高考数学高考试题教学运用与探究圆锥曲线的内接直角三角形的探究

圆锥曲线的内接直角三角形的探究新课程高考数学试题，大多源于教材，即便是综合题也是教材例题、习题的组合、加工、引申、拓展和类比，充分体现教材的基础作用，因此，高三复习教学中，教师要紧扣教材，从多个角度精心挖掘教材例题、习题的潜能，使教材中的每一个例题、习题的作用发挥极致，以达到最佳的教学效果．人民教育出版社《全日制普通高中教科书（选修2--1）数学》第73页的第六题主要考查解析几何的基本思想和基本方法，看似平淡无奇，其实是一道呈现简洁、极富韵味的好题，值得我们细细品味．一、题目的再现直线与抛物线相交于两点，求证：．解析设，则，消元得：，，，所以，故．二、变换条件，领悟习题功能习题中的抛物线方程为，其特征量，恰是直线所过定点的横坐标2，这是不是蕴含着一种规律呢？思考1直线与抛物线相交于异于顶点的两个动点．若直线经过点，求的值．解析显然，直线的斜率不为0，设直线为，则，消元得：，，所以，亦即．评注变换已知条件是拓展探究的常见的方式，是由特殊到一般，以合情推理的数学思想方法为基础，使用有目的性、规律性的原则进行引申与推广，使得一道题变为一类题，可以达到知一题会一类的功效．三、逆向探究，优化思维品质经过定点的直线与抛物线相交于异于顶点的两个动点，则，那么它的逆命题的是否正确性呢？思考2直线与抛物线相交于异于顶点的两个动点．若，求证：直线必过定点；解析设，因为，所以，即（舍），4\n所以，所以，整理，得：，因为，所以，显然也成立．故直线必过定点．评注圆锥曲线的定点、定值问题是高考对重要考点考查的视角之一．通过对数学问题的逆向探究，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，从而优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力与素质．四、拓展探究，深化习题潜能通过探究，我们证明了一个结论：直线与抛物线相交于异于顶点的两个动点，则“直线经过点”的充要条件是“”．如果把直角顶点从原点移到抛物线上的任意一点，是否还有类似的结论呢？思考3点在曲线上，直线与抛物线相交于异于的两个动点，若，直线过定点吗？探究设，因为，所以，即，所以直线的方程依然是，因为，所以，显然也成立．故直线必过定点．评注实际上，本题若直线过定点，也可证明（略）．这样一来，我们得到一般性的结论：点在曲线上，直线与抛物线相交于异于的两个动点，则“直线经过点”的充要条件是“”．五、类比探究，促使能力呈现通过上面的探究，我们得到抛物线的内接直角三角形的斜边恒过定点的结论，那么，椭圆的内接直角三角形的斜边恒过定点吗？双曲线的内接直角三角形的斜边恒过定点吗？思考4（2022年马鞍山市二模（文））已知椭圆的焦点是，点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆的下顶点，过点的两条相互垂直的直线分别交椭圆与点4\n（与不重合）．试证明直线经过定点．解析（1）椭圆的方程；（2）由（1）知，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，则，消元，得：，，且，，所以，故（舍）即直线经过定点．思考5（2022年宿州市三模（文））已知椭圆上的动点到两个焦点的距离之和为6，且它到右焦点的距离的最小值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，是椭圆的右顶点，，试证明直线经过定点．（解析略）评注一般的，可以证明：（1）设为椭圆上的定点，为椭圆的一条动弦，当时，弦所在直线必过定点．（2）设为椭圆上的定点，为椭圆的一条动弦，当时，弦所在直线必过定点．类比推理，对于双曲线有如下结论：（1）设为双曲线上的定点，为双曲线的一条动弦，当时，弦所在直线必过定点．4\n（2）设为双曲线上的定点，为双曲线的一条动弦，当时，弦所在直线必过定点．当然，如果我们把圆视为椭圆的特例，圆的内接直角三角形的斜边必过定点即圆心．至此，圆锥曲线的内接直角三角形的斜边必过定点．六、结束语前苏联教育家维果斯基的最近发展区理论认为，教学决定着学生的智力发展，教学应当走在学生发展的前面，不停地把学生的智力从一个水平引导到另一个新的更高的水平．高考数学试题具有“源于教材，但高于教材；题在书外，但根在书里”的特点，因此，在高三的课堂教学活动中，教师势必需要时刻立足教材，对教材中有潜质的例题、习题进行挖掘，这是活用教材的体现，也是在学生思维水平“最近发展区”的教学，从而启迪学生的思维，开拓解题思路、解题能力，激活数学思维方法．4