2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题四概率与统计规范答题示范课_概率与统计解答题含解析202303112181

规范答题示范课——概率与统计解答题[破题之道]　概率与统计问题需要从数据中获取有用的信息，通过数据的筛选、分析构建相关模型特别是从图表、直方图、茎叶图中获取信息，利用图表信息进行数据分析.解题的关键是“辨”——辨析、辨型，求解要抓住几点：(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等；(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等；(3)明确抽取方式，是放回还是不放回、抽取有无顺序等；(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率；(5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求均值、方差；(6)会套用求，K2的公式，再作进一步求值与分析.【典例示范】(12分)(2019·全国Ⅰ卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列.(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i\n时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.规范解答　(1)X的所有可能取值为－1，0，1.1分P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，3分所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)4分(2)①证明　由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，则pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).6分又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列.8分②由①得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＋p0＝p1.9分由于p8＝1，故p1＝，10分所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＋p0＝p1＝.11分p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12分[高考状元满分心得]❶\n写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全.如第(1)问中，写出随机变量X的可能取值，第(2)问中说明{pi＋1－pi}的公比，首项，利用p4的值说明最后的结论合理性等.❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问分布列必须用表格表示，第(2)问中pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)的关系式及条件p1－p0＝p1≠0，否则都会导致扣分.❸正确计算是得满分的关键：如第(2)问中累加求p8与p1的关系，由p8求p1，p4的值，若出错，会每次扣去1分.[满分体验]1.(2020·西安模拟)某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A，B两种，且这两种的个体数量大致相等.记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长(单位：mm)分别为随机变量X，Y，其中X服从正态分布N(45，25)，Y服从正态分布N(55，25).(1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[45，55]的概率；(2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z，若用正态分布N(μ0，σ)来近似描述Z的分布，请你根据(1)中的结果，求参数μ0和σ0的值(精确到0.1)；(3)在(2)的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间[42.2，57.8]的个数为W，求W的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可).注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－0.64σ≤X≤μ＋0.64σ)≈0.4773，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9546.解　(1)记这只蜻蜓的翼长为t.因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的.所以P(45≤t≤55)＝×P(45≤X≤55)＋×P(45≤Y≤55)＝×P(45≤X≤45＋2×5)＋×P(55－2×5≤Y≤55)＝×＋×＝0.4773.(2)由于两种蜻蜓的个体数量相等，X，Y的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知μ0＝＝50.0.由(1)可知45＝μ0－0.64σ0，55＝μ0＋0.64σ0，得σ0＝≈7.8.(3)设蜻蜓的翼长为T，则P(42.2≤T≤57.8)＝P(μ－σ≤T≤μ＋σ)＝0.6827.\n由题有W～B(3，0.6827)，所以P(W＝k)＝C×0.6827k×0.31733－k.因此W的分布列为W0123PC×0.31733C×0.68271×0.31732C×0.68272×0.31731C×0.68273E(W)＝3×0.6827＝2.0481.2.(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：　　　　支付金额(元)支付方式　　　　　(0，1000](1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.解　(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人，故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人).所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为＝0.4.(2)X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.\n由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6，所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，P(X＝1)＝P(C∪D)＝P(C)P()＋P()P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化.则由上个月的样本数据得P(E)＝＝.答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.