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2023高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十二节第1课时导数与不等式问题课时规范练文含解析北师大版202302202388
2023高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十二节第1课时导数与不等式问题课时规范练文含解析北师大版202302202388
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第二章 函数、导数及其应用第十二节 导数的综合应用第一课时 导数与不等式问题课时规范练A组——基础对点练1.已知函数f(x)=x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )A. B.C.(-∞,2]D.(-∞,2)答案:A2.对任意x∈R,函数f(x)的导数存在,若f′(x)>f(x),且a>0,则以下说法正确的是( )A.f(a)>ea·f(0)B.f(a)<ea·f(0)C.f(a)>f(0)D.f(a)<f(0)解析:设g(x)=,则g′(x)=>0,故g(x)=为R上的单调递增函数,因此g(a)>g(0),即>=f(0),所以f(a)>ea·f(0),故选A.答案:A3.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)解析:∵2x(x-a)<1,∴a>x-.令f(x)=x-,∴f′(x)=1+2-xln2>0.∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)=0-1=-1,∴a的取值范围为(-1,+∞),故选D.答案:D4.(2020·吉林模拟)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)的图像经过点(2,4),且f′(x)>1,则不等式f(2x-2)<2x的解集为( )A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,1)\n解析:令g(x)=f(x)-x,x∈(0,+∞),则g′(x)=f′(x)-1>0,所以g(x)=f(x)-x在(0,+∞)上单调递增,且g(2)=f(2)-2=2.由f(2x-2)<2x得f(2x-2)-(2x-2)<2,即g(2x-2)<g(2),所以解得1<x<2.故选C.答案:C5.(2020·昆明调研)若函数f(x)=2x-x2-1,对于任意的x∈Z且x∈(-∞,a),都有f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-1]B.(-∞,0]C.(-∞,4]D.(-∞,5]解析:对任意的x∈Z且x∈(-∞,a),都有f(x)≤0恒成立,可转化为对任意的x∈Z且x∈(-∞,a),2x≤x2+1恒成立.令g(x)=2x,h(x)=x2+1,当x<0时,g(x)<h(x),当x=0或1时,g(x)=h(x),当x=2或3或4时,g(x)<h(x),当x≥5时,g(x)>h(x).综上,实数a的取值范围为(-∞,5],故选D.答案:D6.函数f(x)=lnx+(a∈R)在区间[e-2,+∞)上有两个零点,则a的取值范围是( )A.B.C.D.解析:令f(x)=lnx+=0,x∈[e-2,+∞),得-a=xlnx.记H(x)=xlnx,x∈[e-2,+∞),则H′(x)=1+lnx,由此可知H(x)在[e-2,e-1)上单调递减,在(e-1,+∞)上单调递增,且H(e-2)=-2e-2,H(e-1)=-e-1,当x→+∞时,H(x)→+∞,故当≤a<时,f(x)在[e-2,+∞)上有两个零点,故选A.答案:A7.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( )A.B.C.D.解析:如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,\n则V=πR2h.设造价为y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·=2πaR2+,所以y′=4πaR-.令y′=0,得=.答案:C8.(2020·无锡质检)已知f(x)=ax3-3x2+1(a>0),g(x)=xf′(x),定义h(x)=max{f(x),g(x)}=若存在x∈[1,2],使得h(x)=f(x),则实数a的取值范围为( )A.(1,2]B.(0,2)C.(0,2]D.(0,1]解析:f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),g(x)=xf′(x)=3ax3-6x2.∵存在x∈[1,2],使得h(x)=f(x),∴f(x)≥g(x)在[1,2]上有解,即ax3-3x2+1≥3ax3-6x2在[1,2]上有解,即不等式2a≤+在[1,2]上有解.设y=+=(x∈[1,2]),∵y′=<0在[1,2]上恒成立,∴y=+在[1,2]上单调递减,∴当x=1时,y=+取得最大值4,∴2a≤4,即a≤2,又a>0,故实数a的取值范围为(0,2],故选C.答案:C9.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为________.解析:令y′=x2-39x-40=0,得x=-1或x=40,由于0<x<40时,y′<0;当x>40时,y′>0.所以当x=40时,y有最小值.答案:4010.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有相异的三个公共点,求a的取值范围.\n解析:令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得-2<a<2时恰有三个不同的公共点.B组——素养提升练11.若等差数列{an}中的a28,a4012是函数f(x)=x3-4x2+6x-1的两个极值点,则log8a2020=________.解析:由题意可知f′(x)=x2-8x+6,又a28,a4012是函数f(x)=x3-4x2+6x-1的极值点,∴a28,a4012是方程x2-8x+6=0的两个实根,由根与系数的关系可得a28+a4012=8,由等差数列的性质可得2a2020=a28+a4012=8,∴a2020=4,∴log8a2020=log84=.答案:12.(2020·西安八校联考)若函数f(x)=x3+x2-ax在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,求实数a的取值范围.解析:由f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,可知f′(x)=x2+2x-a在(1,+∞)上恒大于等于0,又因为函数f′(x)在(1,+∞)上单调递增,所以只需f′(1)=1+2-a≥0即a≤3,又f(x)在区间(1,2)有零点,所以f(1)·f(2)<0,即<a<,综上可知<a≤3.13.设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.解析:(1)f′(x)=(1-2x-x2)ex,令f′(x)=0得x=-1±,当x∈(-∞,-1-)时,f′(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f′(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时,f′(x)<0;所以f(x)在(-\n∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减;在(-1-,-1+)上单调递增.(2)令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-(ax+1),令x=0,可得g(0)=0,g′(x)=(1-x2-2x)ex-a,令h(x)=(1-x2-2x)ex-a,h′(x)=-(x2+4x+1)ex,当x≥0时,h′(x)<0,h(x)单调递减,故h(x)≤h(0)=1-a,即g′(x)≤1-a,要使f(x)-ax-1≤0在x≥0时恒成立,需要1-a≤0,即a≥1,此时g(x)≤g(0)=0,故a≥1,综上所述,a的取值范围是[1,+∞).14.(2020·鹰潭市模拟)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;(3)求证:×××…×<(n≥2,n∈N+).解析:(1)f′(x)=(x>0),当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞);当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),减区间为(0,1];当a=0时,f(x)不是单调函数.(2)由f′(2)=-=1,得a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3,∴g(x)=x3+x2-2x,∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2,∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且g′(0)=-2,∴,由题意知,对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,所以有,∴-<m<-9.(3)证明:令a=-1此时f(x)=-lnx+x-3,所以f(1)=-2,由(1)知f(x)=-lnx+x-3在(1,+∞)上单调递增,∴当x∈(1,+∞)时f(x)>f(1),即-lnx+x-1>0,∴lnx<x-1对一切x∈(1,+∞)成立,\n∵n≥2,n∈N+,则有0<lnn<n-1,∴0<<,∴×××…×<×××…×=(n≥2,n∈N+).
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:29:26
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文章作者:U-336598
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