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2023版高考数学一轮复习课后限时集训42直线平面平行的判定及其性质含解析202303181107
2023版高考数学一轮复习课后限时集训42直线平面平行的判定及其性质含解析202303181107
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课后限时集训(四十二) 直线、平面平行的判定及其性质建议用时:40分钟一、选择题1.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( )A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α与直线l至少有两个公共点D.α内的直线与l都相交B [∵l⊄α,且l与α不平行,∴l∩α=P,故α内不存在与l平行的直线.故选B.]2.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能B [由面面平行的性质可得DE∥A1B1,又A1B1∥AB,故DE∥AB.所以选B.]3.(多选)(2020·山东济宁期末)已知m,n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥nB.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥βC.若m∥n,n⊂α,α∥β,m⊄β,则m∥βD.若m∥n,n⊥α,α⊥β,则m∥βBC [A.若m∥α,n∥β且α∥β,则可能m∥n,m,n异面,或m,n相交,A错误;B.若m∥n,m⊥α,则n⊥α,又n⊥β,故α∥β,B正确;C.若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,又α∥β,m⊄β,故m∥β,C正确;D.若m∥n,n⊥α,则m⊥α,又α⊥β,则m∥β或m⊂β,D错误.故选BC.]4.(多选)设m,n,l为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下面结论不正确的是( )A.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥nB.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β\nC.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥nD.若m∥α,n∥α,l⊥m,l⊥n,则l⊥αABD [A选项中,m,n还可能异面;B选项中,α,β可能平行或相交;易知C正确;D选项中,只有m,n相交才可推出l⊥α.]5.如图,AB∥平面α∥平面β,过A,B的直线m,n分别交α,β于C,E和D,F,若AC=2,CE=3,BF=4,则BD的长为( )A.B.C.D.C [由AB∥α∥β,易证=,即=,所以BD===.]6.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( )A.0条B.1条C.2条D.0条或2条C [如图,设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形,则EF∥GH,EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD,又EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,则EF∥CD,EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,则CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH,所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条,故选C.]二、填空题7.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.可以填入的条件有________.①和③ [由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.]8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________. [在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,\n∴AC=2.又E为AD中点,EF∥平面AB1C,EF⊂平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,∴EF∥AC,∴F为DC中点,∴EF=AC=.]9.棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是________. [如图,由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为.]三、解答题10.(2020·徐州模拟)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为A1C1和BC的中点,M,N分别为A1B和A1C的中点.求证:(1)MN∥平面ABC;(2)EF∥平面AA1B1B.[证明] (1)∵M、N分别是A1B和A1C的中点.∴MN∥BC,又BC⊂平面ABC,MN⊄平面ABC,∴MN∥平面ABC.(2)如图,取A1B1的中点D,连接DE,BD.∵D为A1B1的中点,E为A1C1中点,∴DE∥B1C1且DE=B1C1,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BCC1B1是平行四边形,∴BC∥B1C1且BC=B1C1,∵F是BC的中点,∴BF∥B1C1且BF=B1C1,∴DE∥BF且DE=BF,∴四边形DEFB是平行四边形,∴EF∥BD,又BD⊂平面AA1B1B,EF⊄平面AA1B1B,∴EF∥平面AA1B1B.11.如图,在正方体ABCDA′B′C′D′中,E,F分别是AB′,BC′的中点.(1)若M为BB′的中点,证明:平面EMF∥平面ABCD;(2)在(1)的条件下,当正方体的棱长为2时,求三棱锥MEBF的体积.\n[解] (1)证明:∵在正方体ABCDA′B′C′D′中,E,F分别是AB′,BC′的中点,M为BB′的中点,∴ME∥AB,MF∥B′C′∥BC,∵ME∩MF=M,AB∩BC=B,ME,MF⊂平面MEF,AB,BC⊂平面ABCD,∴平面EMF∥平面ABCD.(2)∵E,F分别是AB′,BC′的中点,M为BB′的中点,∴ME綊AB=1,MF綊BC=1,BM⊥平面MEF,BM=1,∵AB⊥BC,∴EM⊥MF,∴S△MEF=×ME×MF=×1×1=,∴三棱锥MEBF的体积:VMEBF=VBMEF=×S△EMF×BM=××1=.1.(多选)如图,在棱长均相等的四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,则下列结论正确的有( )A.PD∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直线PD与直线MN所成角的大小为90°D.ON⊥PBABD [选项A,连接BD(图略),显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PD∥ON,又ON⊂平面OMN,PD⊄平面OMN,由线面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正确;选项B,由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,得MN∥AB,又底面为正方形,所以MN∥CD,又MN⊂平面OMN,CD⊄平面OMN,由线面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又选项A中得PD∥平面OMN,CD⊂平面PCD,PD⊂平面PCD,CD∩PD=D,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正确;选项C,因为MN∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为四棱锥中所有棱长都相等,所以∠PDC=60°,故直线PD与直线MN所成角的大小为60°,C错误;选项D,因为底面为正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱长都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正确.故选ABD.]\n2.在三棱锥SABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=12,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,且它们分别是AB,BC,SC,SA的中点,那么四边形DEFH的面积为( )A.18B.18C.36D.36A [因为D,E,F,H分别是AB,BC,SC,SA的中点,所以DE∥AC,FH∥AC,DH∥SB,EF∥SB,则四边形DEFH是平行四边形,且HD=SB=6,DE=AC=3.如图,取AC的中点O,连接OB、SO,因为SA=SC=12,AB=BC=6,所以AC⊥SO,AC⊥OB,又SO∩OB=O,所以AO⊥平面SOB,所以AO⊥SB,则HD⊥DE,即四边形DEFH是矩形,所以四边形DEFH的面积S=6×3=18,故选A.]3.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E、F分别是PA、PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.[解] 直线l∥平面PAC,证明如下:因为E、F分别是PA、PC的中点,所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,所以l∥平面PAC.\n1.如图所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)点M在线段FH上(或点M与点H重合) [连接HN,FH,FN(图略),则FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN⊂平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.]2.如图,四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点.(1)求证:CE∥平面PAD.(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.[解] (1)证明:如图,取PA的中点H,连接EH,DH,因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=AB,又AB∥CD,CD=AB,所以EH∥CD,EH=CD,因此四边形DCEH为平行四边形,所以CE∥DH,又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此CE∥平面PAD.(2)存在点F为AB的中点,使平面PAD∥平面CEF,证明如下:取AB的中点F,连接CF,EF,则AF=AB,因为CD=AB,所以AF=CD,又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形,\n因此CF∥AD.又AD⊂平面PAD,CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD,由(1)可知CE∥平面PAD,又CE∩CF=C,故平面CEF∥平面PAD,故存在AB的中点F满足要求.
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:22:10
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