新高考2023高考数学小题必练3不等式20230421197

1．学会解不等式．2．掌握不等式基本性质．3．学会利用基本不等式求最值问题．1．【2020浙江高考真题】已知，且，对于任意均有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．因为，所以且，设，则的零点为，，．当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，，要使，必有，综上一定有，故选C．【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题．2．【2019天津高考真题（理）】设，，，则的最小值为______．【答案】【解析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．∵，∵，，，，∴，10\n当且仅当，即，时成立，故所求的最小值为．【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．一、单选题．1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，所以，故；同理，，故．因为，故，故最低费用为，故选B．2．已知，且，，则、的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】利用作差法可得出、的大小关系．已知，且，，则，所以，，因此，，故选A．10\n3．设，，，则下列结论正确的是（）①有最小值；②有最大值；③有最大值；④有最小值．A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】利用基本不等式判断即可．由，，，则，即，解得或（舍去），当且仅当时取等号，即①正确；又，即，解得或（舍去），当且仅当时取等号，即④正确，故选B．4．已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】根据题意可得，求出集合，再讨论的取值范围，求出集合，由集合的运算结果即可求解．由题意可得或，，当时，，满足；当时，或，若，则，解得；当时，或，10\n若，则，解得，综上所述，实数的取值范围是或，故选C．5．已知的面积为，内切圆半径也为，若的三边长分别为，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用等面积法可得，式子化为，利用基本不等式即可求解．因为的面积为，内切圆半径也为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4，故选C．6．已知，，，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知可分析出，，符号，再用基本不等式，然后放缩可得的符号．因为，，所以，，中两负一正，不妨设，，，，，，故选B．7．设，，则（）A．B．C．D．与的大小关系与有关【答案】A【解析】作差，然后配方可得结论．10\n∵，∴，故选A．8．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理吨垃圾，最多要处理吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（）A．吨B．吨C．吨D．吨【答案】B【解析】由题意，得到每吨的平均处理成本为，再结合基本不等式求解，即可得到答案．由题意，月处理成本（元）与月处理量（吨）的函数关系为，所以平均处理成本为，其中，又由，当且仅当时，即时，每吨的平均处理成本最低．故选B．二、多选题．9．已知，，，则的值可能是（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】由，，，得，则且．当时，，当且仅当，即时取等号；10\n当时，．当且仅当，即时取等号，综上，，故选CD．10．若，，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】当，，，时，，故A错误；∵，，由不等式的性质可知，，故B、C正确；∵，若，则；若，则，故D错误，故选AD．11．若，，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】对选项A，，因为，所以，，即，所以，故A错误；对选项B，，因为，所以，，即，所以，故B正确；对选项C，因为，所以的范围为，故C错误；对选项D，因为，所以，，10\n因为，所以，又因为，所以在为增函数，所以，故D正确，故选BD．12．下列选项正确的有（）A．若，则有最小值B．若，则有最大值C．若，则D．若，则【答案】BCD【解析】对于A，，因为，故，故等号不能成立，故A错误；对于B，当时，；当时，，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故B正确；对于C，，因为，故，而，因为，故，不同时为零，故，故，所以，即，故C正确；对于D，，因为，故，，即，所以，故选BCD．三、填空题．10\n13．已知，则的最小值是_________．【答案】【解析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解．∵，∴且，∴，当且仅当，即，时取等号，∴的最小值为，故答案为．14．设，，，则的最小值为__________．【答案】【解析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．由，得，得，，等号当且仅当，即，时成立，故所求的最小值为．15．已知，，，则的最大值是_______，的最小值是_______．【答案】，【解析】由，可得，即，当且仅当时，等号成立，10\n所以的最大值是．由，可得，所以，当且仅当，即时等号成立．的最小值是，故答案为；．16．已知，函数．（1）当时，函数的最小值为______；（2）若在区间上的最大值是，则实数的取值范围为________．【答案】，【解析】（1）解：当时，．当时，，当且仅当，即时等号成立，即；当时，，，当且仅当，即时等号成立，即，综上所述，函数的最小值为．（2）解：当时，，当且仅当，即时等号成立，10\n当时，；当时，，所以．①当时，，所以，即(舍)；②当时，成立；③当时，，则或，解得或，综上所述，，故答案为，．10