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高考数学玩转压轴题专题3.7三点共线证法多斜率向量均可做
高考数学玩转压轴题专题3.7三点共线证法多斜率向量均可做
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专题3.7三点共线证法多斜率向量均可做【题型综述】三点共线问题证题策略一般有以下几种:①斜率法:若过任意两点的直线的斜率都存在,通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线;②距离法:计算出任意两点间的距离,若某两点间的距离等于另外两个距离之和,则这三点共线;③向量法:利用向量共线定理证明三点共线;④直线方程法:求出过其中两点的直线方程,在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法:求出过其中某两点的直线方程,计算出第三点到该直线的距离,若距离为0,则三点共线.⑥面积法:通过计算求出以这三点为三角形的面积,若面积为0,则三点共线,在处理三点共线问题,离不开解析几何的重要思想:“设而不求思想”.【典例指引】类型一向量法证三点共线例1(2022北京理19)(本小题共14分)已知曲线:()(Ⅰ)若曲线是焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;(Ⅱ)设=4,曲线与轴的交点为,(点位于点的上方),直线与曲线交于不同的两点,,直线与直线交于点,求证:,,三点共线.-25-\n方程为:,则,,,欲证三点共线,只需证,共线即成立,化简得:将①②代入易知等式成立,则三点共线得证。类型二斜率法证三点共线例2.(2022•上海模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点,设AB的中点为M,A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N.(1)求直线FN与直线AB的夹角θ的大小;(2)求证:点B、O、C三点共线.-25-\n∵kOB==,y1y2=﹣4,∴kOB=kOC,∴点B、O、C三点共线.类型三直线方程法证三点共线例3(2022•贵阳二模)已知椭圆C:=1(a>0)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点P,Q,过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:三点N,F,Q在同一条直线上.-25-\n==,即直线QN过点(1,0),又∵椭圆C的右焦点坐标为F(1,0),∴三点N,F,Q在同一条直线上.-25-\n类型四多种方法证三点共线例4.(2022•保定一模)设椭圆x2+2y2=8与y轴相交于A,B两点(A在B的上方),直线y=kx+4与该椭圆相交于不同的两点M,N,直线y=1与BM交于G.(1)求椭圆的离心率;(2)求证:A,G,N三点共线.-25-\n【扩展链接】1.给出,等于已知与的中点三点共线;2.给出以下情形之一:①;②存在实数;③若存在实数,等于已知三点共线;3.【同步训练】1.已知椭圆E:+=1(a>)的离心率e=,右焦点F(c,0),过点A(,0)的直线交椭圆E于P,Q两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:M,F,Q三点共线;(3)当△FPQ面积最大时,求直线PQ的方程.【思路点拨】(1)由椭圆的离心率公式,计算可得a与c的值,由椭圆的几何性质可得b的值,将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案;-25-\n(2)根据题意,设直线PQ的方程为y=k(x﹣3),联立直线与椭圆的方程可得(3k2+1)x2﹣18k2x+27k2﹣6=0,设出P、Q的坐标,由根与系数的关系的分析求出、的坐标,由向量平行的坐标表示方法,分析可得证明;(3)设直线PQ的方程为x=my+3,联立直线与椭圆的方程,分析有(m2+3)y2+6my+3=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),结合根与系数的关系分析用y1.y2表示出△FPQ的面积,分析可得答案.(3)设直线PQ的方程为x=my+3.由方程组,得(m2+3)y2+6my+3=0,-25-\n2.已知椭圆C:+y2=1的左顶点为A,右焦点为F,O为原点,M,N是y轴上的两个动点,且MF⊥NF,直线AM和AN分别与椭圆C交于E,D两点.(Ⅰ)求△MFN的面积的最小值;(Ⅱ)证明;E,O,D三点共线.【思路点拨】(I)F(1,0),设M(0,t1),N(0,t2).不妨设t1>t2.由MF⊥NF,可得=0,化为:t1t2=﹣1.S△MFN=,利用基本不等式的性质即可得出.(II)A(﹣,0).设M(0,t),由(1)可得:N(0,﹣),(t≠±1).直线AM,AN的方程分别为:y=x+t,y=x﹣.分别与椭圆方程联立,利用一元二次方程的根与系数的关系可得kOE,kOD.只要证明kOE=kOD.即可得出E,O,D三点共线.【详细解析】(I)F(1,0),设M(0,t1),N(0,t2).不妨设t1>t2.∵MF⊥NF,∴=1+t1t2=0,化为:t1t2=﹣1.-25-\n∴S△MFN==≥=1.当且仅当t1=﹣t2=1时取等号.3.已知焦距为2的椭圆W:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为A1,A2,上、下顶点分别为B1,B2,点M(x0,y0)为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点,且四条直线MA1,MA2,MB1,MB2的斜率之积为.(1)求椭圆W的标准方程;(2)如图所示,点A,D是椭圆W上两点,点A与点B关于原点对称,AD⊥AB,点C在x轴上,且AC与x轴垂直,求证:B,C,D三点共线.-25-\n【思路点拨】(1)由c=1,a2﹣b2=1,求得四条直线的斜率,由斜率乘积为,代入求得a和b的关系,即可求得a和b的值,求得椭圆W的标准方程;(2)设A,D的坐标,代入椭圆方程,作差法,求得直线AD的斜率,由kAD•kAB=﹣1,代入求得=,由kBD﹣kBC=0,即可求证kBD=kBC,即可求证B,C,D三点共线.(2)证明:不妨设点A(x1,y1),D(x2,y2),B的坐标(﹣x1,﹣y1),C(x1,0),∵A,D在椭圆上,,=0,即(x1﹣x2)(x1+x2)+2(y1﹣y2)(y1+y2)=0,-25-\n∴=﹣,由AD⊥AB,∴kAD•kAB=﹣1,•=﹣1,•(﹣,)=﹣1,∴=,∴kBD﹣kBC=﹣=﹣=0,kBD=kBC,∴B,C,D三点共线.4.给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆的“伴随圆”.已知A(2,1)是椭圆G:x2+4y2=m(m>0)上的点.(Ⅰ)若过点P(0,)的直线l与椭圆G有且只有一个公共点,求直线l被椭圆G的“伴随圆”G1所截得的弦长;(Ⅱ)若椭圆G上的M,N两点满足4k1k2=﹣1(k1,k2是直线AM,AN的斜率),求证:M,N,O三点共线.【思路点拨】(Ⅰ)将A代入椭圆方程,可得m,进而得到椭圆方程和伴椭圆方程,讨论直线l的斜率不存在和存在,设出l的方程,代入椭圆方程运用判别式为0,求得k,再由直线和圆相交的弦长公式,计算即可得到所求弦长;(Ⅱ)设直线AM,AN的方程分别为y﹣1=k1(x﹣2),y﹣1=k2(x﹣2),设点M(x1,y1),N(x2,y2),联立椭圆方程求得交点M,M的坐标,运用直线的斜率公式,计算直线OM,ON的斜⇐率相等,即可得证.-25-\n-25-\n5.已知椭圆,四点中恰有三点在椭圆C上(1)求椭圆的方程.(2)经过原点作直线(不与坐标轴重合)交椭圆于,两点,轴于点,点在椭圆C上,且求证:,三点共线.【思路点拨】根据椭圆上的点坐标求出椭圆方程;设出,,则,-25-\n,再向量坐标化,得到,得到,最终得到;6.已知抛物线:()的焦点为,点为直线与抛物线准线的交点,直线与抛物线相交于、两点,点关于轴的对称点为.(1)求抛物线的方程;(2)证明:点在直线上.-25-\n【思路点拨】(1)由交点坐标可得,求得可得抛物线方程;(2)设直线的方程为(),代入抛物线方程消去x整理得,再设,,进而得,可得直线的方程为,又,,故BD方程化为,令,得,即结论成立。【详细解析】(1)依题意知,解得,所以抛物线的方程.(2)设直线的方程为(),7.已知椭圆:的离心率与双曲线:的离心率互为倒数,且经过点.(1)求椭圆的标准方程;-25-\n(2)如图,已知是椭圆上的两个点,线段的中垂线的斜率为且与交于点,为坐标原点,求证:三点共线.【思路点拨】(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点,建立关于a,b,c的方程组从而得到椭圆的标准方程;(2)因为线段线段的中垂线的斜率为,所以线段所在直线的斜率为,线段所在直线的方程为,联立方程可得,利用韦达定理得到弦的中点的坐标,所以,所以点在定直线上,而两点也在定直线上,所以三点共线.【详细解析】(1)因为双曲线:的离心率,而椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数,所以椭圆的离心率为,设椭圆的半焦距为,则.①又椭圆经过点,所以.②,③联立①②③,解得.所以椭圆的标准方程为.-25-\n8.设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F1,离心率为,过点F1且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程;(2)若y2=4x上存在两点M,N,椭圆C上存在两个点P,Q,满足:P,Q,F1三点共线,M,N,F1三点共线且PQ⊥MN,求四边形PMQN的面积的最小值.【思路点拨】(1)由题意可知:a=b2,a=c及a2=b2﹣c2,即可求得a和b的值,求得椭圆的标准方程;(2)讨论直线MN的斜率不存在,求得弦长,求得四边形的面积;当直线MN斜率存在时,设直线方程为:y=k(x﹣1)(k≠0)联立抛物线方程和椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及四边形的面积公式,计算即可得到最小值.-25-\n由弦长公式|PQ|=•=,∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=,令1+k2=t,(t>1),则S===4×(1+)>4,∴S>4,-25-\n综上可知:四边形PMQN的面积的最小值4.9.已知椭圆的右焦点为F,设直线l:x=5与x轴的交点为E,过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A,B两点,M为线段EF的中点.(I)若直线l1的倾斜角为,求△ABM的面积S的值;(Ⅱ)过点B作直线BN⊥l于点N,证明:A,M,N三点共线.【思路点拨】(I)由题意,直线l1的x=y+1,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式即可求得△ABM的面积S的值;(Ⅱ)直线y=k(x﹣1),代入椭圆方程,由韦达定理,利用直线的斜率公式,即可求得kAM=kMN,A,M,N三点共线.-25-\n10.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为2,且椭圆C与圆M:(x﹣1)2+y2=的公共弦长为.(1)求椭圆C的方程.(2)经过原点作直线l(不与坐标轴重合)交椭圆于A,B两点,AD⊥x轴于点D,点E在椭圆C上,且,求证:B,D,E三点共线..【思路点拨】(1)由题意得,由椭圆C与圆M:的公共弦长为,其长度等于圆M的直径,得椭圆C经过点,由此能求出椭圆C的方程.(2)设A(x1,y1),E(x2,y2),则B(﹣x1,﹣y1),D(x1,0).利用点差法求出,从而求出kAB•kAE=﹣1,进而求出kBE=kBD,由此能证明B,D,E三点共线.-25-\n【详细解析】(1)由题意得,则.由椭圆C与圆M:的公共弦长为,其长度等于圆M的直径,即.又=,所以kAB•kAE=﹣1,即,所以所以又=,所以kBE=kBD,所以B,D,E三点共线.-25-\n11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(﹣1,),椭圆C的右焦点为A,点B的坐标为(,0).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知纵坐标不同的两点P,Q为椭圆C上的两个点,且B、P、Q三点共线,线段PQ的中点为R,求直线AR的斜率的取值范围.【思路点拨】(Ⅰ)由椭圆的离心率为,且过点(﹣1,),列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(Ⅱ)依题意直线PQ过点(,0),且斜率不为0,设其方程为x=my+,联立,得4(3m2+4)y2+12my﹣45=0,由此利用韦达定理、中点坐标公式,结合已知条件能求出直线AR的斜率的取值范围.(Ⅱ)依题意直线PQ过点(,0),且斜率不为0,故可设其方程为x=my+,联立,消去x,得4(3m2+4)y2+12my﹣45=0,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x0,y0),直线AR的斜率为k,故,,-25-\n∴,∴k=,当m=0时,k=0,当m≠0时,k=,故|4m+|=4|m|+,∴0<≤,∴0<|k|,∴﹣,且k≠0,综上所述,直线AR的斜率的取值范围是[﹣].12.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,抛物线E:x2=4y的焦点是椭圆C的一个顶点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若A,B分别是椭圆C的左、右顶点,直线y=k(x﹣4)(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,直线x=1与直线BM交于点P.(i)证明:A,P,N三点共线;(ii)求△OMN面积的最大值.【思路点拨】(Ⅰ)由题意知⇒a=2,b=1,c=,即可;(Ⅱ)(i)将直线y=k(x﹣4)(k≠0)代入椭圆C得:(1+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣4=0.则M(x1,k(x1﹣4)),N(x2,k(x2﹣4)).要证A,P,N三点共线,只证明共线即可,即证明成立.(ii)将直线y=k(x﹣4)(k≠0)变形为x=my+4,(m=).联立得(m2﹣4)y2+8my﹣12=0.|MN|=,点O到直线MN的距离d=.△OMN面积S=×|MN|×d即可.-25-\n则M(x1,k(x1﹣4)),N(x2,k(x2﹣4)).∴BM的方程为:,⇒P(1,)∴).要证A,P,N三点共线,只证明共线即可,即证明成立.即证明2x1x2﹣5(x1+x2)﹣8=0,将①代入上式显然成立.∴A,P,N三点共线.-25-\n-25-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 22:51:44
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