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高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第6讲数学归纳法知能训练轻松闯关理北师大版

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第6讲数学归纳法1.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为(  )A.f(n)+n+1     B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2解析:选C.边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n-2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加n-1条.2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是(  )A.假设n=2k+1时正确,再推n=2k+3时正确(其中k∈N*)B.假设n=2k-1时正确,再推n=2k+1时正确(其中k∈N*)C.假设n=k时正确,再推n=k+1时正确(其中k∈N*)D.假设n=k时正确,再推n=k+2时正确(其中k∈N*)解析:选B.因为n为正奇数,所以n=2k-1(k∈N*).3.用数学归纳法证明:“1+++…+<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推理n=k+1时,左边应增加的项数是________.解析:当n=k时,要证的式子为1+++…+<k;当n=k+1时,要证的式子为1+++…++++…+<k+1.左边增加了2k项.答案:2k4.(2022·九江模拟)已知f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为________.解析:因为f(22)>,f(23)>,f(24)>,f(25)>,所以当n≥2时,有f(2n)>.答案:f(2n)>(n≥2,n∈N*)5.求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N*).证明:(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1),那么当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1)·2=2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1).这就是说当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,对所有n∈N*等式成立.6.(2022·高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.解:(1)由题意知S2=4a3-20,所以S3=S2+a3=5a3-20.又S3=15,所以a3=7,S2=4a3-20=8.又S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7,所以a2=5,a1=S1=2a2-7=3.2\n综上知,a1=3,a2=5,a3=7.(2)由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.①当n=1时,结论显然成立;②假设当n=k(k≥1)时,ak=2k+1,则Sk=3+5+7+…+(2k+1)==k(k+2).又Sk=2kak+1-3k2-4k,所以k(k+2)=2kak+1-3k2-4k,解得2ak+1=4k+6,所以ak+1=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.由①②知,对于∀n∈N*,an=2n+1.2

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发布时间:2022-08-25 16:57:11 页数:2
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文章作者:U-336598

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