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2023版高考数学一轮复习课后限时集训52直线与椭圆含解析202303181118

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课后限时集训(五十二) 直线与椭圆建议用时:40分钟一、选择题1.直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是(  )A.(1,+∞)B.(1,3)∪(3,+∞)C.(3,+∞)D.(0,3)∪(3,+∞)B [由得(3+m)x2+4mx+m=0,由题意可知解得又m>0,且m≠3,∴m>1且m≠3.故选B.]2.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(  )A.B.C.D.B [由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立解得交点坐标为(0,-2),,不妨设A点的纵坐标yA=-2,B点的纵坐标yB=,∴S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×=.]3.(2020·沙坪坝区校级模拟)已知椭圆C:+=1,过点P(2,1)的直线交椭圆于A,B两点,若P为线段AB中点,则|AB|=(  )A.B.C.D.D [设点A(x1,y1),点B(x2,y2),∴x1+x2=4,y1+y2=2,由两式相减得:+=0,\n化简得:=-1,∴直线AB的斜率为-1,又∵直线AB过点P(2,1),∴直线AB的方程为:y-1=-(x-2),即y=-x+3,联立方程消去y得3x2-12x+10=0,∴x1+x2=4,x1x2=,∴|AB|=·=,故选D.]4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)与直线y=x+3只有一个公共点,且椭圆的离心率为,则椭圆C的方程为(  )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1B [将直线方程y=x+3代入C的方程并整理得(a2+b2)x2+6a2x+9a2-a2b2=0,由椭圆与直线只有一个公共点得,Δ=(6a2)2-4(a2+b2)(9a2-a2b2)=0,化简得a2+b2=9,==,则=,解得a2=5,b2=4,所以椭圆的方程为+=1.]5.直线l过椭圆+y2=1的左焦点F,且与椭圆交于P,Q两点,M为PQ的中点,O为原点,若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的斜率为(  )A.B.±C.±D.B [由+y2=1,得a2=2,b2=1,所以c2=a2-b2=2-1=1,则c=1,则左焦点F(-1,0).由题意可知,直线l的斜率存在且不等于0,设直线l的方程为y=kx+k.设l与椭圆交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.则PQ的中点M的横坐标为=-.因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形,所以-=-,解得k=±.]\n6.(多选)(2020·福建侨光中学月考)在平面内,若曲线C上存在点P,使点P到点A(3,0),B(-3,0)的距离之和为10,则称曲线C为“有用曲线”.以下曲线是“有用曲线”的是(  )A.x+y=5B.x2+y2=9C.+=1D.x2=16yACD [设点P的坐标为(x,y),由点P到点A(3,0),B(-3,0)的距离之和为10,可得点P的轨迹方程为+=1.对于A,由整理得41x2-250x+225=0,Δ=2502-4×41×225=25600>0,因此曲线x+y=5上存在点P满足条件,故选项A给出的曲线是“有用曲线”;同理可得曲线+=1与+=1有交点(5,0)与(-5,0),曲线x2=16y与+=1显然也有交点,因此可判断选项C,D给出的曲线是“有用曲线”,而选项B给出的曲线x2+y2=9在曲线+=1的内部,无交点,故不是“有用曲线”.]二、填空题7.过椭圆C:+=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A,B两点,则+等于________. [由题意可知F(-1,0),故l的方程为y=(x+1).由得5x2+8x=0,∴x=0或-.∴A(0,),B.又F(-1,0),∴|AF|=2,|BF|=,∴+=.]8.(2020·碑林区一模)在平面直角坐标系中,动点P在椭圆C:+=1上运动,则点P到直线x-y-5=0的距离的最大值为________.5 [设P(4cosα,3sinα),0≤α<2π,点P到直线x-y-5=0的距离为d===,所以dmax==5.]\n9.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率为________. [设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知yM=-xM,代入k=1,M(-4,1),解得=,e==.]三、解答题10.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求椭圆C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b的值.[解] (1)易知M,由=得2b2=3ac,故2(a2-c2)=3ac,解得=,=-2(舍去).故椭圆的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点.故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.②将①及c=代入②得+=1.解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=2.11.(2020·汨罗市一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN\n的垂直平分线过定点(1,0),求实数k的取值范围.[解] (1)由题意可知解得故椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=kx+m代入椭圆方程,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,所以Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,即m2<4k2+1①,由根与系数关系得x1+x2=-,则y1+y2=,所以线段MN的中点P的坐标为.又线段MN的垂直平分线l′的方程为y=-(x-1),由点P在直线l′上,得=-,即4k2+3km+1=0,所以m=-(4k2+1)②,由①②得<4k2+1,∵4k2+1>0,∴4k2+1<9k2,所以k2>,即k<-或k>,所以实数k的取值范围是∪.1.(多选)若椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2,则以下结论中正确的是(  )A.椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点B.>C.a-a=b-bD.a1-a2<b1-b2\nACD [由题意可得两椭圆的焦点均在x轴上,且a-b=a-b,即有a-a=b-b,故C正确;由a1>a2,可得b1>b2,结合椭圆的对称性可得椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点,故A正确;由a-a=b-b,得(a1-a2)(a1+a2)=(b1-b2)(b1+b2),则=,由a1>b1,a2>b2,可得a1+a2>b1+b2,则<1,即有<1,又b1>b2,所以b1-b2>0,所以a1-a2<b1-b2,故D正确;由已知条件无法判断>正确.故选ACD.]2.(多选)设椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列结论正确的是(  )A.直线AB与OM垂直B.若点M的坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1,则点M的坐标为D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=BD [对于A选项,根据椭圆的中点弦的性质得kAB·kOM=-=-2≠-1,所以A不正确;对于B选项,根据题意得,kOM=1,又kAB·kOM=-2,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,所以B正确;对于C选项,若直线方程为y=x+1,点M的坐标为,则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以C不正确;对于D选项,若直线方程为y=x+2,与椭圆方程+=1联立,消去y得2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-,所以|AB|=|0-|=,所以D正确.]3.已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=2,求直线l的斜率k的值.[解] (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由解得所以椭圆C的标准方程为+=1.\n(2)由题意得直线l的方程为y=k(x+1)(k>0),联立整理得y2-y-9=0,则Δ=+144>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,又=2,所以y1=-2y2,所以y1y2=-2(y1+y2)2,则3+4k2=8,解得k=±,又k>0,所以k=.1.(2020·湖州模拟)已知直线x=my+2(m∈R)与椭圆+=1相交于A,B两点,则|AB|的最小值为________;若|AB|=,则实数m的值是________. ±1 [易知直线x=my+2恒过点(2,0),而点(2,0)恰为椭圆+=1的右焦点,则|AB|的最小值即为通径长=,联立,消去x得,(5m2+9)y2+20my-25=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,则|AB|===·=·=,解得m=±1.]2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,\n),且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C的方程;(2)过(0,-1)的直线l交椭圆于A,B两点,试问:是否存在一个定点T,使得以线段AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.[解] (1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形,所以a=b.所以椭圆C的方程为+=1.又椭圆C经过点P(2,),代入椭圆方程得b=3.所以a=3.故所求椭圆方程为+=1.(2)由已知动直线l过(0,-1)点.当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为x2+(y+1)2=16;当l与y轴重合时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=9.所以两圆相切于点(0,3),即两圆只有一个公共点.因此,所求点T如果存在,只能是点(0,3).以下证明以AB为直径的圆恒过点T(0,3).当l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点T(0,3).当l与x轴不垂直时,设l:y=kx-1.由得(2k2+1)x2-4kx-16=0.由(0,-1)在椭圆内部知Δ>0成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.又=(x1,y1-3),=(x2,y2-3),所以·=x1x2+(y1-3)(y2-3)=x1x2+(kx1-4)(kx2-4)=(1+k2)x1x2-4k(x1+x2)+16=(1+k2)·-4k·+16=0.所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,3).所以存在一个定点T(0,3)满足条件.

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发布时间:2022-08-25 17:22:14 页数:8
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文章作者:U-336598

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