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江苏专用2022高考数学二轮复习专题七第2讲计数原理数学归纳法随机变量及其分布列提升训练理必做部分
江苏专用2022高考数学二轮复习专题七第2讲计数原理数学归纳法随机变量及其分布列提升训练理必做部分
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第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列1.(2022·江苏卷)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.(1)求概率P(ξ=0);(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).解 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8C对相交棱,因此P(ξ=0)===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故P(ξ=)==,于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=,所以随机变量ξ的分布列是ξ01P因此E(ξ)=1×+×=.2.(2022·山东卷)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C=84,随机变量X的取值为:0,-1,1,因此P(X=0)==,P(X=-1)==,P(X=1)=1--=,所以X的分布列为4\nX0-11P则E(X)=0×+(-1)×+1×=.3.(2022·江苏卷)设数列{an}:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,(-1)k-1k,…,(-1)k-1k个k,…,即当<n≤(k∈N*)时,an=(-1)k-1k,记Sn=a1+a2+…+an(n∈N*).对于l∈N*,定义集合Pl={n|Sn是an的整数倍,n∈N*,且1≤n≤l}.(1)求集合P11中元素的个数;(2)求集合P2000中元素的个数.解 (1)由数列{an}的定义得a1=1,a2=-2,a3=-2,a4=3,a5=3,a6=3,a7=-4,a8=-4,a9=-4,a10=-4,a11=5,所以S1=1,S2=-1,S3=-3,S4=0,S5=3,S6=6,S7=2,S8=-2,S9=-6,S10=-10,S11=-5,从而S1=a1,S4=0×a4,S5=a5,S6=2a6,S11=-a11,所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证:Si(2i+1)=-i(2i+1)(i∈N*).事实上,①当i=1时,Si(2i+1)=S3=-3,-i(2i+1)=-3,故原等式成立;②假设i=m时成立,即Sm(2m+1)=-m(2m+1),则i=m+1时,S(m+1)(2m+3)=Sm(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-m(2m+1)-4m-3=-(2m2+5m+3)=-(m+1)(2m+3).综合①②可得,Si(2i+1)=-i(2i+1).于是S(i+1)(2i+1)=Si(2i+1)+(2i+1)2=-i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1).由上可知Si(2i+1)是2i+1的倍数,而ai(2i+1)+j=2i+1(j=1,2,…,2i+1),所以Si(2i+1)+j=Si(2i+1)+j(2i+1)是ai(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+1)的倍数.又S(i+1)(2i+1)=(i+1)·(2i+1)不是2i+2的倍数,而a(i+1)(2i+1)+j=-(2i+2)(j=1,2,…,2i+2),所以S(i+1)(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+2)的倍数,故当l=i(2i+1)时,集合Pl中元素的个数为1+3+…+(2i-1)=i2,于是,当l=i(2i+1)+j(1≤j≤2i+1)时,集合Pl中元素的个数为i2+j.又2000=31×(2×31+1)+47,故集合P2000中元素的个数为312+47=1008.4.(2022·江苏卷)已知△ABC的三边长都是有理数.(1)求证:cosA是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数.4\n证明 (1)设三边长分别为a,b,c,cosA=,∵a,b,c是有理数,b2+c2-a2是有理数,分母2bc为正有理数,又有理数集对于除法具有封闭性,∴必为有理数,∴cosA是有理数.(2)①当n=1时,显然cosA是有理数;当n=2时,∵cos2A=2cos2A-1,因为cosA是有理数,∴cos2A也是有理数;②假设当n≤k(k≥2)时,结论成立,即coskA、cos(k-1)A均是有理数.当n=k+1时,cos(k+1)A=coskAcosA-sinkAsinA=coskAcosA-[cos(kA-A)-cos(kA+A)]=coskAcosA-cos(k-1)A+cos(k+1)A解得:cos(k+1)A=2coskAcosA-cos(k-1)A∵cosA,coskA,cos(k-1)A均是有理数,∴2coskAcosA-cos(k-1)A是有理数,∴cos(k+1)A是有理数.即当n=k+1时,结论成立.综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数.5.记…的展开式中,x的系数为an,x2的系数为bn,其中n∈N*.(1)求an;(2)是否存在常数p,q(p<q),使bn=,对n∈N*,n≥2恒成立?证明你的结论.解 (1)根据多项式乘法运算法则,得an=++…+=1-.(2)计算得b2=,b3=.代入bn=,解得p=-2,q=-1.4\n下面用数学归纳法证明bn==-+×(n≥2且n∈N*)①当n=2时,b2=,结论成立.②设n=k时成立,即bk=-+×,则当n=k+1时,bk+1=bk+=-+×+-=-+×.由①②可得存在常数p=-2,q=-1使结论对n∈N*,n≥2成立.6.(2022·江苏卷)设集合Pn={1,2,…,n},n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:①A⊆Pn;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈∁PnA,则2x∉∁PnA.(1)求f(4);(2)求f(n)的解析式(用n表示).解 (1)当n=4时,符合条件的集合A为:{2},{1,4},{2,3},{1,3,4},故f(4)=4.(2)任取偶数x∈Pn,将x除以2,若商仍为偶数,再除以2,…,经过k次以后,商必为奇数,此时记商为m,于是x=m·2k,其中m为奇数,k∈N*.由条件知,若m∈A,则x∈A⇔k为偶数;若m∉A,则x∈A⇔k为奇数.于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Qn是Pn中所有奇数的集合,因此f(n)等于Qn的子集个数.当n为偶数(或奇数)时,Pn中奇数的个数是,所以f(n)=4
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:25:03
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文章作者:U-336598
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