2023版高考数学一轮复习课后限时集训48两条直线的位置关系含解析202303181113
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课后限时集训(四十八)两条直线的位置关系建议用时:40分钟一、选择题1.直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定1C[直线2x+y+m=0的斜率k1=-2,直线x+2y+n=0的斜率k2=-,则k1≠k2,2且k1k2≠-1.故选C.]2.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为()A.-10B.-2C.0D.84-m1A[因为l1∥l2,所以kAB==-2.解得m=-8.又因为l2⊥l3,所以-×(-2)=-1,m+2n解得n=-2,所以m+n=-10.]3.经过两直线l1:2x-3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且平行于直线4x-2y+7=0的直线方程是()A.x-2y+9=0B.4x-2y+9=0C.2x-y-18=0D.x+2y+18=02x-3y+2=0,x=14,C[由解得所以直线l1,l2的交点坐标是(14,10).设与直3x-4y-2=0,y=10.线4x-2y+7=0平行的直线l的方程为4x-2y+C=0(C≠7).因为直线l过直线l1与l2的交点(14,10),所以C=-36.所以直线l的方程为4x-2y-36=0,即2x-y-18=0.故选C.]4.若直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2:2x+6y-3=0的距离为10,则m=()17A.7B.2C.14D.17B[直线l1:x+3y+m=0(m>0),即2x+6y+2m=0,因为它与直线l2:2x+6y-3=0|2m+3|17的距离为10,所以=10,求得m=.]4+3625.一只虫子从点(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是()\nA.2B.2C.3D.4B[点(0,0)关于直线l:x-y+1=0的对称点为(-1,1),则最短路程为-1-12+1-12=2.]6.(多选)已知直线l1:mx+(m-3)y+1=0,直线l2:(m+1)x+my-1=0,且l1⊥l2,则()11-,A.直线l1恒过定点33B.直线l2恒过定点(1,1)C.m=0或m=13D.m=0或m=-2x+y=0,AC[由直线l1的方程可得,m(x+y)+(-3y+1)=0,由解得-3y+1=0,1x=-,311-,1故直线l1恒过定点33,故选项A正确;由直线l2的方程可得,m(x+y)y=,3x+y=0,x=1,+(x-1)=0,由解得故直线l2恒过定点(1,-1),故选项B不正确;x-1=0,y=-1,因为直线l1:mx+(m-3)y+1=0与直线l2:(m+1)x+my-1=0垂直,所以m(m+1)+m(m-3)=0,即m(m-1)=0,解得m=0或m=1,所以选项C正确,选项D错误.]二、填空题7.已知直线l1:mx+3y+3=0,l2:x+(m-2)y+1=0,则“m=3”是“l1∥l2”的________条件.mm-2=3,既不充分也不必要[若l1∥l2,则m≠3,∴m=-1.∴“m=3”是“l1∥l2”的既不充分也不必要条件.]8.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为________.4-2x-y+1=0[因为kPQ==-1,故直线l的斜率为1,又线段PQ的中点为(2,3),所1-3以直线l的方程为x-y+1=0.]9.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为________,它们之间的距离为________.82-1[由题知,1×3=m(m-2)且1×2m≠6(m-2),解得m=-1,则l1:x-y+63\n2|6-|2382=0,l2:x-y+=0,则两平行线间的距离为d==.]323三、解答题10.已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程.[解]依题意知kAC=-2,A(5,1),所以直线AC的方程为2x+y-11=0,联立直线AC2x+y-11=0,和直线CM的方程,得所以C(4,3).设B(x0,y0),AB的中点M为2x-y-5=0x0+5y0+1,2x0-y0-1=0,22,代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,所以所以B(-1,x0-2y0-5=0,66-3),所以kBC=,所以直线BC的方程为y-3=(x-4),即6x-5y-9=0.5511.一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求:(1)入射光线所在直线的方程;(2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度.[解](1)设点Q′(x′,y′)为点Q关于直线l的对称点,QQ′交l于点M,∵kl=-1,∴kQQ′=1,∴QQ′所在直线的方程为y-1=1×(x-1),即x-y=0.1x=-,2x+y+1=0,由解得1x-y=0,y=-,21+x′1=-,1122-,-∴交点M22,∴1+y′1=-,22x′=-2,解得∴Q′(-2,-2).y′=-2,设入射光线与l交于点N,则P,N,Q′三点共线,又P(2,3),Q′(-2,-2),∴入射光线所在直线的方程为y--2x--2=,即5x-4y+2=0.3--22--2(2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|=[2--2]2+[3--2]2=41,即这条光线从P到Q所经路线的长度为41.\n1.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标是()A.(-4,0)B.(0,-4)C.(4,0)D.(4,0)或(-4,0)2+m4+n,A[设C(m,n),由重心坐标公式,得△ABC的重心为33,代入欧拉线方程2+m4+n得-+2=0,整理得m-n+4=0,①334-01易得AB边的中点为(1,2),kAB==-2,AB的垂直平分线的方程为y-2=(x-1),0-22x-2y+3=0,x=-1,即x-2y+3=0.由解得∴△ABC的外心为(-1,1),则(m+1)2+x-y+2=0,y=1.(n-1)2=32+12=10,整理得m2+n2+2m-2n=8.②联立①②解得m=-4,n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时,点B,C重合,应舍去,∴顶点C的坐标是(-4,0).故选A.]42.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则x点P到直线x+y=0的距离的最小值是__________.444[由y=x+(x>0),得y′=1-,xx2444设斜率为-1的直线与曲线y=x+(x>0)切于(x0,x0+)(x0>0),由1-=-1,解得xx20x0x0=2(x0>0).4|2+32|∴曲线y=x+(x>0)上,点P(2,32)到直线x+y=0的距离最小,最小值为=x24.]3.在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求:(1)点A和点C的坐标;(2)△ABC的面积.x-2y+1=0,[解](1)由方程组y=0,解得点A(-1,0).又直线AB的斜率为kAB=1,\n且x轴是∠A的平分线,故直线AC的斜率为-1,所以AC所在的直线方程为y=-(x+1).已知BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,故直线BC的斜率为-2,故BC所在的直线方程为y-2=-2(x-1).y=-x+1,解方程组得点C的坐标为(5,-6).y-2=-2x-1,(2)因为B(1,2),C(5,-6),所以|BC|=1-52+[2--6]2=45,点|2×-1-4|6A(-1,0)到直线BC:y-2=-2(x-1)的距离为d==,所以△ABC的面积为5516×45×=12.25
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