高考数学一轮复习(例题解析)152点与直线直线与直线的位置关系doc高中数学
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2022高考数学一轮复习(例题解析):15.2点与直线、直线与直线的位置关系A组1.(2022年高考安徽卷改编)直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,那么l的方程是________.解析:由题意知,直线l的斜率为-,因此直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.2.(2022年西安调研)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,那么a等于________.解析:∵两条直线互相垂直,∴a(a+2)=-1,∴a=-1.3.(2022年苏州质检)直线x+ay+3=0与直线ax+4y+6=0平行的充要条件是a=________.解析:由两条直线平行可知∴a=-2.4.假设点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y-3<0表示的平面区域内,那么实数a的值为________.解析:由=4得a=7或-3,又2a+3-3<0,得a<0,∴a=-3.5.在平面直角坐标系中,定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,假设直线l过点A(-2,3),且法向量为n=(1,-2),那么直线l的方程为_________.解析:设P(x,y)是直线l上任意一点,那么=(-2-x,3-y),且⊥n,故·n=0,即(-2-x,3-y)·(1,-2)=-x+2y-8=0,即直线l的方程为x-2y+8=0.答案:x-2y+8=06.直线y=2x是△ABC中∠C的角平分线所在的直线,假设A、B的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标,并判断△ABC的形状.解:设A(-4,2)关于直线y=2x对称的点A′的坐标是(m,n)由解得即A′的坐标是(4,-2),由B、A′得BC所在的直线方程,3x+y-10=0,由解得C的坐标是(2,4),又∵kAC′=,kBC′=-3,∴AC′⊥BC′,即△ABC′是直角三角形.B组1.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,那么直线l的方程为______________.解析:kPQ==-1,PQ的中点为(,),即(2,3),∴kl=1,∴直线l的方程为y-3=(x-2),即x-y+1=0.2.假设三条直线l1:x+y=7,l2:3x-y=5,l3:2x+y+c=0不能围成三角形,那么c的值为________.解析:由l1,l2,l3的方程可知l1,l2,l3不平行,由解得交点(3,4),代入l3的方程得c=-10.3.已知两条直线l1:ax+by+c=0,直线l2:mx+ny+p=0,那么an=bm是直线l1∥l2的________条件.解析:∵l1∥l2⇒an-bm=0,且an-bm=0⇒/l1∥l2.答案:必要不充分4.过点P(1,2)作直线l,使直线l与点M(2,3)和点N(4,-5)距离相等,那么直线l的方程为________________.解析:直线l为与MN平行或经过MN的中点的直线,当l与MN平行时,斜率为-4,故直线方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0;当l经过MN的中点时,MN的中点为(3,-1),直线l的斜率为-,故直线方程为y-2=-(x-1),即3x+2y-7=0.答案:3x+2y-7=0或4x+y-6=03/3\n5.已知直线l经过点(,2),其横截距与纵截距分别为a、b(a、b均为正数),那么使a+b≥c恒成立的c的取值范围为________.解析:设直线方程为+=1,∴+=1,a+b=(a+b)·(+)=++≥,故c≤.答案:(-∞,]6.(2022年苏南四市调研)假设函数y=ax+8与y=-x+b的图象关于直线y=x对称,那么a+b=________.解析:直线y=ax+8关于y=x对称的直线方程为x=ay+8,所以x=ay+8与y=-x+b为同一直线,故得,所以a+b=2.答案:27.如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,那么光线所经过的路程是______.解析:分别求点P关于直线x+y=4及y轴的对称点,为P1(4,2)、P2(-2,0),由物理知识知,光线所经路程即为P1P2=2.答案:28.设a、b、c、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,那么直线xsinA+ay+c=0与bx-ysinB+sinC=0的位置关系是______.解析:由bsinA-asinB=0知,两直线垂直.答案:垂直9.(2022年江苏常州模拟)已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,那么使得这个四边形面积最小的k值为______.解析:l1:k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4),l2:k2(y-4)=4-2x也过定点(2,4),如图,A(0,4-k),B(2k2+2,0),S=×2k2×4+(4-k+4)×2×=4k2-k+8.当k=时,S取得最小值.答案:10.在△ABC中,BC边上的高所在直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线方程为y=0,假设点B坐标为(1,2),求点A和C的坐标.解:由得A(-1,0).又B(1,2),∴kAB=1.∵x轴是∠A的平分线,∴kAC=-1.AC直线方程y=-(x+1).又BC方程为:y-2=-2(x-1),由得C(5,-6).11.在直线l:3x-y-1=0上求点P和Q,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.解:(1)如以下图,设点B关于l的对称点B′的坐标为(a,b),那么kBB′·kl=-1,即3·=-1.∴a+3b-12=0.①又由于线段BB′的中点坐标为3/3\n,且在直线l上,∴3×--1=0,即3a-b-6=0.②解①②得a=3,b=3,∴B′(3,3).于是AB′的方程为=,即2x+y-9=0.解得即l与AB′的交点坐标为P(2,5).(2)如以下图,设C关于l的对称点为C′,求出C′的坐标为.∴AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0,AC′和l交点坐标为,故Q点坐标为.12.(2022年济南模拟)已知n条直线l1:x-y+C1=0,C1=,l2:x-y+C2=0,l3:x-y+C3=0,…,ln:x-y+Cn=0(其中C1<C2<C3<…Cn),在这n条平行直线中,每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n.(1)求Cn;(2)求x-y+Cn=0与x轴、y轴围成图形的面积;(3)求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0及x轴、y轴围成的图形的面积.解:(1)原点O到l1的距离d1为1,原点O到l2的距离d2为1+2,…,原点O到ln的距离dn为1+2+…+n=.∵Cn=dn,∴Cn=.(2)设直线ln:x-y+Cn=0交x轴于M,交y轴于N,那么S△OMN=|OM|·|ON|=Cn2=.(3)所围成的图形是等腰梯形,由(2)知Sn=,那么有Sn-1=.∴Sn-Sn-1=-=n3,∴所求面积为n3.3/3
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