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2023版高考数学一轮复习课后限时集训50直线与圆圆与圆的位置关系含解析202303181116

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课后限时集训(五十) 直线与圆、圆与圆的位置关系建议用时:40分钟一、选择题1.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为(  )A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能C [直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),∵12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,∴点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内部,直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交.]2.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=(  )A.21B.19C.9D.-11C [圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,因为圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2=(m<25).从而|C1C2|==5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9,故选C.]3.(2020·全国卷Ⅰ)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(  )A.1B.2C.3D.4B [将圆的方程x2+y2-6x=0化为标准方程(x-3)2+y2=9,设圆心为C,则C(3,0),半径r=3.设点(1,2)为点A,过点A(1,2)的直线为l,因为(1-3)2+22<9,所以点A(1,2)在圆C的内部,则直线l与圆C必相交,设交点分别为B,D.易知当直线l⊥AC时,直线l被该圆所截得的弦的长度最小,设此时圆心C到直线l的距离为d,则d=|AC|==2,所以|BD|min=2=2=2,即弦的长度的最小值为2,故选B.]4.(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(  )A.B.C.D.B [因为圆与两坐标轴都相切,点(2,1)在该圆上,所以可设该圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a\n=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为=或=,故选B.]5.若圆x2+y2=r2(r>0)上恒有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围是(  )A.(+1,+∞)B.(-1,+1)C.(0,-1)D.(0,+1)A [计算得圆心到直线l的距离为=>1,如图,直线l:x-y-2=0与圆相交,l1,l2与l平行,且与直线l的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离+1.]6.(多选)(2020·厦门双十中学月考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作圆C的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(  )A.1  B.2    C.3 D.4AB [∵x2+y2-4x=0,∴(x-2)2+y2=4.∵过点P所作圆C的两条切线相互垂直,∴点P与圆心C,两切点构成一个边长为2的正方形,∴PC=2,即点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=8,又点P在直线y=k(x+1)上,∴≤2,∴-2≤k≤2.即实数k的取值可以是1,2.]二、填空题7.(2018·全国卷Ⅰ)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.2 [由题意知圆的标准方程为x2+(y+1)2=4,所以圆心坐标为(0,-1),半径为2,则圆心到直线y=x+1的距离d==,所以|AB|=2=2.]8.(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=__________,r=__________.-2  [如图,由圆心与切点的连线与切线垂直,得=-,解得m=-2.∴圆心为(0,-2),则半径r==.]\n9.(2020·安庆模拟)已知圆C:x2+y2=1,直线l:ax-y+4=0.若直线l上存在点M,以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点,则a的取值范围是________.(-∞,-]∪[,+∞) [直线l上存在点M,以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点,则|MC|≤2,只需|MC|min≤2,即圆C:x2+y2=1的圆心到直线l:ax-y+4=0的距离d≤2,即d=≤2,解得a≤-或a≥.]三、解答题10.(2020·三明模拟)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线与圆C相切?(2)当直线与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线的方程.[解] (1)圆C的标准方程为x2+(y-4)2=4,圆心C的坐标为(0,4),半径长为2,当直线l与圆C相切时,则=2,解得a=-.(2)由题意知,圆心C到直线l的距离为d==,由点到直线的距离公式可得d==,整理得a2+8a+7=0,解得a=-1或-7.因此,直线l的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0.11.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1).(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;(2)若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.[解] (1)因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,所以圆心O1(0,-1),半径r1=2.设圆O2的半径为r2,由两圆外切知|O1O2|=r1+r2.又|O1O2|==2,所以r2=|O1O2|-r1=2-2.所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=12-8.(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r,又圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,相减得AB所在的直线方程为4x+4y+r-8=0.设线段AB的中点为H,因为r1=2,所以|O1H|==.又|O1H|==,\n所以=,解得r=4或r=20.所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.1.(多选)(2020·山东滨州一中月考)已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有(  )A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bABC [由题意知,圆C2的方程可化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,将两圆的方程联立,可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入可得2ax1+2by1=a2+b2 ①,2ax2+2by2=a2+b2 ②,①-②可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以选项A,B是正确的;由圆的性质可得,线段AB与线段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以选项C是正确的,选项D是不正确的.]2.(多选)(2020·山东威海一中月考)设有一组圆Ck:(x-1)2+(y-k)2=k4(k∈N*).下列四个结论正确的是(  )A.存在k,使圆与x轴相切B.存在一条直线与所有的圆均相交C.存在一条直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点ABD [根据题意得圆Ck的圆心为(1,k),半径为k2.选项A,当k=k2,即k=1时,圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,此时圆与x轴相切,故此选项正确;选项B,直线x=1过圆Ck的圆心(1,k),故直线x=1与所有圆都相交,故此选项正确;选项C,圆Ck的圆心为(1,k),半径为k2,圆Ck+1的圆心为(1,k+1),半径为(k+1)2,两圆的圆心距为1,两圆的半径之差为2k+1,因为2k+1>1,所以圆Ck含于圆Ck+1之中,若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,故此选项错误;选项D,将(0,0)代入圆Ck的方程,则有1+k2=k4,不存在k∈N*使上式成立,即所有的圆均不过原点,故此选项正确.]3.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.\n[解] (1)由x2+y2-8y=0得x2+(y-4)2=16,∴圆C的圆心坐标为(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题意可得·=0,即x(2-x)+(y-4)(2-y)=0.整理得(x-1)2+(y-3)2=2.所以点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆,由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.又kON=3,故直线l的斜率为-,所以直线PM的方程为y-2=-(x-2),即x+3y-8=0.则O到直线l的距离为=.又N到l的距离为=,∴|PM|=2=.∴S△POM=××=.1.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使MA=2MO,则圆心C的横坐标a的取值范围是(  )A.B.[0,1]C.D.A [因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1,设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2+1,即1≤≤3.由≥1得5a2-12a+8≥0,\n解得a∈R;由≤3得5a2-12a≤0,解得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.]2.(2020·海淀模拟)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线x-y-4=0相切.(1)求圆O的方程;(2)直线l:y=kx+3与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB为菱形?若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由.[解] (1)设圆O的半径长为r,因为直线x-y-4=0与圆O相切,所以r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,所以原点O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=±2,经验证满足条件.所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形,此时直线l的斜率为±2.

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发布时间:2022-08-25 17:22:13 页数:6
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文章作者:U-336598

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