高考数学第三次调研考试卷

高考数学第三次调研考试卷(考试时间：120分钟+30分钟总分160分+40分)命题人：朱占奎（江苏省靖江中学）戴年宝（江苏省姜堰中学）龚留俊（江苏省泰兴中学）审题人：蔡德华（泰兴市第二高级中学）石志群（泰州市教研室）注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．参考公式：样本数据，，，的方差（为样本平均数）锥体体积公式柱体体积公式（其中为底面面积、为高）用最小二乘法求线性回归方程系数公式，A．必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合≤，，则集合A中所有元素之和为▲．2．如果实数和非零向量与满足，则向量和▲．（填“共线”或“不共线”）．3．△中，若，，则▲．4．设，为常数．若存在，使得，则实数a的取值范围是▲．5．若复数，，，且与均为实数，则▲．6．右边的流程图最后输出的的值是▲．7．若实数、{，，，}，且，则曲线13/13\n表示焦点在轴上的双曲线的概率是▲．8．已知下列结论：①、都是正数，②、、都是正数，▲则由①②猜想：、、、都是正数9．某同学五次考试的数学成绩分别是120，129，121，125，130，则这五次考试成绩的方差是▲．10．如图，在矩形中，，，以为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率是▲．第10题图11．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图，则这个几何体的体积最大是▲cm3．图1（俯视图）图2（主视图）第11题图12．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，月份1234用水量4.5432.5由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程13/13\n是▲．13．已知平面内一区域，命题甲：点；命题乙：点．如果甲是乙的充分条件，那么区域的面积的最小值是▲．14．设是椭圆上任意一点，和分别是椭圆的左顶点和右焦点，则的最小值为▲．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）ABCC1A1B115．（本小题满分14分）直三棱柱中，，．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积．16．（本小题满分14分）某化工企业2022年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？17．（本小题满分14分）如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切、且与轴及直线分别相切于、两点．（1）求圆和圆的方程；（2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．18．（本小题满分14分）已知函数，．13/13\n（1）求函数在内的单调递增区间；（2）若函数在处取到最大值，求的值；（3）若（），求证：方程在内没有实数解．（参考数据：，）19．（本小题满分16分）已知函数（）的图象为曲线．（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．20．（本小题满分18分）已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．（1）若，，求数列的通项公式；（2）若，数列的前5项成等比数列，且，，求满足的正整数的个数．B．附加题部分三、附加题部分（本大题共6小题,其中第21和第22题为必做题，第23～26题为选做题，请考生在第23～26题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）21．（本小题为必做题，满分12分）已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点．（1）求实数的值；（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？13/13\n22．（本小题为必做题，满分12分）甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望．23．（本小题为选做题，满分8分）如图，在△中，是的中点，是的中点，的延长线交于.（1）求的值；（2）若△的面积为，四边形的面积为，求的值．24．（本小题为选做题，满分8分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：．（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系．13/13\n25．（本小题为选做题，满分8分）试求曲线在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=，N=．26．（本小题为选做题，满分8分）用数学归纳法证明不等式：．盐城市一中08~春学期第三次调研考试高三数学试题参考答案A．必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．2．共线3．44．5．6．57．8．9．16.410．11．712．13．214．二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）15．（本小题满分14分）解：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，则BB1⊥AB，BB1⊥BC，------------------------------------------------------------3分又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=，则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，--------------------------------------------6分又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，所以有平面AB1C⊥平面B1CB；--------------------------------------------------9分（2）三棱锥A1—AB1C的体积．----------14分（注：还有其它转换方法）13/13\n16．（本小题满分14分）解：（1）即（）；------------------------------------------------7分（不注明定义域不扣分，或将定义域写成也行）（2）由均值不等式得：（万元）-----------------------11分当且仅当，即时取到等号．----------------------------------------13分答：该企业10年后需要重新更换新设备．------------------------------------------14分17．（本小题满分14分）解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为，------------------------------------4分设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC，由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即，则OC=，则⊙N的方程为；----------------8分（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦的长度，此弦的方程是，即：，圆心N到该直线的距离d=，----------------------------------------------11分则弦长=．----------------------------------------------------14分另解：求得B（），再得过B与MN平行的直线方程，13/13\n圆心N到该直线的距离=，则弦长=．（也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长）18．（本小题满分14分）解：（1），令（）则，------------------------------------------------2分由于，则在内的单调递增区间为和；---------------4分（注：将单调递增区间写成的形式扣1分）（2）依题意，（），------------------------------------------6分由周期性，；-----------------8分（3）函数（）为单调增函数，且当时，，，此时有；-------------10分当时，由于，而，则有，即，又为增函数，当时，------12分而函数的最大值为，即，则当时，恒有，综上，在恒有，即方程在内没有实数13/13\n解．--------------------------------------------------------------------------------------------14分19．（本小题满分16分）解：（1），则，即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；------------4分（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------6分解得或，由或得：；-------------------------------9分（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，，则切线方程是：，化简得：，--------------------------11分而过B的切线方程是，由于两切线是同一直线，则有：，得，----------------------13分又由，即，即即，得，但当时，由得，这与矛盾。所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分20．（本小题满分18分）解：（1）若，因为5，6，7，则5，6，7，由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项，所以3只可能是数列中的第1，2，3项，若，则，若，则，若，则；-----------------------------------------------------------4分13/13\n（注：写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分）（2）首先对元素2进行分类讨论：①若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得，这显然不可能；②若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得，因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的，所以，则，因此数列的前5项分别为1，，2，，4，这样，则数列的前9项分别为1，，2，，4，，，，8，上述数列符合要求；---------------------------------------------------------10分③若2是数列的第项（），则，即数列的公差，所以，1，2，4<，所以1，2，4在数列的前8项中，由于，这样，，，…，以及1，2，4共9项，它们均小于8，即数列的前9项均小于8，这与矛盾。综上所述，，---------------------------------------------------------12分其次，当时，，，，-------------------------------------------14分当时，，因为是公差为的等差数列，所以，----------------------------------------------------------16分所以，此时的不符合要求。所以符合要求的一共有5个。-------------------18分B．附加题部分三、附加题部分：21．（必做题）（本小题满分12分）解：（1）将代入得，----------------------2分由△可知，13/13\n另一方面，弦长AB，解得；-------------6分（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，则只须使得，-----------------------------------------------10分即，即位于（4，4）点处．----------------------------------------12分22．（必做题）（本小题满分12分）解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、、；表示事件“恰有一人通过笔试”则---------------------------------------------------------------------6分（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，---------------------------------------------------------------------9分所以，故．-------------12分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，则所以，，．于是，．23．（选做题）（本小题满分8分）证明：（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，-------------------------2分∵E是BD的中点，∴BE=DE，又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，∴BF：FC=DG：FC，又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，则BF：FC=1：2；----------------------------------------------4分（2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，则由（1）知BF：BC=1：3，又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分别为△BEF和△BDC的高，13/13\n则，则=1：5．-----------------------8分24．（选做题）（本小题满分8分）解：（1）消去参数，得直线的普通方程为；-----------------------2分即，两边同乘以得，消去参数，得⊙的直角坐标方程为：--------------------------------------------------------------4分（2）圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交．---------------------------------------8分25．（选做题）（本小题满分8分）解：MN==，---------------------------------------------------4分即在矩阵MN变换下，-------------------------------------6分则，即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为．----------8分26．（选做题）（本小题满分8分）证明：（1）当时，左边＝，时成立----------2分13/13\n（2）假设当时成立，即那么当时，左边时也成立--------------------------------------------------7分根据（1）（2）可得不等式对所有的都成立----------------------------------8分本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！13/13