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高考数学玩转压轴题专题2.4极值计算先判断单调原则不能撼

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专题2.4极值计算先判断单调原则不能撼【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)函数极值的判断:先确定导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)求函数极值的方法:①确定函数的定义域.②求导函数.③求方程的根.④检查在方程的根的左、右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果在这个根的左、右两侧符号不变,则在这个根处没有极值.(3)利用极值求参数的取值范围:确定函数的定义域,求导数,求方程的根的情况,得关于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或范围.【典例指引】例1.已知函数其中⑴当时,求曲线处的切线的斜率;⑵当时,求函数的单调区间与极值.17\n②<,则>,当变化时,的变化情况如下表:+0—0+↗极大值↘极小值↗例2.已知函数的图象在处的切线过点,.(1)若,求函数的极值点;(2)设是函数的两个极值点,若,证明:.(提示)【思路引导】(1)求导,则.又,曲线在处的切线过点利用斜率相等,可得.,又,可得,则,可得函数的极值点.17\n(2)由题是方程的两个根,则,,由,可得,,∴是函数的极大值,是函数的极小值,∴要证,只需,计算整理可得,令,则,设,利用导数讨论函数的性质即可得证.(2)∵是方程的两个根,∴,,∵,∴,,∴是函数的极大值,是函数的极小值,∴要证,只需,,令,则,设,则,函数在上单调递减,∴,∴17\n例3.已知函数在处有极值10.(1)求实数的值;(2)设,讨论函数在区间上的单调性.【思路引导】(1)根据题意得到关于m的方程组,解方程组求得即可;(2)先判断函数的单调性,然后根据的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性.(2)由(1)可知,∴当变化时,的变化情况如下表:117\n+0-0+增极大减极小增⑤当时,在区间上单调递增.综上所述:当或时,在区间上单调递增;当时,在区间上上单调递增,在上单调递减;当时,在区间上单调递减;当时,在区间上单调递减,在上单调递增.点评:解答本题的易错点有两个:(1)在第一问中忽视了对值的检验,因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件,这是很容易出现的错误.(2)第二问中不能熟练地通过对进行分类讨论求解;还有,即便是分类了,分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况.【同步训练】1.设,.(1)令,求的单调区间;(2)已知在处取得极大值,求实数的取值范围.【思路引导】17\n(1)求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数,根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间,但要含参问题时则要注意讨论,由,根据a的不同取值讨论即可得出单调区间;(2)已知在处取得极大值,故.,然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围(2)由(1)知,.①当a时,单调递增.所以当时,,单调递减.当时,,单调递增.所以在处取得极小值,不合题意.②当时,,由(1)知在内单调递增,可得当时,,时,,所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.③当时,即时,在内单调递增,在内单调递减,17\n2.已知函数,在定义域内有两个不同的极值点(I)求的取值范围;(II)求证:【思路引导】(1)函数,在定义域内有两个不同的极值点,令即对求导,按照和分类判断单调性及极限,求出函数的极值,确定a的范围;(2)证明,即证,,,构造函数求导判断单调性求出函数的最值,即可证明不等式成立.试题解析:(I)令由题意可知,当17\n(II)由题意及(I)可知,即证3.已知函数.(Ⅰ)若函数在时有极值0,求常数a,b的值;(Ⅱ)若函数在点处的切线平行于x轴,求实数b的值.【思路引导】(1)根据函数的极值点的概念得到,极值点既在切线上又在曲线上,得到参数值.(2)根据导数的几何意义得到,从而得到参数值.17\n4.已知函数,.(1)求函数在上的最值;(2)求函数的极值点.【思路引导】(1)对函数进行求导可得,求出极值,比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值;(2)对进行求导可得,利用求根公式求出导函数的零点,得到导数与0的关系,判断单调性得其极值.试题解析:(1)依题意,,令,解得.因为,,,且,故函数在上的最大值为,最小值为.(2)依题意,,,当时,令,则.因为,所以,其中,.因为,所以,,所以当时,17\n,当时,,所以函数在上是增函数,在上是减函数,故为函数的极大值点,函数无极小值点.5.设函数f(x)=lnx+ax2+x+1.(I)a=﹣2时,求函数f(x)的极值点;(Ⅱ)当a=0时,证明xex≥f(x)在(0,+∞)上恒成立.【思路引导】(1)求导数判断函数的单调性,通过单调性求极值点;(2)当a=0时构造函数F(x)=xex﹣f(x)=xex﹣lnx﹣x﹣1,(x>0),只要证明F(x)≥=0即可.(Ⅱ)证明:当a=0时,f(x)=lnx+x+1令F(x)=xex﹣f(x)=xex﹣lnx﹣x﹣1,(x>0),则F′(x)=•(xex﹣1),令G(x)=xex﹣1,则G′(x)=(x+1)ex>0,(x>0),∴函数G(x)在(0,+∞)递增,又G(0)=﹣1<0,G(1)=e﹣1>0,∴存在唯一c∈(0,1)使得G(c)=0,且F(x)在(0,c)上单调递减,在(c,+∞)上单调递增,故F(x)≥F(c)=c•ec﹣lnc﹣c﹣1,由G(c)=0,得c•ec﹣1=0,得lnc+c=0,17\n∴F(c)=0,∴F(x)≥F(c)=0,从而证得xex≥f(x).点评:在本题(Ⅱ)的解答中,为了求F(x)的最小值,通过求导得到F′(x)=•(xex﹣1),不容易判断F(x)的单调性,故构造G(x)=xex﹣1,采用二次求导的方法,在求G(x)零点的过程中遇到了零点不可求的问题,此类问题的解法是利用G(x)的单调性和零点存在定理,判断零点所在的范围,然后理通过整体代换的方法求函数F(x)的最值,这是解决函数综合问题中常用的一种方法.6.已知函数,,(其中,为自然对数的底数,……).(1)令,求的单调区间;(2)已知在处取得极小值,求实数的取值范围.【思路引导】(1)求导函数的导数得,再根据是否变号进行分类讨论单调性:当时,导函数不变号,为单调递增;当时,导函数先负后正,对应单调区间为先减后增;(2)由题意得,结合(1)根据导函数单调性分类讨论在处是否为极小值:当时,在附近先减后增,为极小值;当时,按与零大小关系进行二次讨论:,单调递增;在附近先减后增,为极小值;当时,,无极值;时,单调递减;在附近先增后减,为极大值;综上可得实数的取值范围.17\n(3)当时,由(Ⅰ)知在区间单调递减,在区间单调递增,所以在处取得最小值,即,所以函数在上单调递增,所以在处无极值,不符合题意.(4)当时,,由(Ⅰ)知的减区间为,所以当时,,当时,,17\n所以在处取得极大值,不符合题意,综上可知,实数的取值范围为.7.已知函数().(1)若在其定义域内单调递增,求实数的取值范围;(2)若,且有两个极值点,(),求的取值范围.【思路引导】函数在某区间上单调递增,说明函数的导数大于或等于0在该区间上恒成立,分离参数m,利用极值原理求出参数m的取值范围;当时有两个极值点为方程的两个根,根据根与系数关系找出与系数的关系,根据m的范围解出的范围,表示出,根据减元,利用构造函数法求出其取值范围.17\n8.已知函数.(1)若函数在和处取得极值,求的值;(2)在(1)的条件下,当时,恒成立,求的取值范围.【思路引导】(1)求出导函数,利用,且=0,解方程组可求得;(2)利用导数研究函数的单调性,可得函数在时,的最小值为,只需即可求的取值范围.17\n(2)由(1)知,,当变化时,随的变化如下表:-2-123+0-0+增减增∴当时,的最小值为,要使恒成立,只要即可,∴,∴的取值范围为.9.已知函数,其中为常数.(1)当,且时,判断函数是否存在极值,若存在,求出极值点;若不存在,说明理由;(2)若,对任意的正整数,当时,求证:.【思路引导】(1)令,求出的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极小值即可;17\n(Ⅱ)时,求的导数,通过讨论是奇数,偶数,结合函数的单调性证明结论即可.(2)证:因为,所以.当为偶数时,令,则∴所以当时,单调递增,的最小值为.因此所以成立.当为奇数时,要证,由于,所以只需证.令,则,当时,单调递增,又,所以当时,恒有,命题成立.10.已知函数.(1)求函数的极值点;(2)若f(x)≥x2+1在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围.17\n【思路引导】(1)首先对函数求导,考虑到导函数含有参数,对参数大于等于0,和小于0两种情况进行讨论.(2)恒成立问题,首先利用参数分离,得到,再令,原问题转化为,从而求出参数的范围.17

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发布时间:2022-08-25 22:51:47 页数:17
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文章作者:U-336598

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