2023高考数学 夺分法宝 函数、三角函数、立体几何（解析版）

2013高考数学夺分法宝函数、三角函数、立体几何（解析版）【2011高考真题——新课标卷】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)复数的共轭复数是（A）（B）（C）（D）解析：=共轭复数为C（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（A）(B)（C）(D)解析:由图像知选B（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120（B）720（C）1440（D）5040解析：框图表示，且所求720选B（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）（B）（C）（D）解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=-28-\n解析：由题知,选B（A）（B）（C）（D）（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选D（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A）（B）（C）2（D）3解析：通径|AB|=得，选B（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A）-40（B）-20（C）20（D）40解析1.令x=1得a=1.故原式=。的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项==-40+80=40-28-\n（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（A）（B）4（C）（D）6解析;用定积分求解，选C（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是（A）（B）（C）（D）解析：得，，。由得。选A（11）设函数的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减（B）在单调递减 （C）在单调递增（D）在单调递增解析：，所以，又f(x)为偶函数，，，选A-28-\n(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （A）2(B)4(C)6(D)8解析：图像法求解。的对称中心是（1,0）也是的中心，他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为，则，所以选D(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。解析1：（Ⅰ）因为,由余弦定理得从而BD2+AD2=AB2，故BDAD;又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABDzxPCBADy（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则,,,。设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则,即因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则-28-\n可取m=（0，-1，）故二面角A-PB-C的余弦值为【2011安徽理（】9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（A）（B）（C）（D）（9）A【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选A.（14）已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________（14)【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.【解析】设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△-28-\nABC的面积为.【2011安徽文】(15)设=，其中a，bR，ab0，若对一切则xR恒成立，则①②＜③既不是奇函数也不是偶函数④的单调递增区间是⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）.(15)①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.【解析】，又，由题意对一切则xR恒成立，则对一切则xR恒成立，即，恒成立，而，所以，此时.所以.①，故①正确；②，，所以＜，②错误；③，所以③正确；-28-\n④由①知，，由知，所以③不正确；⑤由①知，要经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交，则此直线与横轴平行，又的振幅为，所以直线必与图像有交点.⑤不正确.（16）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高.（16）解：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又，∴，即，，又0°<A<180°，所以A＝60°.在△ABC中，由正弦定理得，又∵，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝【2011北京理】9.在中，若，，，则_______，______.【解析】由，正弦定理可得。15.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值。解：（1），函数的最小正周期为；-28-\n（2），当即时，函数取得最大值2；当即时，函数取得最小值；北京文（9）在中，若，,，则.福建理3．若，则的值等于DA．2B．3C．4D．614．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______．16．(本小题满分13分)已知等比数列的公比，前3项和．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式．解：(Ⅰ)由得，所以；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，因为函数最大值为3，所以，又当时函数取得最大值，所以，因为，故，所以函数的解析式为。福建文9．若a∈(0，)，且sin2a＋cos2a＝，则tana＝DA.B．C．D．14．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于221.（本小题满分12分）设函数f(q)＝sinq＋cosq，其中，角q的顶点与坐标原点重合，始边与x-28-\n轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤q≤p。（Ⅰ）若P的坐标是(，)，求f(q)的值；（Ⅱ）若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角q的取值范围，并求函数f(q)的最小值和最大值。21、（Ⅰ）f(q)＝2；（Ⅱ）q＝0时f(q)min＝1，q＝时f(q)min＝2。广东理16.（本小题满分12分）广东文12．设函数若，则．-916．（本小题满分12分）已知函数，．（1）求的值；（2）设求的值．解：（1）（2）-28-\n湖北理3.已知函数，，若，则的取值范围为A.B.C.D.【答案】B解析：由条件得，则，解得，，所以选B.16．（本小题满分10分）设的内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求的周长；（Ⅱ）求的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵∴∴的周长为.（Ⅱ）∵，∴，-28-\n∴∵，∴,故为锐角，∴∴.湖南理6.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．答案：D解析：由定积分知识可得，故选D。11.如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径，,垂足为D,与相交与点F，则的长为。答案：解析：由题可知，，,得,，又，所以.湖南文7．曲线在点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．答案：B解析：，所以-28-\n。17．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．解析：（I）由正弦定理得因为所以（II）由（I）知于是取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时江苏7.已知则的值为__________.答案：解析：.本题主要考查三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的诱导公式，两角和与差的正弦余弦正切，二倍角的正弦余弦正切及其运用，中档题.-28-\n9.函数是常数，的部分图象如图所示，则答案：解析：由图可知：由图知：本题主要考查正弦余弦正切函数的图像与性质，的图像与性质以及诱导公式，数形结合思想,中档题.15.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若求A的值；（2）若，求的值.答案：（1）（2）在三角形中,由正弦定理得：，而.（也可以先推出直角三角形）(也能根据余弦定理得到)解析：本题主要考查同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算求解能力，容易题.江西理17.（本小题满分12分）-28-\n在中，角、、的对边分别是，，，已知.（1）求的值；（2）若，求边的值.【解析】（1）由已知得，即，由得即，两边平方得：（2）由知，则，即，则由得由余弦定理得，所以.江西文14、已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.答案：—8.解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角。=（PS:大家可以看到，步骤越来越少，不就意味着题也越来越简单吗？怎么能说高考题是难题偏题。）17.(本小题满分12分）在中，的对边分别是，已知.（1）求的值；(2)若，求边的值．解：（1）由正弦定理得：及：所以-28-\n。（2）由，展开易得：，正弦定理：【解析】本题考查的主要知识三角函数及解三角形问题，题目偏难。第一问主要涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查属于一般难度；第二问同样是对正弦定理和诱导公式的考查但形势更为复杂。辽宁理4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，则A．B．C．D．D7．设sin，则AA．B．C．D．辽宁文12．已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如下图，则A．2+B．C．D．B17．（本小题满分12分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B．17．解：（I）由正弦定理得，，即故………………6分（II）由余弦定理和由（I）知故-28-\n可得…………12分全国Ⅰ理（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A）（B）（C）（D）B（11）设函数的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减（B）在单调递减 （C）在单调递增（D）在单调递增A（16）在中，，则的最大值为。全国Ⅰ文（6）如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为（，），角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为C（10）若=-，a是第一象限的角，则=A（A）-（B）（C）（D）-28-\n(16)在中，D为BC边上一点，,,.若,则BD=_____2+全国Ⅱ理5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于(A)(B)3(C)6(D)9【答案】：C【命题意图】：本小题主要考查三角函数及三角函数图像的平移变换、周期等有关知识。【解析】：由题意知为函数周期的正整数倍，所以，故的最小值等于6.(14)已知，sin=,则tan2=___________.【答案】：【命题意图】：本小题主要考查了同角三角函数的基本关系式及二倍角公式。【解析】：由sin=,，得（17）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A-C=90°，，求C.【命题立意】:本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想及消元方法的应用.【解析】：由A-C=90°，得A=C+90°（事实上）由，根据正弦定理有：即全国Ⅱ文(14)已知，则【答案】-28-\n【解析】由又所以(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)的内角的对边分别为.己知(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若【解析】(Ⅰ)由正弦定理可变形为，即，由余弦定理又,所以（Ⅱ）首先由正弦定理，同理山东理3.若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为（A）0(B)(C)1(D)【答案】D【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.6.若函数(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（A）3（B）2（C）（D）【答案】C【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=sin,故选C.17.（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.-28-\n（I）求的值；（II）若cosB=，,求的面积.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知:=2,即c=2a,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，故的面积为=.山东文（17）（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，【解析】（Ⅰ）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.（Ⅱ）由得，∵，∴∴，又得陕西理6．函数在内（）（A）没有零点（B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。【解】选B（方法一）数形结合法，令，则，设函数-28-\n和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；（方法二）在上，，，所以；在，，所以函数是增函数，又因为，，所以在上有且只有一个零点．7．设集合，，为虚数单位，R，则为（）（A）（0，1）（B），（C），（D），【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。【解】选C，所以；因为，所以，即，又因为R，所以，即；所以，故选C.18．（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理．【分析思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固．【解】叙述:余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有，，.证明：（证法一）如图，即同理可证，（证法二）已知中，所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，∴，-28-\n即同理可证，陕西文6.方程在内（）(A)没有根(B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根（D）有无穷多个根【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断．【解】选C构造两个函数和，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．上海理6.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若，则A、B两点之间的距离为千米.8.函数的最大值为.上海文4、函数的最大值为8、在相距2千米的两点处测量目标C，若，则两点之间的距离是千米17.若三角方程与的解集分别为，则（）（A）（B）（C）（D）四川理6．在△ABC中，，则A的取值范围是（A）（B）（C）（D）答案：C解析：由得，即，∴，∵，故，选C．17．（本小题共l2分）-28-\n已知函数，xR．（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，，求证：．本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．（Ⅰ）解析：，∴的最小正周期，最小值．（Ⅱ）证明：由已知得，两式相加得，∵，∴，则．∴．天津理7．在中，内角的对边分别是，若，，则（　　）．　Ａ．　　　B．　　　C．　　　D．【解】由及正弦定理得，代入得　　　　，即，又，由余弦定理，所以．故选Ａ．17．（本小题满分分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值．（Ⅱ）若，．求的值．【解】（Ⅰ）由得．-28-\n所以函数的最小正周期为．因为，所以．所以，即时，函数为增函数，而在时，函数为减函数，所以为最大值，为最小值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又由已知，则．因为，则，因此，所以，于是，．天津文8．右图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上的所有的点（　）．Ａ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变Ｂ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变Ｃ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变Ｄ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变【解】解法1．如图，平移需满足，解得．因此首先将-28-\n的图象上的所有的点向左平移个单位长度，又因为该函数的周期为，于是再需把的图象上的所有的点横坐标缩短到原来的倍．故选Ａ．解法2．由已知图象得解得，又，所以图中函数的解析式是，因此该函数的图象是将的图象上的所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到的．故选Ａ．17．（本小题满分分）在中，．（Ⅰ）证明：．（Ⅱ）若．求的值．【解】（Ⅰ）在中，由及正弦定理得，于是，即，因为，，则，因此，所以．（Ⅱ）由和（Ⅰ）得，所以，-28-\n又由知，所以．．．所以．浙江理9．设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是A．B．C．D．A13．已知函数则的值为▲.118．（本小题满分14分）已知函数，．ks**5u（Ⅰ）求的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围解：（Ⅰ）．……………………………………………………3分又，，即，．……………………………………………………………7分（Ⅱ），，……………………………9分且，，即的取值范围是．……14分浙江文（5）在中，角所对的边分．若，则-28-\nA．-B．C．-1D．1D（18）（本题满分14分）已知函数，，，．的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为．（Ⅰ）求的最小正周期及的值；（Ⅱ）若点的坐标为，，求的值．（1）本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识。满分14分。（Ⅰ）解：由题意得，因为的图象上，所以又因为，所以（Ⅱ）解：设点Q的坐标为，由题意可知，得连接PQ，在，由余弦定理得解得又重庆理（6）若的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为A（A）（B）(C)1(D)-28-\n（14）已知，且，则的值为__________(16)(本小题满分13分)设，满足，求函数在上的最大值和最小值解：（1）；（2）当时，，函数递增；当时，，函数递减；所以在上的最大值为又，所以在上的最小值为。重庆文(8)若的内角、、满足,则D(A)　　　　　　　　　　　　　(B)(C)　　　　　　　　　　　　(D)(12)若，且，则＝.(18)(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)设函数.(Ⅰ)求的最小正周期;-28-\n(Ⅱ)若函数的图象按,平移后得到函数的图象,求在,上的最大值.解：(Ⅰ)，所以函数的最小正周期为；(Ⅱ)由，为增函数，所以在上的最大值为。-28-