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新高考2023高考数学小题必练8圆锥曲线20230421192
新高考2023高考数学小题必练8圆锥曲线20230421192
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1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.3.了解圆锥曲线的简单应用;理解数形结合的思想.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.1.【2020全国Ⅰ卷理科】已知为双曲线的右焦点,为的右顶点,为上的点,且垂直于轴,若的斜率为,则的离心率为.【答案】2【解析】由题可知点的坐标为,所以,且,代入并化简可得解得或(舍弃).【点睛】主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识点.2.【2019全国Ⅰ卷理科】已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于,两点.若,,则的方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由椭圆的焦点为,,可知,又,,可设,则,,根据椭圆的定义可知,得,所以,,可知,根据相似可得代入椭圆的标准方程,12\n得,,椭圆的方程为.【点睛】利用椭圆的定义及标准方程运算求解.一、单选题.1.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在的右支上,与轴交于点,的内切圆与边切于点,若,则的渐近线方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】设三角形的内切圆的圆心为,在第一象限,如图所示.作交于,交于,连接,则,,.根据双曲线的定义可知,而,所以,,,即,,结合,得,所以双曲线的渐近线方程为,故选A.12\n2.过双曲线的右焦点的直线交的右支于,两点,直线(是坐标原点)交的左支于点,若,且,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设左焦点为.因为直线交的左支于点,所以,两点关于原点对称,连接,,,因为,且,,所以四边形为矩形.因为,所以令,则,,,,在中,,即,解得,在中,,即,解得,故选C.3.已知双曲线的左、右顶点分别为,,是上一点,且为等腰三角形,其外接圆的半径为,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解法一:不妨设在第一象限,,因为是等腰三角形,所以结合图形可知,只能.令,则,,,由正弦定理可得,所以,则,,12\n则,,即.又点在双曲线上,所以,解得,则,则,故选C.解法二:不妨设在第一象限,因为是等腰三角形,所以结合图形可知,只能.令,则,,,由正弦定理可得,所以,则,,即,,则,,即,根据,得,则,故选C.4.过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于,两点,若,为坐标原点,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解法一:由题意,知,准线,作于点,与点,过点作于点,交轴于点,设,则.由抛物线的定义,知,,,,.12\n由,得,即,解得,所以,故选A.解法二:由题意,知,准线,如图,作于点,设直线的方程为,,,将代入抛物线方程,得,所以①.由,得,即,所以②.联立①②解得,代入抛物线方程,解得.由抛物线的定义,知,所以,故选A.5.已知,分别是双曲线的上、下焦点,是其一条渐近线上的一点,且以为直径的圆经过点,则的面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设,不妨设点在双曲线的过一、三象限的渐近线上,因此可得.,,所以,以为直径的圆的方程为,又以为直径的圆经过点,所以.12\n由,得,于是,故选C.6.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点相同,过点分别作两条直线,,直线与抛物线交于,两点,直线与抛物线交于,两点,若与的斜率的平方和为,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由双曲线方程知其右焦点坐标为,所以,即,所以抛物线的方程为.由题意可设直线的方程为,直线的方程为,则,于是由,消去,得,所以,同理可得.因为为抛物线的焦点,所以由抛物线的定义可得,当且仅当时,取得最小值,故选C.7.过抛物线的焦点作直线,交抛物线于点,,交抛物线的准线于点,若,则直线的斜率为()A.B.C.D.【答案】C12\n【解析】解法一:由题意知直线的斜率存在且不等于,抛物线的焦点.设直线的方程为,代入抛物线的方程,得.设,,则,.抛物线的准线方程为,则.由,得,所以,即,代入,得,则,又,所以,整理得,解得或(舍去),所以,所以直线的斜率为.解法二:如图,设点在第一象限,分别过,作抛物线准线的垂线,垂足为,.由,得为的中点.设,则,根据抛物线的定义得,所以,在中,,所以,即直线的斜率为,当点在第一象限时可得直线的斜率为.综上,直线的斜率为.8.已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于,两点.若,12\n,则的方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意设椭圆的方程为,连接,令,则,.由椭圆的定义知,,得,故,则点为椭圆的上顶点或下顶点.令(为坐标原点),则.在等腰三角形中,,所以,得.又,所以,题意的方程为,故选B.二、多选题.9.已知曲线.()A.若,则是椭圆,其焦点在轴上B.若,则是圆,其半径为C.若,则是双曲线,其渐近线方程为D.若,,则是两条直线【答案】ACD【解析】对于选项A,∵,∴,方程可变形为,∴该方程表示焦点在轴上的椭圆,正确;对于选项B,∵,∴方程可变形为,该方程表示半径为的圆,错误;12\n对于选项C,∵,∴该方程表示双曲线,令,正确;对于选项D,∵,,∴方程变形为,该方程表示两条直线,正确,综上选ACD.10.当时,方程表示的轨迹可以是()A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线【答案】ACD【解析】将分为,,三种情况进行分类讨论,由此确定正确选项.当时,,,,.方程可化为,表示焦点在轴上的椭圆;当时,,,方程化为,,表示两条直线;当时,,,,.方程可化为,表示焦点在轴上的双曲线,所以曲线不可能表示圆,故选ACD.11.已知,分别是双曲线的左右焦点,点是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且向量,则下列结论正确的是()A.双曲线的渐近线方程为B.以为直径的圆的方程为C.到双曲线的一条渐近线的距离为D.的面积为【答案】ACD【解析】A.代入双曲线渐近线方程得,正确;12\nB.由题意得,,则以为直径的圆的方程,不是,错误;C.,渐近线方程为,距离为,正确;D.由题意得,,设,根据,解得,,则的面积为,正确,故选ACD.12.已知抛物线的焦点为,准线为,过的直线与交于,两点,,分别为,在上的射影,且,为中点,则下列结论正确的是()A.B.为等腰直角三角形C.直线的斜率为D.线段的长为【答案】ACD【解析】由题意由抛物线的对称性,焦点,准线方程为,由题意可得直线的斜率不为,由题意设直线的方程为,设,,由题意可知,,将直线与抛物线联立整理得,,.A中,因为,所以,即,所以A正确;B中,由A正确,不可能,更不会或为直角,所以B不正确;C中,因为,所以,即,,,所以,解得,,所以直线的斜率为,所以C正确;D中,由题意可得弦长,所以D正确,12\n故选ACD.三、填空题.13.过抛物线焦点的直线与该抛物线相交于,两点,点是的中点,则的值为_______.【答案】【解析】由抛物线方程知,.设,,则,所以由抛物线的定义知.14.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】因为,所以,所以双曲线的渐近线方程为.15.已知,分别是椭圆的左、右焦点,,是椭圆上关于轴对称的两点,的中点恰好落在轴上,若,则椭圆的离心率的值为______.【答案】【解析】设,因为的中点在轴上,所以,解得,所以点,,三点共线.因为,所以,所以垂直平分,所以.又由椭圆的对称性,知,所以为等边三角形.因为,所以由,得,所以.12\n由椭圆的定义,知,即,所以.16.能说明“若,则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,的值是______.【答案】(答案不唯一,满足要求即可)【解析】当且,时,方程表示的曲线为圆,取,则(答案不唯一,满足要求即可).12
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:51:55
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