新高考2023高考数学小题必练7直线与圆20230421193

1．直线与方程．①理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．②能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．2．斜截式与一次函数的关系．①能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．②掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．3．圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；初步了解用代数方法处理几何问题的思想．5．空间直角坐标系了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式．1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：∵为上的动点，设，∵，即，∴的圆心，半径为，∴．依题意可知在中，，∴，10\n∴，∴，当时，取得最小值．此时过作的其中一条切线为，设的方程为，则，又∵，∴，∴直线的方程为，化简得．解法二：，因为，所以最小，即最小，此时与直线垂直，，直线与直线的交点，过直线外一点作的切线所得切点弦所在直线方程为，所以选D．【点睛】考查直线和圆的位置关系、最值问题．2．【2020全国II卷理科】若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设圆心为，则半径为，圆过点，则，解得或，所以圆心坐标为或，圆心到直线的距离都是．【点睛】考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式．10\n一、单选题．1．已知圆，点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么（）A．，且与圆相离B．，且与圆相切C．，且与圆相交D．，且与圆相离【答案】A【解析】∵点在圆内部，∴，由题意知，当时，过点的弦最短，此时，而的斜率，∴，又∵圆心到直线的距离，∴与圆相离，故选A．2．已知圆与直线相切，则圆与直线相交所得弦长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆心到直线的距离为，解得或，因为，所以，所以圆，圆心到直线的距离为，所以圆与直线相交所得弦长为，故选D．3．若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定10\n【答案】A【解析】圆的方程可化为，故圆心为，半径．由于直线和圆相切，所以，结合，解得，所以直线的方程为，即．圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，所以直线与圆相交，故选A．4．已知圆，直线，为任意实数，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．与的值有关【答案】B【解析】将直线的方程整理为，由，得，所以直线过定点，因为，所以点在圆内部，所以直线和圆恒有个交点，即直线和圆相交，故选B．5．动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆的圆心满足的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设点坐标为，，动圆的半径为，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，，，即，化简得，∴动圆圆心轨迹方程为，故选B．10\n6．若直线与圆有两个不同的公共点，那么点与圆的位置关系是（）A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定【答案】A【解析】因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与的圆心的距离为，圆的半径为，所以点在圆外，故选A．7．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圆心在上，圆心的纵橫坐标值相反，显然能排除C、D；验证：中圆心到两直线的距离是，圆心到直线的距离是，故A错误，故选B．8．已知圆，直线．若直线上存在点，以为圆心且半径为的圆与圆有公共点，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线上存在点，以为圆心且半径为的圆与圆有公共点，则，只需，即圆的圆心到直线的距离，，，或，故选C．10\n二、多选题．9．已知圆方程为与直线，下列选项正确的是（）A．直线与圆必相交B．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相切【答案】AC【解析】由题意，圆的圆心，半径，直线变形得，得直线过定点，∵，∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为，故C对，故选AC．10．已知圆与圆的圆心不重合，直线．下列说法正确的是（）A．若两圆相交，则是两圆的公共弦所在直线B．直线过线段的中点C．过直线上一点（在两圆外）作两圆的切线，切点分别为，，则D．直线与直线相互垂直【答案】ACD【解析】联立两圆方程得，整理得，为两圆的公共弦所在直线，故A正确；设圆的半径为，圆的半径为，，，10\n线段的中点为，则，，所以当两圆半径相等时成立，故B错误；设，则，由切线长定理得，，所以，即，故C正确；因为，，所以直线的斜率，直线的斜率为，则，所以直线相互垂直，故D正确，故选ACD．11．已知圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则下列结论正确的是（）A．圆的圆心在定直线上B．圆的面积的最大值为C．圆的半径的最小值为D．满足条件的所有圆的半径之积为【答案】ABD【解析】∵圆与相切于，∴与垂直，∴直线斜率为，则在直线，即上，A正确；设，∴圆半径，∴圆被轴截得的弦长为，解得或，当时，圆面积最大，为，B正确；当时，圆半径最小，为，C错误；10\n满足条件的所有半径之积为，D正确，故选ABD．12．已知直线过点与圆相切，则的方程（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】当斜率不存在时，成立；当斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离为，因为直线与圆相切，所以，解得，所以直线方程为，综上：直线方程为或，故选AC．三、填空题．13．圆与圆的公共弦所在的直线方程是．【答案】【解析】∵，，∴，∴，即所求直线方程为．14．若圆和圆关于对称，圆与相切，则满足条件的直线有________条．【答案】【解析】圆，圆心为，半径，圆心关于对称的点为，故圆，10\n圆与圆相切，则或，解得或或，故答案为．15．圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交所得的弦长为，则圆的方程为．【答案】【解析】设所求圆的圆心为，半径为，∵点关于直线的对称点仍在这个圆上，∴圆心在直线上，∴，①，且；②又直线截圆所得的弦长为，且圆心到直线的距离为，根据垂径定理得，即③，由方程①②③组成方程组，解得，∴所求圆的方程为．16．已知直线与圆无公共点，为圆的直径，若在直线上存在点使得，则直线的斜率的取值范围是．【答案】【解析】∵直线与圆无公共点，∴，即，∴，由，可得，即，故在直线上存在点，使得；即在直线上存在点，使得．10\n∴圆心到直线的距离小于等于，∴，即，综上：，故答案为．10