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2023高考数学统考一轮复习第3章导数及其应用第2节利用导数解决函数的单调性问题教师用书教案理新人教版202303081212

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 利用导数解决函数的单调性问题[考试要求] 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次).函数的单调性与导数的关系条件结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导f′(x)>0f(x)在(a,b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a,b)内单调递减f′(x)=0f(x)在(a,b)内是常数函数提醒:讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则.1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在(a,b)内f′(x)≤0,且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.(  )(2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减.(  )(3)已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f′(x)>0恒成立.(  )[答案] (1)√ (2)× (3)×二、教材习题衍生1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是(  )\nA.在区间(-3,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.在区间(3,5)上f(x)是增函数C [由图象可知,当x∈(4,5)时,f′(x)>0,故f(x)在(4,5)上是增函数.]2.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是(  )A.先增后减     B.先减后增C.增函数D.减函数D [因为f′(x)=-sinx-1<0在(0,π)上恒成立,所以f(x)在(0,π)上是减函数,故选D.]3.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为________.(0,1] [函数f(x)的定义域为{x|x>0},由f′(x)=1-≤0,得0<x≤1,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1].]4.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则实数a的最大值是________.3 [f′(x)=3x2-a≥0,即a≤3x2,又因为x∈[1,+∞),所以a≤3,即a的最大值是3.]考点一 不含参数的函数的单调性 求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)在定义域内解不等式f′(x)>0,得单调递增区间.(4)在定义域内解不等式f′(x)<0,得单调递减区间.1.已知函数f(x)=x2+2cosx,若f′(x)是f(x)的导函数,则函数f′(x)的图象大致是(  )A        B\nC        DA [设g(x)=f′(x)=2x-2sinx,则g′(x)=2-2cosx≥0.所以函数f′(x)在R上单调递增,故选A.]2.(2020·河北九校联考)函数y=x++2lnx的单调递减区间是(  )A.(-3,1)B.(0,1)C.(-1,3)D.(0,3)B [y′=1-+=(x>0),令y′<0得,解得0<x<1,故选B.]3.(2019·天津高考改编)函数f(x)=excosx的单调递增区间为________.(k∈Z) [f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),令f′(x)>0得cosx>sinx,∴2kπ-π<x<2kπ+,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).]点评:(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降,函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度,也可用来研究导函数图象的上升与下降.(2)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错.考点二 含参数的函数的单调性解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.[典例1] 已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.[解] (1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x在(-∞,+∞)上单调递增.\n②若a>0,则由f′(x)=0得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.③若a<0,则由f′(x)=0得x=ln.当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna,从而当且仅当-a2lna≥0,即0<a≤1时,f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2,从而当且仅当a2≥0,即-2e≤a<0时,f(x)≥0.综上,a的取值范围是[-2e,1].点评:要使f(x)≥0,只需f(x)min≥0;要使f(x)≤0,只需f(x)max≤0.已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数f(x)的单调性.[解] 因为f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,所以f′(x)==,由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f′(x)=0得x=1或x=,(1)若<1,即a>,\n由f′(x)>0得x>1或0<x<,由f′(x)<0得<x<1,即函数f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减;(2)若>1,即0<a<,由f′(x)>0得x>或0<x<1,由f′(x)<0得1<x<,即函数f(x)在(0,1),上单调递增,在上单调递减;(3)若=1,即a=,则在(0,+∞)上恒有f′(x)≥0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可得:当0<a<时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.考点三 已知函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,从而构建不等式,求出参数的取值范围,要注意“=”是否可以取到.(2)可导函数在区间D上存在单调区间,实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集,即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f(x)在区间D上的单调性,区间端点含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.[典例2] 已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x(a≠0).(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;\n(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.[解] (1)h(x)=lnx-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以h′(x)=-ax-2,由于h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>-有解.设G(x)=-,所以只要a>G(x)min即可.而G(x)=-1,所以G(x)min=-1.所以a>-1且a≠0,即a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).(2)由h(x)在[1,4]上单调递减得,当x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立.所以a≥G(x)max,而G(x)=-1,因为x∈[1,4],所以∈,所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-且a≠0,即a的取值范围是∪(0,+∞).[母题变迁]1.本例条件不变,若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求a的取值范围.[解] h(x)在[1,4]上存在单调递减区间,则h′(x)<0在[1,4]上有解,所以当x∈[1,4]时,a>-有解,\n又当x∈[1,4]时,min=-1,所以a>-1且a≠0,即a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).2.本例条件不变,若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上不单调,求a的取值范围.[解] 因为h(x)在[1,4]上不单调,所以h′(x)=0在(1,4)上有解,即a=-有解,令m(x)=-,x∈(1,4),则-1<m(x)<-,所以实数a的取值范围为.点评:注意区分在区间[a,b]上单调递增(减)和在区间[a,b]上存在单调递增(减)区间这两种说法,一个转化为不等式恒成立,一个转化为不等式有解.已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax+b.(1)若f(x)与g(x)的图象在x=1处相切,求g(x);(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.[解] (1)由已知得f′(x)=,所以f′(1)=1=a,所以a=2.又因为g(1)=a+b=f(1)=0,所以b=-1.所以g(x)=x-1.(2)因为φ(x)=-f(x)=-lnx在[1,+∞)上是减函数.所以φ′(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立,即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,则2m-2≤x+,x∈[1,+∞),因为x+≥2,当且仅当x=1时取等号,\n所以2m-2≤2,即m≤2.故实数m的取值范围是(-∞,2].考点四 函数单调性的应用 构造函数解不等式或比较大小一般地,在不等式中若同时含有f(x)与f′(x),常需要通过构造含f(x)与另一函数的和、差、积、商的新函数,再借助导数探索新函数的性质,进而求出结果.常见构造的辅助函数形式有:(1)f(x)>g(x)→F(x)=f(x)-g(x);(2)xf′(x)+f(x)→[xf(x)]′;(3)xf′(x)-f(x)→;(4)f′(x)+f(x)→[exf(x)]′;(5)f′(x)-f(x)→. 比较大小[典例3-1] (1)已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系正确的是(  )A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b(2)已知函数y=f(x)对于任意的x∈满足f′(x)·cosx+f(x)sinx=1+lnx,其中f′(x)是函数f(x)的导函数,则下列不等式成立的是(  )A.f<fB.f>fC.f>fD.f>f(1)D (2)B [(1)设g(x)=,则g′(x)=,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则g′(x)=<0,即函数g(x)在x∈(0,+∞)时为减函数.由函数y=f(x)为奇函数知f(-3)=-f(3),则c==.∵a==g(e),b==g(ln2),c==g(3)\n且3>e>ln2,∴g(3)<g(e)<g(ln2),即c<a<b,故选D.(2)设g(x)=,则g′(x)==,x∈.令g′(x)=0得x=,当x∈时g′(x)<0,函数g(x)单调递减,当x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.∵<<<<,∴g<g<g,即>>,化简得f>f,f>f,f>f,故选B.] 解不等式[典例3-2] (1)已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,且对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(  )A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)(2)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是________.(1)B (2) [(1)由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0.设F(x)=f(x)-2x-4,则F′(x)=f′(x)-2.因为f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增.又F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1,故选B.(2)因为f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.因为f′(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2≥0,所以函数f(x)在R上单调递增.\n又f(a-1)+f(2a2)≤0,所以f(2a2)≤f(1-a),所以2a2≤1-a,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,故实数a的取值范围为.]点评:构造函数F(x),把所求不等式转化为F(a)>F(b)或F(a)<F(b)的形式,然后根据F(x)的单调性得到a>b或a<b.1.已知f(x)是定义在区间(0,+∞)内的函数,其导函数为f′(x),且不等式xf′(x)<2f(x)恒成立,则(  )A.4f(1)<f(2)B.4f(1)>f(2)C.f(1)<4f(2)D.f(1)>4f′(2)B [令g(x)=(x>0),则g′(x)=,由不等式xf′(x)<2f(x)恒成立知g′(x)<0,即g(x)在(0,+∞)是减函数,∴g(1)>g(2),即>,即4f(1)>f(2),故选B.]2.设f(x)和g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f′(x),g′(x)分别为其导数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(  )A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)D [令h(x)=f(x)g(x),当x<0时,h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,则h(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以h(x)为奇函数,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.又由g(-3)=0,可得h(-3)=-h(3)=0,所以当x<-3或0<x<3时,h(x)<0,故选D.]3.已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数,若f′(x)-2f(x)<0,且f(-1)=0,则f(x)>0的解集为(  )A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(-∞,0)D.(-1,+∞)A [设g(x)=,则g′(x)=<0在R上恒成立,所以g(x)在R上单调递减.因为f(x)>0,所以g(x)>0,又g(-1)=0,所以x<-1.]备考技法2 导数中的函数构造问题函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现.\n利用f(x)与xn构造函数1.若F(x)=xnf(x),则F′(x)=nxn-1f(x)+xnf′(x)=xn-1[nf(x)+xf′(x)];2.若F(x)=,则F′(x)==;由此得到结论:(1)出现nf(x)+xf′(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);(2)出现xf′(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. (1)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf′(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.(2)设f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf′(x)<0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为________.(1)(-1,0)∪(0,1) (2)(-∞,-∪(0,4) [(1)构造F(x)=,则F′(x)=,当x>0时,xf′(x)-2f(x)<0,可以推出当x>0时,F′(x)<0,F(x)在(0,+∞)上单调递减.∵f(x)为偶函数,x2为偶函数,∴F(x)为偶函数,∴F(x)在(-∞,0)上单调递增.根据f(-1)=0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示,根据图象可知f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1).(2)构造F(x)=xf(x),则F′(x)=f(x)+xf′(x),当x<0时,f(x)+xf′(x)<0,可以推出当x<0时,F′(x)<0,∴F(x)在(-∞,0)上单调递减.∵f(x)为偶函数,x为奇函数,∴F(x)为奇函数,∴F(x)在(0,+∞)上也单调递减.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示,根据图象可知xf(x)>0的解集为(-∞,-4)∪(0,4).]\n[评析] 构造函数后可根据条件判断构造函数的单调性、奇偶性,画出相应函数的图象,再根据图象写出解集.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x<0时,有xf′(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为________.(-∞,-1)∪(1,+∞) [构造F(x)=,则F′(x)=,当x<0时,xf′(x)-f(x)>0,可以推出当x<0时,F′(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.∵f(x)为偶函数,x为奇函数,∴F(x)为奇函数,∴F(x)在(0,+∞)上也单调递增.根据f(1)=0可得F(1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象,根据图象可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).]利用f(x)与ex构造函数1.若F(x)=enxf(x),则F′(x)=n·enxf(x)+enxf′(x)=enx[f′(x)+nf(x)];2.若F(x)=,则F′(x)==;由此得到结论:(1)出现f′(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);(2)出现f′(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足:(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)·e2-2x,则下列判断一定正确的是(  )A.f(1)<f(0)B.f(2)>e2f(0)C.f(3)>e3f(0)D.f(4)<e4f(0)C [构造F(x)=,则F′(x)==,导函数f′(x)满足(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,\n则x>1时F′(x)>0,F(x)在[1,+∞)上单调递增.当x<1时F′(x)<0,F(x)在(-∞,1]上单调递减.又由f(2-x)=f(x)e2-2x⇔F(2-x)=F(x)⇒F(x)关于x=1对称,从而F(3)>F(0)即>,∴f(3)>e3f(0),故选C.][评析] 构造函数时,要注意F(x)=与F(x)=,F(x)=xnf(x)与F(x)=enxf(x)的构造条件.若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的解集为________.(0,+∞) [构造F(x)=,则F′(x)==,函数f(x)满足f′(x)-2f(x)>0,则F′(x)>0,F(x)在R上单调递增.又∵f(0)=1,则F(0)=1,f(x)>e2x⇔>1⇔F(x)>F(0),根据单调性得x>0.]利用f(x)与sinx,cosx构造函数sinx,cosx因为导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考察的范畴,下面是常考的几种形式.F(x)=f(x)sinx,F′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx;F(x)=,F′(x)=;F(x)=f(x)cosx,F′(x)=f′(x)cosx-f(x)sinx;F(x)=,F′(x)=. 已知函数y=f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式不成立的是(  )A.f<fB.f<fC.f(0)<fD.f(0)<2fA [构造F(x)=形式,\n则F′(x)=,导函数f′(x)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0,则F′(x)>0,F(x)在上单调递增.∴F<F,即<,∴f>f,故选A.][评析] 准确记忆函数F(x)=f(x)sinx,F(x)=f(x)cosx,F(x)=,F(x)=的导数,是构造函数的前提.定义在上的函数f(x),函数f′(x)是它的导函数,且恒有f(x)<f′(x)tanx成立,则(  )A.f>fB.f(1)<2fsin1C.f>fD.f<fD [f(x)<f′(x)tanx⇔f′(x)sinx-f(x)cosx>0,令F(x)=,则F′(x)=>0,即函数F(x)在上是增函数,∴F<F,即<,∴f<f,故选D.]构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式,通过具体的关系式去解决不等式及求值问题. 已知α,β∈,且αsinα-βsinβ>0,则下列结论正确的是(  )\nA.α>βB.α2>β2C.α<βD.α+β>0B [构造函数f(x)=xsinx,则f′(x)=sinx+xcosx.当x∈时,f′(x)≥0,f(x)是增函数,当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数,又f(x)为偶函数,∴αsinα-βsinβ>0⇔αsinα>βsinβ⇔f(α)>f(β)⇔f(|α|)>f(|β|)⇔|α|>|β|⇔α2>β2,故选B.][评析] 认真分析题目所给条件,寻找(或变形后寻找)结构相同的式子,结合所求构造函数.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对∀x∈R,f′(x)<,则不等式f(log2x)>的解集为________.(0,2) [构造函数F(x)=f(x)-x,则F′(x)=f′(x)-<0,∴函数F(x)在R上是减函数.由f(1)=1,得F(1)=f(1)-=1-=,∴f(log2x)>⇔f(log2x)-log2x>⇔F(log2x)>F(1)⇔log2x<1⇔0<x<2.]

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发布时间:2022-08-25 17:30:55 页数:15
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文章作者:U-336598

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