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江西省高考数学第二轮复习 专题六 解析几何第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 文

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专题六 解析几何第2讲 椭圆、双曲线、抛物线真题试做1.(2012·江西高考,文8)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(  ).A.B.C.D.-22.(2012·湖南高考,文6)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为(  ).A.-=1B.-=1C.-=1D.-=13.(2012·大纲全国高考,文10)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=(  ).A.B.C.D.4.(2012·江西高考,文20)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=·(+)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上的动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.考向分析圆锥曲线是高考的重点和热点,是高考中每年必考的内容.所占分数约在12~18分.主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容.其中对圆锥曲线方程与性质的考查,多以选择题、填空题为主,如2012年湖南高考文6,2012年江西高考文8等题;对直线与圆锥曲线的位置关系的考查,常与其他知识结合,形成曲线中的存在性问题、曲线中的证明问题等,多以解答题的形式出现.预计在今后高考中,解析几何中的解答题仍将以直线与圆锥曲线为载体,继续与函数、方程、不等式、向量等知识结合,考查最值问题、范围问题、存在性问题以及有关的证明等,试题属于中、高档题,考查的思想方法主要有数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法.热点例析热点一 圆锥曲线的定义、性质与标准方程【例1】若椭圆+=1与双曲线-=1(m,n,p,q均为正数)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共点,则|PF1|·|PF2|等于(  ).A.p2-m2B.p-mC.m-pD.m2-p2规律方法1.求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法.而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2+ny2=1(mn≠0),这样可以避免对参数的讨论.2.应特别重视圆锥曲线的定义在解题中的运用,若已知圆锥曲线上一点及焦点的相关信息,应首先要考虑使用圆锥曲线的定义来求解.3.在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a-12-\n的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c,a,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.4.在双曲线中,由于e2=1+,故双曲线的渐近线与离心率密切相关.5.抛物线的几何性质的特点:有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴、无对称中心、没有渐近线,这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离.变式训练1(1)(2012·江苏南京二模,6)已知双曲线-y2=1的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率e=__________.(2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为__________.热点二 圆锥曲线的最值或定值问题【例2】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+y2=1.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3,m).(1)求m2+k2的最小值;(2)若|OG|2=|OD|·|OE|,①求证:直线l过定点;②试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.规律方法1.求最值的常用方法(1)函数法,如通过二次函数求最值;(2)三角代换法,转化为三角函数,利用三角函数的有界性求最值;(3)不等式法,通过基本不等式求最值;(4)数形结合法等.2.定值问题的求解策略解这类问题常通过取参数和特殊值先确定“定值”是多少,再进行证明,或者将问题转化为代数式,再证明该式是与变量无关的常数.特别提醒:解决定值问题一定要分清哪些量为变量,哪些量为常量.变式训练2(2012·安徽安庆二模,20)已知,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,e=,过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,且|AB|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)M,N是椭圆C上的两点,若线段MN被直线x=1平分,证明:线段MN的中垂线过定点.热点三 圆锥曲线中的参数范围【例3】如图,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足=2,·=0,点N的轨迹为曲线E.-12-\n(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G,H(点G在点F,H之间),且满足=λ,求λ的取值范围.规律方法求参数范围的常用方法(1)函数法,用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解.(2)不等式法,根据题意建立含参数的不等关系,通过解不等式求参数的范围.(3)判别式法,建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式Δ≥0求参数的范围.(4)数形结合法,研究该参数所对应的几何意义,利用数形结合思想求解.特别提醒:直线与圆锥曲线相交(有两个交点),联立方程消元后得方程ax2+bx+c=0(a≠0),则Δ=b2-4ac>0,求字母范围时易忽视此限制条件,从而产生增根.变式训练3已知点P(4,4),圆C:(x-m)2+y2=5(m<3)与椭圆E:+=1(a>b>0)有一个公共点A(3,1),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.(1)求m的值与椭圆E的方程;(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求·的取值范围.热点四 开放性、探索性问题(存在性问题)【例4】在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.规律方法1.解决探索性问题应注意以下几点:存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.2.存在性问题的解题步骤:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在.(3)得出结论.-12-\n变式训练4如图,椭圆C:+=1的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B1|=,=.(1)求椭圆C的方程;(2)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点,与椭圆相交于A,B两点的直线,||=1.是否存在上述直线l使·=1成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.思想渗透分类讨论思想——解析几何中含参数的问题解析几何中含参数的问题类型:(1)当直线过定点设直线方程时,应对直线分斜率存在与不存在两种情况进行讨论;(2)求有关直线与圆锥曲线交点个数问题时,对参数的讨论;(3)求有关线段长度、图形面积的最值问题时,对解析式中含有的参数进行讨论;(4)对有关二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解时注意的问题:(1)求解有关含参数的问题时应结合参数的意义,对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论,分类时应注意讨论的时机、标准、原因,做到不重不漏.(2)对参数的分类讨论,最后仍然分类写出答案;如果是对所求的字母进行分类求解,最后一般要整理得出并集.【典型例题】(2012·浙江高考,理21)如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.(1)求椭圆C的方程;(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程.解:(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得得所以椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时,直线AB的方程为x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线AB的方程为y=kx+m(m≠0),-12-\n由消去y,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,所以线段AB的中点M,因为M在直线OP上,所以=,得m=0(舍去)或k=-.此时方程①为3x2-3mx+m2-3=0,则Δ=3(12-m2)>0,所以|AB|=·|x1-x2|=·.设点P到直线AB距离为d,则d==.设△ABP的面积为S,则S=|AB|·d=·,其中m∈(-2,0)∪(0,2).令u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2,2],u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)·(m-1-)(m-1+).所以当且仅当m=1-时,u(m)取到最大值.故当且仅当m=1-时,S取到最大值.综上,所求直线l方程为3x+2y+2-2=0.1.(2012·江西八校联考,文10)设抛物线M:y2=2px(p>0)的焦点F是双曲线N:-=1(a>0,b>0)的右焦点,若M与N的公共弦AB恰好过F,则双曲线N的离心率e的值为(  ).A.B.+1C.3+D.22.(2012·河北邯郸一模,11)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,倾斜角为60°的直线l过点F且与抛物线的一个交点为A,|AF|=3,则抛物线的方程为(  ).A.y2=3xB.y2=xC.y2=x或y2=xD.y2=3x或y2=9x3.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是(  ).A.+=1B.+=1C.+=1D.+=14.(2012·山东潍坊3月模拟,13)双曲线-y2=1(a>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为__________.-12-\n5.(2012·北京丰台3月模拟,10)已知抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离是6,则点P的坐标是__________.6.(2012·山东济南3月模拟,15)过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为__________.7.(2012·山东济南3月模拟,22)已知中心在原点O,焦点F1,F2在x轴上的椭圆E经过点C(2,2),且抛物线y2=-4x的焦点为F1.(1)求椭圆E的方程;(2)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A,B两点,当以AB为直径的圆P与y轴相切时,求直线l的方程和圆P的方程.参考答案命题调研·明晰考向真题试做1.B 解析:因为A,B为左,右顶点,F1,F2为左,右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e==,故选B.2.A 解析:2c=10,c=5.∵点P(2,1)在直线y=x上,∴1=.又∵a2+b2=25,∴a2=20,b2=5.故C的方程为:-=1.3.C 解析:设|PF2|=m,则|PF1|=2m,由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,得2m-m=2,∴m=2.又2c=2=2×2=4,∴由余弦定理可得:cos∠F1PF2==.4.解:(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),得|+|=,·(+)=(x,y)·(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化简得曲线C的方程是x2=4y.(2)直线PA,PB的方程分别是y=-x-1,y=x-1,曲线C在Q处的切线l的方程是y=x-,且与y轴的交点为F,分别联立方程组解得D,E的横坐标分别是xD=,xE=,则xE-xD=2,|FP|=1-,故S△PDE=|FP|·|xE-xD|=··2=,而S△QAB=·4·=,则=2,即△QAB与△PDE的面积之比为2.精要例析·聚焦热点热点例析-12-\n【例1】C 解析:根据题意可知m>n,由于点P是椭圆上的点,据椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2.又点P在双曲线上,再据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2,将上述两式分别平方再相减得|PF1|·|PF2|=m-p.【变式训练1】(1)(2)-=1 解析:由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x得=,∴b=a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴16=a2+(a)2.∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为-=1.【例2】解:(1)设直线l的方程为y=kx+t(k>0),由题意知,t>0.由方程组得(3k2+1)x2+6ktx+3t2-3=0.由题意Δ>0,所以3k2+1>t2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得x1+x2=-.所以y1+y2=.由于E为线段AB的中点,因此xE=-,yE=,此时kOE==-.所以OE所在直线方程为y=-x.又由题设知D(-3,m),令x=-3,得m=,即mk=1.所以m2+k2≥2mk=2.当且仅当m=k=1时上式等号成立.此时由Δ>0得0<t<2.因此当m=k=1且0<t<2时,m2+k2取最小值2.(2)①证明:由(1)知OD所在直线的方程为y=-x,将其代入椭圆C的方程,并由k>0,解得G,又E,D,由距离公式及t>0得|OG|2=2+2=,-12-\n|OD|==,|OE|==,由|OG|2=|OD|·|OE|得t=k,因此直线l的方程为y=k(x+1),所以直线l过定点(-1,0).②由①得G,若B,G关于x轴对称,则B.代入y=k(x+1),整理得3k2-1=k,即6k4-7k2+1=0,解得k2=(舍去)或k2=1,所以k=1.此时B,G关于x轴对称.又由(1)得x1=0,y1=1,所以A(0,1).由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上,可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0),因此d2+1=2+,解得d=-.故△ABG的外接圆的半径为r==.所以△ABG的外接圆方程为2+y2=.【变式训练2】解:(1)∵|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,∴|AF2|+|BF2|=2|AB|.∴4a=|AF2|+|AF1|+|BF2|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AB|=3|AB|=12.∴a=3.又e==,∴c=1,b==2.所求的椭圆方程为+=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为(1,y0),由题意,知,.两式相减,得+=0,∴kMN==-=-.∴线段MN的中垂线方程为y-y0=(x-1),易证,此直线过定点.【例3】解:(1)∵=2,·=0,∴NP为AM的垂直平分线,-12-\n∴|NA|=|NM|.又∵|CN|+|NM|=2,∴|CN|+|AN|=2>2,∴点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a=2,焦距2c=2,∴a=,c=1,b2=1,∴曲线E的方程为+y2=1.(2)当直线GH的斜率存在时,设直线GH的方程为y=kx+2,代入椭圆方程+y2=1,得x2+4kx+3=0.由Δ>0得k2>.设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.又∵=λ,∴(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2),∴x1=λx2,∴x1+x2=(1+λ)x2,x1x2=λx2,∴2=x2=.∴2·2=·,整理得=.∵k2>,∴4<<.∴4<λ++2<,∴<λ<3.又∵0<λ<1,∴<λ<1.又当直线GH的斜率不存在,即其方程为x=0时,=,λ=.∴≤λ<1,即所求λ的取值范围是.【变式训练3】解:(1)点A坐标代入圆C方程,得(3-m)2+1=5.∵m<3,∴m=1.圆C:(x-1)2+y2=5.设直线PF1的斜率为k,则PF1:y=k(x-4)+4,即kx-y-4k+4=0.∵直线PF1与圆C相切,∴=.-12-\n解得k=,或k=.当k=时,直线PF1与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去;当k=时,直线PF1与x轴的交点横坐标为-4,∴c=4.∴F1(-4,0),F2(4,0).2a=AF1+AF2=5+=6,a=3,a2=18,b2=2.椭圆E的方程为+=1.(2)=(1,3),设Q(x,y),=(x-3,y-1),·=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6.∵+=1,即x2+(3y)2=18,而x2+(3y)2≥2|x|·|3y|,∴-18≤6xy≤18.则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy的取值范围是[0,36].x+3y的取值范围是[-6,6].∴·=x+3y-6的取值范围是[-12,0].【例4】解:(1)由已知条件知直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得+(kx+)2=1.整理得x2+2kx+1=0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>.即k的取值范围为∪.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2),由方程①得x1+x2=-.②又y1+y2=k(x1+x2)+2,③而A(,0),B(0,1),=(-2,1),所以+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2).将②③代入上式,解得k=.由(1)知k<-或k>,故没有符合题意的常数k.【变式训练4】解:(1)由|A1B1|=知a2+b2=7,①=知a=2c,②又b2=a2-c2,③由①②③解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为+=1.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),-12-\n假设使·=1成立的直线l存在,①当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且||=1,得=1,即m2=k2+1.∵·=1,||=1,∴·=(+)·(+)=+·+·+·=1+0+0-1=0,即x1x2+y1y2=0.将y=kx+m代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,由求根公式可得x1+x2=,④x1x2=.⑤0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2,将④⑤代入上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,⑥将m2=1+k2代入⑥并化简得-5(k2+1)=0,矛盾.即此时直线l不存在.②当l垂直于x轴时,满足||=1的直线l的方程为x=1或x=-1,当x=1时,A,B,P的坐标分别为,,(1,0),∴=,=.∴·=≠1.当x=-1时,同理可得·≠1,即此时直线l也不存在.综上可知,使·=1成立的直线l不存在.创新模拟·预测演练1.B 解析:由条件可知双曲线的半焦距e=,则|AB|==2p=4c,即c2-a2=2ac.设双曲线的离心率为e,则e2-2e-1=0,故e=+1.2.D 解析:直线l方程为y=.设A(x1,y1),则y1=.又根据抛物线定义,有x1+=3,∴x1=3-.故A.将A点坐标代入抛物线方程,并整理有:4p2-24p+27=0,∴p1=,p2=.-12-\n故抛物线方程为y2=3x或y2=9x.3.C 解析:∵c=1,故若使椭圆的离心率最大,则a最小,即在直线x-y+3=0上求一点M使|MF1|+|MF2|最小,易求点F1关于直线x-y+3=0的对称点N为(-3,2),∴|NF2|=2.∴2a=2,故所求椭圆方程是+=1.故选C.4.y=±x 解析:c2=a2+1,由==4得a=.故渐近线方程为y=±x=±x.5.(4,±4) 解析:利用抛物线定义先求出P点的横坐标.6. 解析:设垂足为M.则△OFM为等腰直角三角形,设OF中点为N,利用MN=ON=OF,列出关于a,c的关系式即可解决.7.解:(1)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),则+=1,①∵抛物线y2=-4x的焦点为F1,∴c=.②又a2=b2+c2,③由①②③得a2=12,b2=6.∴椭圆E的方程为+=1.(2)依题意,直线OC斜率为1,由此设直线l的方程为y=-x+m,代入椭圆E的方程,得3x2-4mx+2m2-12=0.由Δ=16m2-12(2m2-12)=8(18-m2)>0,得m2<18.A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.圆P的圆心为,半径r=|x1-x2|=.当圆P与y轴相切时,r=,则2x1x2=,即=,m2=9<18,m=±3.当m=3时,直线l方程为y=-x+3,此时,x1+x2=4,圆心为(2,1),半径为2,圆P的方程为(x-2)2+(y-1)2=4;同理,当m=-3时,直线l方程为y=-x-3,圆P的方程为(x+2)2+(y+1)2=4.-12-

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发布时间:2022-08-25 21:49:17 页数:12
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文章作者:U-336598

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