高考数学一轮复习(例题解析)154直线与圆圆与圆的位置关系doc高中数学
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2022高考数学一轮复习(例题解析):15.4直线与圆、圆与圆的位置关系A组1.(2022年高考天津卷)假设圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2,那么a=________.解析:两圆方程作差易知弦所在直线方程为:y=,如图,由已知|AC|=,|OA|=2,有|OC|==1,∴a=1.答案:12.(2022年高考全国卷Ⅱ)已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),那么过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.解析:依题意,过A(1,2)作圆x2+y2=5的切线方程为x+2y=5,在x轴上的截距为5,在y轴上的截距为,切线与坐标轴围成的三角形面积S=××5=.答案:3.(2022年高考湖北卷)过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,那么线段PQ的长为________.解析:∵圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=5,可知圆心为(3,4),半径为.如图可知,|CO|=5,∴OP==2.∴tan∠POC==.在Rt△POC中,OC·PM=OP·PC,∴PM==2.∴PQ=2PM=4.答案:44.假设直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点,那么实数m的取值范围是________.解析:将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程,得(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为(1,-2),半径为1.假设直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离大于半径,即d==>1,∴m<0或m>10.答案:(-∞,0)∪(10,+∞)5.(原创题)已知直线x-y+2m=0与圆x2+y2=n2相切,其中m,n∈N*,且n-m<5,那么满足条件的有序实数对(m,n)共有________个.解析:由题意可得,圆心到直线的距离等于圆的半径,即2m-1=n,所以2m-1-m<5,因为m,n∈N*,所以,,,,故有序实数对(m,n)共有4个.答案:4个6.(2022年南京调研)已知:以点C(t,)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,假设OM=ON,求圆C的方程.5/5\n解:(1)证明:∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+(y-)2=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t.∴S△OAB=OA·OB=×||×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.(2)∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵kMN=-2,∴kOC=,∴直线OC的方程是y=x.∴=t,解得:t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=<,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=>,圆C与直线y=-2x+4不相交,∴t=-2不符合题意舍去.∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.B组1.直线ax+by+b-a=0与圆x2+y2-x-3=0的位置关系是________.解析:直线方程化为a(x-1)+b(y+1)=0,过定点(1,-1),代入圆的方程,左侧小于0,那么定点在圆内,所以直线与圆总相交.答案:相交2.(2022年秦州质检)已知直线y=-x与圆x2+y2=2相交于A、B两点,P是优弧AB上任意一点,那么∠APB=____________.解析:弦心距长为,半径为,所以弦AB所对的圆心角为,又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半,所以∠APB=.答案:3.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b的夹角为60°,直线xcosα+ysinα=0与圆(x+cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是________.解析:cos60°=cosα·cosβ+sinα·sinβ=cos(α-β),d==|cos(α-β)|=>=r.答案:相离4.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有__条.解析:方程化为(x+1)2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),到点A(11,2)的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求直线条数为2+2×(25-10)=32(条).答案:325.假设集合A={(x,y)|y=1+},B={(x,y)|y=k(x-2)+4}.当集合A∩B有4个子集时,实数k的取值范围是________________.解析:A∩B有4个子集,即A∩B有2个元素,∴半圆x2+(y-1)2=4(y≥1)与过P(2,4)点,斜率为k的直线有两个交点,如图:A(-2,1),kPA=,过P与半圆相切时,k=,∴<k≤.答案:<k≤6.(2022年高考全国卷Ⅱ)已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),那么四边形ABCD的面积的最大值为________.解析:设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,那么d12+d22=OM2=3.四边形ABCD的面积S=|AB|·|CD|=2≤8-(d12+d22)=5.5/5\n7.(2022年宁波调研)已知圆C:x2+y2+bx+ay-3=0(a、b为正实数)上任意一点关于直线l:x+y+2=0的对称点都在圆C上,那么+的最小值为________.解析:由题意,知圆心在直线上,所以-+(-)+2=0,∴+=1,那么(+)(+)=1++≥1+2=1+.8.设圆O:x2+y2=,直线l:x+3y-8=0,点A∈l,使得圆O上存在点B,且∠OAB=30°(O为坐标原点),那么点A的横坐标的取值范围是________.解析:依题意点A∈l,设A(x0,).过点A作圆O的切线,切点为M,那么∠OAM≥∠OAB=30°.从而sin∠OAM≥sin30°=,即≥sin30°=,就是|OA|2≤4(|OM|2)=,x02+()2≤,5x02-8x0≤0,解得x0∈[0,].答案:[0,]9.(2022年高考江西卷)设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于以下四个命题:A.存在一个圆与所有直线相交B.存在一个圆与所有直线不相交C.存在一个圆与所有直线相切D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号).解析:xcosθ+ysinθ-2sinθ-1=0.那么点(0,2)到其直线的距离为d==1.∴说明此直线是圆心为(0,2),半径为1的圆的切线.圆心为(0,2),半径大于等于1的圆与所有直线相交,A对;圆心为(0,2),半径小于1的圆与所有直线不相交,B对;圆心为(0,2),半径等于1的圆与所有直线都相切,C对;因为M中的直线与以(0,2)为圆心,半径为1的圆相切,所以M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等.如图△ABC与△ADE均为等边三角形而面积不等.答案:A、B、C10.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A、B两点,(1)求公共弦AB所在的直线方程;(2)求圆心在直线y=-x上,且经过A、B两点的圆的方程.解:(1)⇒x-2y+4=0.(2)由(1)得x=2y-4,代入x2+y2+2x+2y-8=0中得:y2-2y=0.∴或,即A(-4,0),B(0,2),又圆心在直线y=-x上,设圆心为M(x,-x),那么|MA|=|MB|,解得M(-3,3),∴⊙5/5\nM:(x+3)2+(y-3)2=10.11.(2022年江苏徐州调研)已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l1过定点A(3,0),且与圆C相切.(1)求直线l1的方程;(2)设圆C与x轴交于P、Q两点,M是圆C上异于P、Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′.求证:以P′Q′为直径的圆C′总过定点,并求出定点坐标.解:(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆C:x2+y2=1相切,设直线l1的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,那么圆心O(0,0)到直线l1的距离为d==1,解得k=±,∴直线l1的方程为y=±(x-3).(2)对于圆C:x2+y2=1,令y=0,那么x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).又直线l2过点A且与x轴垂直,∴直线l2方程为x=3.设M(s,t),那么直线PM的方程为y=(x+1).解方程组得P′(3,).同理可得Q′(3,).∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为(x-3)(x-3)+(y-)(y-)=0,又s2+t2=1,∴整理得(x2+y2-6x+1)+y=0,假设圆C′经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得x=3±2,∴圆C′总经过定点,定点坐标为(3±2,0).12.(2022年高考江苏卷)如图在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)假设直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解:(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为直线l被圆C1截得的弦长为2,所以d==1.由点到直线的距离公式得d=,从而k(24k+7)=0,即k=0或k=-,所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,那么直线l2的方程为y-b=-(x-a).因为圆C1和圆C25/5\n的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即=,整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)·k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,因为k的取值有无穷多个,所以或解得或这样点P只可能是点P1(,-)或点P2(-,).经检验点P1和P2满足题目条件.5/5
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