高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第2讲二元一次不等式组及简单的线性规划问题知能训练轻松闯关理北师大版

第2讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．(2022·忻州一模)不等式组所围成的平面区域的面积为(　　)A．3　　　　　　　　　　B．6C．6D．3解析：选D.如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2，0)，B(4，4)，C(1，1)，所求平面区域的面积为S△ABO－S△ACO＝(2×4－2×1)＝3.2．(2022·高考重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)A．－3B．1C.D．3解析：选B.作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2，0)，B(1－m，1＋m)，C，D(－2m，0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)·＝(1＋m)·＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)．3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)A．－5B．3C．－5或3D．5或－3解析：选B.当a＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．7\n由得交点A(－3，－2)，则目标函数z＝x－5y过A点时取得最大值．zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A，C选项．当a＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．　由得交点B(1，2)，则目标函数z＝x＋3y过B点时取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．4．(2022·江西省红色六校模拟)设变量x，y满足则z＝|x－3y|的最大值为(　　)A．3B．8C.D.解析：选B.作出不等式组满足的平面区域，如图，法一：令m＝x－3y，作出目标线，当目标线过A(－2，2)时，mmin＝－2－3×2＝－8.当目标线过B(－2，－2)时，mmax＝－2－3×(－2)＝4.所以－8≤m≤4，所以0≤|m|≤8，即zmax＝8.法二：令m＝，则由点到直线的距离公式知m＝表示区域内的点到直线x－3y＝0的距离，而m取得最大值时，z取得最大值，由图可知点A(－2，2)到直线x－3y＝0的距离最大，故z＝|x－3y|的最大值为|－2－3×2|＝8，故选B.5．(2022·邢台摸底考试)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋7\nby(a>0，b>0)的最大值为4，则a＋b的值为(　　)A.B．2C．4D．0解析：选C.作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1，1)时取最大值，所以a＋b＝4.6．(2022·江西省重点学校联盟)实数x，y满足若t≤y＋2x恒成立，则t的取值范围是(　　)A．t≤13B．t≤－5C．t≤－13D．t≤5解析：选B.作出不等式组的可行域如图中的阴影部分所示，设z＝2x＋y，结合图形可得当目标线过点A(－2，－1)时z取得最小值，最小值为－2×2－1＝－5，而t≤y＋2x恒成立，则有t≤－5.7．(2022·景德镇一模)设不等式组所表示的平面区域为S，若A，B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则由图可知A(0，3)，B(2，0)两点的距离最大，|AB|的最大值为.答案：8．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的值域是________．解析：令t＝x＋2y，则y＝－x＋，作出可行域，7\n平移直线y＝－x，由图像知当直线经过O点时，t最小，当经过点D(0，1)时，t最大，所以0≤t≤2，所以1≤z≤9，即z＝3x＋2y的值域是[1，9]．答案：[1，9]9．(2022·郑州预测)若变量x，y满足约束条件则z＝的取值范围是________．解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，z＝表示可行域内一点P(x，y)与点(－1，－3)的连线的斜率，由图像可知当点P在点(3，0)时，zmin＝，在点(0，4)时，zmax＝7，所以≤z≤7.答案：10．(2022·郑州质检)若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是________．解析：画出可行域，如图，直线3x－5y＋6＝0与2x＋3y－15＝0交于点M(3，3)，由目标函数z＝ax－y，得y＝ax－z，纵截距为－z，当z最小时，－z最大．欲使纵截距－z最大，则－<a<.答案：11.已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a7\n的取值范围．解：(1)直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，得a的取值范围是－18<a<14.12．(2022·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若＋＋＝0，求||；(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解：(1)法一：因为＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，所以解得即＝(2，2)，故||＝2.法二：因为＋＋＝0，则(－)＋(－)＋(－)＝0，所以＝(＋＋)＝(2，2)，所以||＝2.(2)因为＝m＋n，所以(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，所以两式相减得，m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.1．(2022·东北三校联合模拟)变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是(　　)7\nA．{－3，0}B．{3，－1}C．{0，1}D．{－3，0，1}解析：选B.作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，所以a＝－1或a＝3.2．(2022·高考浙江卷)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．解析：因为x2＋y2≤1，所以2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.令z＝10－3x－4y，如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直，所以直线OA的方程为y＝x.联立得A(－，－)，所以当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，zmax＝10－3×(－)－4×(－)＝15.答案：153．若x，y满足约束条件(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．　平移初始直线x－y＋＝0，过A(3，4)时z取最小值－2，过C(1，0)时z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图像可知－1<－<2，7\n解得－4<a<2.故a的取值范围是(－4，2)．4．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A1150B40160C25200如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？解：设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨，所获周利润为z元．依据题意，得目标函数为z＝300x＋200y，约束条件为欲求目标函数z＝300x＋200y＝100(3x＋2y)的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点A(40，0)，B(40，10)，C，D(0，40)．作直线3x＋2y＝0，当移动该直线过点B(40，10)时，3x＋2y取得最大值，则z＝300x＋200y取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)．故zmax＝300×40＋200×10＝14000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14000元．7