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=0答案：D解析：若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为=,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　　. 5\n答案：(3,+∞)解析：当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为P(m,4m-m2).函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m).(1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m2≥m,也就是m(m-3)≤0时,解得0≤m≤3,又因为m>0,所以0<m≤3.此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多只有两个交点,不合题意;(2)点P在点Q的下方时,即4m-m2<m,也就是m(m-3)>0时,解得m<0或m>3,又因为m>0,所以m>3.此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多可有三个交点,符合题意.所以m>3.15.若a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a),则当a=　　　　　时,g(a)的值最小. 答案：2-2解析：当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0<a<1时,f(x)=在区间内递增,在区间上递减,在区间(a,1]上递增,且f=,f(1)=1-a,∵-(1-a)=(a2+4a-4),∴当0<a<2-2时,<1-a.当2-2≤a<1时,≥1-a;当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax在区间上递增,在区间上递减,当x=时,f(x)取得最大值f=;当a≥2时,f(x)=-x2+ax在区间[0,1]上递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=在区间(-∞,2-2)上递减,在区间[2-2,+∞)上递增,即当a=2-2时,g(a)有最小值.16.已知函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函数f(x)的最小值.解(1)当a=0时,函数f(x)=-2x在区间[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=-2.(2)当a>0时,函数f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对称轴为直线x=.5\n①当≤1,即a≥1时,f(x)=ax2-2x的图象对称轴在区间[0,1]内,∴f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,∴f(x)min=f=-=-.②当>1,即0<a<1时,函数f(x)=ax2-2x的图象对称轴在区间[0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=a-2.(3)当a<0时,函数f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=<0,在y轴的左侧,∴函数f(x)=ax2-2x在区间[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=a-2.综上所述,f(x)min=17.已知函数f(x)=alnx+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=alnx+x2的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x=.当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2].若a≥-2,则f'(x)在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2<a<-2,令f'(x)<0,解得1≤x<,此时f(x)单调递减;　　令f'(x)>0,解得<x≤e,此时f(x)单调递增,∴f(x)min=f=ln-;若a≤-2e2,f'(x)在区间[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2<a<-2时,f(x)min=ln-,相应的x=;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-lnx)≥x2-2x.∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立,∴lnx<x,即x-lnx>0,因而a≥,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),∴g(x)在区间[1,e]上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,∴实数a的取值范围是[-1,+∞).5