2023高考数学统考一轮复习第4章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书教案理新人教版202303081218

任意角、弧度制及任意角的三角函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式从高考题型、题量来看，一般有两种方式：二个小题或一个小题另加一个解答题，分值为10分或17分左右.2.考查内容(1)客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识.(2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.　任意角、弧度制及任意角的三角函数[考试要求]　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．\n提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝rad；②1rad＝弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝lr＝|α|r2提醒：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．3．任意角的三角函数(1)定义设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．拓展：任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．1．象限角\n2．轴线角一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√二、教材习题衍生1．若θ满足sinθ＜0，cosθ＞0，则θ的终边在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D　[∵sinθ＜0，cosθ＞0，∴θ的终边落在第四象限．]2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)C　[∵＝2π＋，∴与终边相同．又角度制与弧度制不可同时混用，故选C．]3．角－225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限．[答案]　－　二4．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________.\n　[由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－，cosθ＝，所以2cosθ－sinθ＝2×－＝.]5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________rad.　[弦和两条半径构成等边三角形，因此这条弦所对的圆心角大小为rad.]考点一　象限角及终边相同的角　1.象限角的两种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角2.求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示．(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．1．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)A　　　　B　　　　　C　　　　DB　[当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边相同；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤的终边相同，故选B．]2．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(　　)A．第一象限角B．第二象限角\nC．第三象限角D．第四象限角B　[∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，∴的终边落在第二、四象限，又＝－cos，∴cos＜0，∴是第二象限角．]3．与－2010°终边相同的最小正角是________．150°　[与－2010°终边相同的角可表示为α＝－2010°＋k·360°，k∈Z，又当k＝6时，α＝150°，故与－2010°终边相同的最小正角为150°.]　[终边在直线y＝x上且在第一象限的角为α＝2kπ＋(k∈Z)，终边在直线y＝x上且在第三象限的角为β＝2kπ＋π＋＝(2k＋1)π＋(k∈Z)．则终边在直线y＝x上的角的集合为点评：利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．考点二　扇形的弧长及面积公式的应用　有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[典例1]　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20cm，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？\n[解]　(1)α＝60°＝rad，所以l＝α·R＝×10＝(cm)．(2)由题意得⇒(舍去)或故扇形圆心角为rad.(3)由已知得l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.1．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)A．B．C．3D．D　[如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，∴AM＝r，AB＝r，∴l＝r，由弧长公式得α＝＝＝.]2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)A．2B．sin2C．D．2sin1C　[如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D．\n则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝＝，即r＝，从而的长为l＝α·r＝.故选C．]3．已知扇形弧长为20cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.　[由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝，所以S扇形＝lr＝×20×＝.]考点三　三角函数的定义及应用　利用三角函数的定义求值　三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．\n[典例2－1]　(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sinα·tanα＝(　　)A．－B．±C．－D．±(2)若角α的终边经过点P(－，m)(m≠0)，且sinθ＝m，则cosθ＝________.(3)若角α的终边在直线y＝－x上，求sinα，cosα和tanα的值．(1)C　(2)－　[(1)由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，则y＝或y＝－.当y＝时，sinα＝，tanα＝－，此时，sinα·tanα＝－；当y＝－时，sinα＝－，tanα＝，此时，sinα·tanα＝－.综上所述，选C．(2)r＝，由sinθ＝＝m，整理得m2＝5，则r＝＝＝2.∴cosθ＝＝－.](3)[解]　由题意知tanα＝－，①当角α终边落在第二象限，设角α终边上一点P(－3,4)，r＝5，∴sinα＝，cosα＝－，②当角α终边落在第四象限，设角α终边上一点P(3，－4)，r＝5，sinα＝－，cosα＝.点评：充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母的方程求解要注意字母的范围．　三角函数值的符号判断　已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．[典例2－2]　(1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)\nA．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0(2)若sinα·tanα＜0，且＜0，则角α是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(3)若sinx＜0，且sin(cosx)＞0，则角x是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(1)D　(2)C　(3)D　[(1)∵α是第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，∴sin2α＝2sinαcosα＜0，故选D．(2)由sinα·tanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角．由＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角，故选C．(3)由－1≤cosx≤1，且sin(cosx)＞0知0＜cosx≤1，又sinx＜0，∴角x是第四象限角，故选D．]1．函数y＝loga(x－3)＋2(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sinα＋cosα的值为(　　)A．B．C．D．D　[∵函数y＝loga(x－3)＋2的图象恒过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，设P(x，y)，∴x＝4，y＝2，r＝2，∴sinα＝，cosα＝，∴sinα＋cosα＝＋＝.]2．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B　[∵tanα＜0，cosα＜0，∴α在第二象限．]3．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝________.－　[r＝，由cosα＝＝x，整理得＝5，\n解得x＝±3.∵α是第二象限角，∴x＜0，∴x＝－3，则tanα＝－.]