广东省2007-2022年高考数学试题分类汇（13）圆锥曲线(解答题）

广东省2022-2022年高考数学试题分类汇（13）圆锥曲线(解答题）三、解答题：18．（2022年高考）在平面直角坐标系，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设圆的圆心为，则，解得，∴所求的圆的方程为．(2)由已知可得，，椭圆的方程为，右焦点为；若存在，则在的中垂线上，又、在圆C上，所以、关于直线对称；直线的方程为，即，设，则，解得，∴存在，的坐标为．8\n2．（2022年高考）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．【解析】（1）由，得，当得，∴点的坐标为，，，过点的切线方程为即，令，得，∴点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，∴，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点，∴以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个．若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，．8\n关于的二次方程有一大于零的解，∴有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形．3．（2022年高考）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆上一点到和的距离之和为12．圆：的圆心为点．（1）求椭圆的方程；（2）求面积；（3）问是否存在圆包围椭圆？请说明理由．【解析】（1）设椭圆的方程为：（）半焦距为,则,解得,∴∴所求椭圆的方程为：.(2)点的坐标为（3）若，由可知点在圆外，若，由可知点在圆外；不论为何值圆都不能包围椭圆.8\n4．（2022年高考）已知曲线，点是曲线上的点（,…）.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，证明：www.ks5u.com．【解析】（1），的切线斜率，的方程为，当时，，．（2）原点O到的距离，，，此时，，．（3）而，∵，8\n∴，得证．5．（2022高考）在平面直角坐标系上，直线：交轴于点．设是上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足．（1）当点在上运动时，求点的轨迹的方程；（2）已知，设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．【解析】（1）如图所示，连接，则∵，∴动点满足或在的负半轴上，设，①当时，，，，化简得．②当在的负半轴上时，，综上所述，点的轨迹的方程为或．（2）由（1）知的轨迹是顶点为，焦点为原点的抛物线和的负半轴．①若是抛物线上的动点，过作于，由于是抛物线的准线，根据抛物线的定义有，则．当三点共线时，有最小值．求得此时的坐标为．8\n②若是的负半轴上的动点，显然有．综上所述，的最小值为3，此时点的坐标为．（3）如图，设抛物线顶点，则直线的斜率，∵点在抛物线内部，∴过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点，则直线与轨迹的交点个数分以下四种情况讨论：①当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点，②当时，直线与轨迹有且只有三个不同的交点，③当时，直线与轨迹有且只有一个交点，④当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点，综上所述，直线的斜率的取值范围是．8\n6．（2022年高考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上．（1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．【解析】（1）∵椭圆的左焦点，∴，∵点在上，∴，∴，∴，∴椭圆的方程为．（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，，消去并整理得，∵直线与椭圆相切，∴，整理得①，消去并整理得，∵直线与抛物线相切，∴整理得②综合①②，解得或8\n∴直线的方程为或．8