人教A版高中数学必修二：《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》精品教案

第二课时空间中直线与直线之间的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理难点：异面直线所成角的计算（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性,师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系探索新知相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点随堂练习：如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行,（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且同理FG∥BD，且因为EH∥FG，且EH=FG，所以四边形EFGH为平行四边形师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的师：我们把上述规律作为本章的第4个公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行它可以用来证明两条直线平行师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC=∠A′D′C′，∠ADC+∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识通过分析和引导，培养学生解题能力,师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路探索新知3．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b例3如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力,解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′=45°（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形然后师生共同分析例题随堂练习1．填空题：（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′答案：（1）3条分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补2．如图，已知长方体ABCD–A′B′C′D′中，AB=，AD=，AA′=2（1）BC和A′C′所成的角是多少度？（2）AA′和BC′所成的角是多少度？学生独立完成答案：2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′=45°（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′所成的角在Rt△BB′C′中，B′C′=AD=，BB′=AA′=2，所以BC′=4，∠B′BC′=60°因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°,归纳总结1．空间中两条直线的位置关系2．平行公理及等角定理3．异面直线所成的角学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构作业21第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例1“a、b为异面直线”是指：①a∩b=，且a∥b；②a面，b面，且a∩b=；③a面，b面，且∩=；④a面，b面；⑤不存在面，使a面，b面成立上述结论中，正确的是（）A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确【解析】①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线故选D例2如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有条abAa′b′OPA′B′【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有,∠A′PO=∠B′PO=25°∵∠APA′＞A′PO，∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条例3空间四边形ABCD，已知AD=1，BD=，且AD⊥BC，对角线BD=，AC=，求AC和BD所成的角。【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG∥＝∥＝则MGEM∵AD⊥BC∴EM⊥MG在Rt△EMG中，有在RFG中，∵EF=∴EF2+FG2=EG2∴EF⊥FG，即AC⊥BD∴AC和BD所成角为90°【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是