高考数学玩转压轴题专题2.2导数定调情况多参数分类与整合

专题2.2导数定调情况多参数分类与整合【题型综述】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2、求函数的单调区间的“两个”方法方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(-15-\n在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．【典例指引】例1．已知函数，为函数的导函数．(1)设函数的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；(2)若函数，求函数的单调区间．(Ⅱ)．①当时，，0-0+-15-\n↘极小值↗的单调递增区间为，单调递减区间为(ⅱ)当，即时，，故在单调递减；(ⅲ)当，即时，0-0+0-↘极小值↗极大值↘在上单调递增，在，上单调递减综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为当，的单调递减区间为当时，的单调递增区间为，单调递减区间为、-15-\n例2．已知函数，．（1）求函数的单调区间；【思路引导】（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；试题解析：（1）函数的定义域为．由题意得，当时，，则在区间内单调递增；当时，由，得或（舍去），当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．例3．已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）．（1）令，求的单调区间；【思路引导】（1）求导函数的导数得，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当时，导函数不变号，为单调递增；当时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增．-15-\n所以的减区间为，增区间为综上可得，当时，在上单调递增当时，的增区间为，减区间为．例4．已知函数其中实数为常数且．（I）求函数的单调区间；【思路引导】（1）利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间；-15-\n例5．已知函数．（1）讨论的单调性；【思路引导】（1）求出，分类讨论，分别由可得增区间，由可得减区间-15-\n【同步训练】1．已知（1）若，且函数在区间上单调递增，求实数a的范围；【思路引导】（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。解析：（1）当时，，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立．函数的对称轴为．①，即时，，即，解之得，解集为空集；②，即时，即，解之得，所以-15-\n③，即时，即，解之得，所以综上所述，当函数在区间上单调递增．2．已知函数．(1)讨论的单调性；【思路引导】（1）对函数进行求导分解因式可得，分为和讨论导数与0的关系，得到单调性；3．设函数（1）讨论的单调性；【思路引导】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对m分类讨论即可得出．试题解析：（1）函数定义域为，当时，，∴在上单调递增；当时，得，-15-\n∴在上单调递增；在上单调递减.点评：讨论函数的单调性即讨论导函数的正负，导函数中有参数m，需要对m进行讨论，来判断正负；4．已知函数，其中(为自然对数的底数).（Ⅰ）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；【思路引导】(I)求出，对和分别讨论单调性，求出单调区间;5．已知函数，．（1）求函数的单调区间；【思路引导】（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；-15-\n6．已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数在区间上的单调性；【思路引导】（1）求出，讨论三种情况，，，分别令可得增区间，可得减区间；试题解析：（1），①当时，，，在上单调递增，②当时，，，在上单调递增，③当时，-15-\n时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，④当时，，，在上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减7．设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求函数的最值．【思路引导】（1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，注意分类讨论．④若，则恒成立，所以函数在上单调递减.（2）若，①当时，，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，-15-\n故时，函数有最大值，无最小值；②当时，，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，故时，函数有最小值，无最大值.8．已知函数f(x)＝ln(x＋1)－－x，a∈R.(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；【思路引导】（1）先求导数，转化研究二次函数符号变化规律：当判别式非正时，导函数不变号；当判别式大于零时，定义域上有两个根，导函数符号先负再正再负.-15-\n9．已知常数，函数.(1)讨论在区间上的单调性；【思路引导】(1)结合函数的解析式可得，分类讨论有：当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；试题解析：（1）当时，此时，在区间上单调递增当时，，得当时，；时，；故在区间上单调递减，在区间上单调递增综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．10．已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.【思路引导】-15-\n（1）代入，求导，可求出切线方程。（2）因为.又因为，的两根>0，所以分与与三类讨论单调性。（3）由成立，即，变形.，所以只需。-15-\n-15-