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【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第11章 第5节 数系的扩充与复数的引入课时作业 理
【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第11章 第5节 数系的扩充与复数的引入课时作业 理
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课时作业(七十五) 数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2014·新课标全国Ⅰ)=( )A.1+iB.1-i C.-1+iD.-1-i答案:D解析:=·(1+i)=(1+i)=-1-i,故应选D.2.(2015·济宁模拟)已知i是虚数单位,复数z=(1-i)·(-i),是z的共轭复数,则的虚部为( )A.4B.-4C.2D.-2答案:A解析:z=+i2-3i-i=-4i,∴=4i,虚部为4.故应选A.3.复数z满足(z-i)(2-i)=5,则z=( )A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i答案:D解析:由题意知,z=+i=+i=2+2i.故应选D.4.下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2; p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i; p4:z的虚部为-1.其中的真命题为( )A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4答案:C解析:∵z==-1-i,∴|z|=,z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,z的共轭复数为-1+i,z5\n的虚部为-1,综上可知p2,p4是真命题.故应选C.5.在复平面内,复数z=cos3+isin3(i是虚数单位)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:因为<3<π,所以cos3<0,sin3>0,故点(cos3,sin3)在第二象限,即复数z=cos3+isin3对应的点位于第二象限.故应选B.6.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为( )A.3+5iB.3-5iC.-3+5iD.-3-5i答案:A解析:因为z====3+5i,故应选A.7.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H答案:D解析:依题意,得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的坐标是(2,-1),由图知为点H.故应选D.8.(2013·山东)复数z=(i为虚数单位),则|z|=( )A.25B.C.5D.答案:C5\n解析:∵z=====-4-3i,∴|z|==5,故应选C.9.(2015·青岛质检)设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a的值为( )A.2B.-2C.-D.答案:A解析:∵==+i,∴=0,≠0,∴a=2.故应选A.10.对于任意的两个数对(a,b)和(c,d),定义运算(a,b)*(c,d)=ad-bc,若(1,-1)*(z,zi)=1-i,则复数z为( )A.2+iB.2-iC.1D.-i答案:D解析:由已知条件所给出的定义,得(1,-1)*(z,zi)=zi+z=1-i,解得z==-i,故应选D.二、填空题11.已知复数z=(i是虚数单位),则|z|=________.答案:解析:==2+i,所以|z|=.12.若=a+bi(a,b为实数,i为虚数单位),则a+b=________.答案:35\n解析:由===a+bi,得a=,b=,解得b=3,a=0,所以a+b=3.13.已知复数z=1-i,则=________.答案:-2i解析:==z-1-=(-i)-=-i-=-2i.14.(2015·济南模拟)若复数z满足z-1=cosθ+isinθ,则|z|的最大值为________.答案:2解析:∵z-1=cosθ+isinθ,∴z=(1+cosθ)+isinθ,∴|z|==≤=2.15.在复平面内,复数1+i与-1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则||=________.答案:2解析:由题意知=(1,1),=(-1,3),故||==2.16.已知复数2+i与复数在复平面内对应的点分别是A与B,则∠AOB=________.答案:24解析:点A的坐标为(3,a),则||≥3,又=λ,则O,P,A三点共线,||||=72,则||=,设OP与x轴夹角为θ,则OP在x轴上的投影长度为||cosθ=||=≤24,即线段OP在x轴上的投影长度的最大值为24.三、解答题17.已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值;5\n(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.解:(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,∴解得a=b=3.(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),由|-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),即(s+1)2+(t-1)2=8,∴点Z的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当点Z在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值.∵|OO1|=,半径r=2,∴当z=1-i时,|z|有最小值且|z|min=.18.已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解:设z=x+yi(x,y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,∵==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,∴z=4-2i.∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由于(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,∴解得2<a<6,∴实数a的取值范围是(2,6).5
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高考 - 一轮复习
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