高考数学高考试题的探究第二集圆锥曲线的切线中的定点问题

圆锥曲线切线的定点问题摘要圆锥曲线中的切线是直线与圆锥曲线的位置关系的一种特殊情形。定点问题，是在运动变化中寻找不变量的一类题型．本文尝试从理论指导实践与实践性反思的角度力求较为深层次地剖析圆锥曲线的切线蕴涵的定点问题，掌握其解题的主要规律，简化解析几何的运算，促使学生能举一反三、触类旁通，提升数学素养与能力。关键词圆锥曲线切线定点问题解题教学简化运算解题策略圆锥曲线中的切线是直线与圆锥曲线的位置关系的一种特殊情形，圆锥曲线中的切线有一些结论。而圆锥曲线中的定点问题是指某些几何量不受运动变化的点的影响而有固定取值的一类问题，是在运动变化中寻找不变量的一类题型．其解题方法体现了一般与特殊的数学思想，是数学思想与数学知识紧密结合产生的一类综合性试题，也是高考考查考生综合能力的热点题型之一。这类问题往往是先根据特殊情况找到这个定点，再对一般情况作出证明，即“特殊情形求定值，一般情形证定值。”下面结合高考试题探讨圆锥曲线的切线有关的定点问题.例1：(2022年高考福建卷文科)如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上。（1）求抛物线的方程；（2）设动直线与抛物线相切于点，与直线相较于点。证明以为直径的圆恒过轴上某定点。解：（1）法1：依题意,，设点则∴在抛物线上，∴∴，故抛物线的方程法2：设则点关于轴对称，代入抛物线的方程：，故抛物线的方程评析：几何法是求解圆锥曲线的方程重要方法之一，是数形结合思想的具体应用。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其几何特征的基础上展开的，在分析求解时若重视几何特征，可以使得许多问题化繁为简，收简捷巧妙解题之效果。（2）法1：设点，6\n∵∴切线方程为：即由，得∴①取，此时，以为直径的圆为，交轴于点取，此时，以为直径的圆为，交轴于点故若满足条件的点存在，只能是评析：定点问题的解决过程中，往往借助于特殊情形确定出这个定点。此乃特殊与一般的思想之“特殊”.而特殊情形的选择不一定就是平行于坐标轴的情形，具有一定的灵活性、技巧性。②设令对满足的恒成立，由于∵·∴即此式对满足的恒成立，∴故以为直径的圆过轴上的定点评析：定点问题的解决的第二个环节是结合一般情形论证这个定点。此乃特殊与一般的思想之“一般”.6\n一般情形的论证往往借助于待定系数法，运用转化与化归的数学思想化归为含有参数的等式恒成立问题来处理。法2：（同法1）解得若满足条件的点存在，只能是以下验证点就是所要求的点．因为所以故以为直径的圆过轴上的定点评析：定点问题的解决的第二个环节可以结合一般情形“论证”这个定点，更为简捷的方法不是论证，而是“验证”。法3：设点，则以为切点的切线为由，得∴评析：抛物线，点在抛物线上，则以为切点的切线为应用圆锥曲线的切线的重要结论可以减少运算量，增强运算的准确性。以下验证点就是所要求的点．因为所以故以为直径的圆过轴上的定点反思：本题中的直线恰为抛物线的准线，结论中的定点恰为抛物线的焦点，这是不是抛物线的共性问题呢？引申：动直线与抛物线相切于点，与准线相交于点，则以为直径的圆恒过抛物线的焦点。椭圆的切线与准线相交，有没有类似的定点问题呢？6\n例2：已知椭圆的离心率为且点在椭圆上。（I）求椭圆的方程；（II）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于，问是否存在定点使得？若存在，写出定点的坐标；若不存在，请说明理由。解：（I）由题知，又点在椭圆上，∴故椭圆的方程为：评析：圆锥曲线的解答题的第一问大多是求解圆锥曲线的标准方程，往往可以根据已知信息进行“猜想—验证”。如本题椭圆的，猜出；再如椭圆的，因，可猜,……（II）①直线的斜率为0时，若，则此时必在圆上；若，此时必在圆上；所以若存在定点,则必是圆与圆的公共点评析：定点问题的解决过程中，特殊情形的选择往往是平行于坐标轴的情形，方便可行。②法1：直线与直线相交于，则直线的斜率必存在，设直线则消元得：∵直线与椭圆相切于点∴且6\n即假设存在定点则∴当且仅当时，取等号。故存在定点，使得法2：（同法1）若满足条件的点存在，只能是以下验证点就是所要求的点．故存在定点，使得法3：设直线与椭圆相切于点则直线以下验证点就是所要求的点．∵故存在定点，使得6\n评析：椭圆，点在椭圆上，则以为切点的切线为反思：本题中的直线恰为椭圆的准线，结论中的定点恰为椭圆的右焦点，这是不是椭圆的共性问题呢？引申：动直线与椭圆相切于点，与准线相交于，则以为直径的圆恒过椭圆的相应焦点。反思：双曲线的切线有没有类似的定点问题呢？引申：动直线与双曲线相切于点，与准线相交于，则以为直径的圆恒过椭圆的相应焦点。拓展：动直线与圆锥曲线相切于点，与准线相交于，则以为直径的圆恒过圆锥曲线的相应焦点。圆锥曲线中的切线蕴涵的定点问题，是在运动变化中寻找不变量的一类题型．是数学思想与数学知识紧密结合产生的一类综合性试题，也是高考考查考生综合能力的热点题型之一。在每一题高考试题中总是若隐若现地出现那种看似无形却有形、犹抱琵笆半遮面的情景，这就要求认真审题，仔细分析已知信息，及时反思、联想，挖掘其内涵，掌握其本质的属性，感受到解析几何的魅力，达到数学素养与能力的提升．这正是：现实中并不缺少美，缺少的是发现！参考书目：[1]《中国高考年鉴》[M]内蒙古:内蒙古少年儿童出版社2022.7.[2]罗增儒.《数学解题学引论》[M].陕西:陕西师范大学出版社,2022年修订版.6