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广东省2007-2022年高考数学试题分类汇编(13)圆锥曲线(解答题)

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广东省2022-2022年高考数学试题分类汇(13)圆锥曲线(解答题)三、解答题:18.(2022年高考)在平面直角坐标系,已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点.椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为.(1)求圆的方程;(2)试探究圆上是否存在异于原点的点,使到椭圆右焦点的距离等于线段的长,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆的圆心为,则,解得,∴所求的圆的方程为.(2)由已知可得,,椭圆的方程为,右焦点为;若存在,则在的中垂线上,又、在圆C上,所以、关于直线对称;直线的方程为,即,设,则,解得,∴存在,的坐标为.8\n2.(2022年高考)设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).【解析】(1)由,得,当得,∴点的坐标为,,,过点的切线方程为即,令,得,∴点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,∴,即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,∴以为直角的只有一个,同理以为直角的只有一个.若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和,.8\n关于的二次方程有一大于零的解,∴有两解,即以为直角的有两个,因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形.3.(2022年高考)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆的方程;(2)求面积;(3)问是否存在圆包围椭圆?请说明理由.【解析】(1)设椭圆的方程为:()半焦距为,则,解得,∴∴所求椭圆的方程为:.(2)点的坐标为(3)若,由可知点在圆外,若,由可知点在圆外;不论为何值圆都不能包围椭圆.8\n4.(2022年高考)已知曲线,点是曲线上的点(,…).(1)试写出曲线在点处的切线的方程,并求出与轴的交点的坐标;(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值,试求试点的坐标;(3)设与为两个给定的不同的正整数,与是满足(2)中条件的点的坐标,证明:www.ks5u.com.【解析】(1),的切线斜率,的方程为,当时,,.(2)原点O到的距离,,,此时,,.(3)而,∵,8\n∴,得证.5.(2022高考)在平面直角坐标系上,直线:交轴于点.设是上一点,是线段的垂直平分线上一点,且满足.(1)当点在上运动时,求点的轨迹的方程;(2)已知,设是上动点,求的最小值,并给出此时点的坐标;(3)过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点,求直线的斜率的取值范围.【解析】(1)如图所示,连接,则∵,∴动点满足或在的负半轴上,设,①当时,,,,化简得.②当在的负半轴上时,,综上所述,点的轨迹的方程为或.(2)由(1)知的轨迹是顶点为,焦点为原点的抛物线和的负半轴.①若是抛物线上的动点,过作于,由于是抛物线的准线,根据抛物线的定义有,则.当三点共线时,有最小值.求得此时的坐标为.8\n②若是的负半轴上的动点,显然有.综上所述,的最小值为3,此时点的坐标为.(3)如图,设抛物线顶点,则直线的斜率,∵点在抛物线内部,∴过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点,则直线与轨迹的交点个数分以下四种情况讨论:①当时,直线与轨迹有且只有两个不同的交点,②当时,直线与轨迹有且只有三个不同的交点,③当时,直线与轨迹有且只有一个交点,④当时,直线与轨迹有且只有两个不同的交点,综上所述,直线的斜率的取值范围是.8\n6.(2022年高考)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,且点在上.(1)求椭圆的方程;(2)设直线同时与椭圆和抛物线相切,求直线的方程.【解析】(1)∵椭圆的左焦点,∴,∵点在上,∴,∴,∴,∴椭圆的方程为.(2)直线的斜率显然存在,设直线的方程为,,消去并整理得,∵直线与椭圆相切,∴,整理得①,消去并整理得,∵直线与抛物线相切,∴整理得②综合①②,解得或8\n∴直线的方程为或.8

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发布时间:2022-08-25 23:33:54 页数:8
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文章作者:U-336598

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