高考数学 易错点点睛与高考突破 专题07 不等式

2013年高考数学易错点点睛与高考突破专题07不等式1.一元二次不等式是最常见的不等式，其解集取决于它作为方程的两个根，因此首先要判断方程是否有根，也就是要判断其判别式的正负．在解不等式前还应把它化成二次项系数为正值的情况，在这种情况下写出的解集不易出错．2．与一元二次不等式有关的恒成立问题一般要与二次函数的图象联系起来进行求解．通常需要考虑的是：二次函数的开口方向，判别式与0的大小关系等．有区间限制的恒成立问题还需要考虑区间端点的取值与对称轴的取值等．3．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．即x<x1或x>x2⇔(x－x1)(x－x2)>0(x1<x2)；x1<x<x2⇔(x－x1)(x－x2)<0(x1<x2)．4．解分式不等式首先要把不等式的一端通过移项等变换化成一端为0的情况，再转换为整式不等式来解．需要注意含有等号的分式不等式的变换：≥0⇔f(x)·g(x)>0或f(x)＝0；≤0⇔f(x)·g(x)<0或f(x)＝0.5．简单的一元高次不等式采用标根法(或叫标区间法、穿根法)求解，其一般步骤为：(1)将f(x)的最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．6．当高次不等式在进行因式分解出现有些因式是幂指数形式即m(x－x1)a1(x－x2)a2…(x－xn)an>0(或<0)时，我们在标根时需要看幂值的奇、偶．当幂值为奇数时，我们仍然按1次幂进行穿轴，当幂值是偶数时，不穿轴，故得口诀“奇穿偶不穿”．7．线性规划实质上是数形结合思想的一种具体体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来．它还是一种较为简捷的求最值的方法，具体步骤如下：(1)根据题意设出变量，建立目标函数；(2)列出约束条件；(3)借助图形确定函数最值的取值位置，并求出最值；(4)从实际问题的角度审查最值，进而作答．8．几个重要不等式48\n(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．(2)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(3)≥(a，b∈R＋)．(4)ab≤2(a，b∈R＋)．(5)≥≥≥(a，b∈R＋)．9．利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最大值、最小值(1)已知x，y∈R＋，如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)已知x，y∈R＋，如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值s2.10．函数y＝ax＋(a>0，b>0)的性质(1)y＝ax＋(a，b∈R＋)在(－∞，－]和[，＋∞)上为增函数，在[－，0)和(0,]上为减函数．(2)求函数y＝ax＋(a，b∈R＋，x∈(0，c])的最小值时应注意：①若c≥，则当且仅当x＝时，y有最小值2；②若c<，则当且仅当x＝c时，y有最小值ac＋.11．不等式的证明基础(1)不等式定义：a－b>0⇔a>b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a<b.(2)不等式的基本性质．(3)基本不等式①a2≥0，(a－b)2≥0，|a|≥0.②均值不等式：≥(a，b∈R＋)．48\n③几个常用不等式：a＋≥2(a>0，当a＝1时等号成立).2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．|a＋b|≤|a|＋|b|(ab≥0时等号成立)．|a－b|≤|a|＋|b|(ab≤0时等号成立)．12．不等式的应用主要涉及以下三个方面：(1)建立函数关系，利用均值不等式求最值．根据题设条件建立函数关系式，并创建均值不等式的应用背景．在应用均值不等式求最值时要注意的是“一正、二定、三等”，即求和(积)的最小值(最大值)时，必须使其积(和)为定值，并且要注意各项是否为正，等号成立的条件是否满足(即各项是否能相等)．【难点突破】难点1不等式的概念与性质1．下列命题正确的是()2．已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,则下列各式中正确的是()【解析】利用两角和与差的公式化简b、a、然后再比较大小.【答案】B难点2不等式的解法1．关于x的不等式x|x-a|≥2a2(a∈(-∞,0)的解集为()A.[-a,+∞]B.[a,+∞]48\nC.[2a,a]∪[-a+∞]D.(-∞,a)3．函数则使g(x)≥f(x)的x的取值范围是48\n难点3不等式的证明1．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：(1)对于任意x∈[0,1]总有f(x)≥0;(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+xz≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(Ⅰ)试求f(0)的值；(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值；(Ⅲ)试证明：当x∈【解析】(1)赋值法；(2)变形f(x2)=f[(x2-x1)+x1],即可求函数f(x)的最大值；【答案】(Ⅰ)令得f(0)≥0,∴f(0)=0.(Ⅱ)任取(Ⅲ)设y=f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)成立，数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=(1)判断y=f(x)是否为单调函数，并说明理由；(2)48\n(3)若不等式【解析】(1)利用函数的单调性证明;(2)裂项法求出Tn再解不等式；(3)利用函数的单调性求k的最大值.【答案】(1)设(3)由难点4不等式的工具性1．若直线2ax-by+2=0(a、b>0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是()A.4B.2C.D.【解析】利用重要不等式求最小值。【答案】A直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2),∴a+b=1,2.已知函数f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数a有一个最大的正数l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5恒成立，则l(a)的最大值是()48\n【解析】考虑区间[0，l(a)]的端点处不等式|f(x)|≤5恒成立.3.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存实数m,使f(m)=-a.试推断f(x)在区间[0，+∞]上是否为单调函数，并说明你的理由；设g(x)=f(x)+bx,对于x1，x2∈R,且x1≠x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围；求证：f(m+3)>0.(2)据题意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的两实根.=48\n(3)∵f(1)=0.设f(x)=a(x-1)(x-)难点5不等式的实际应用某机关在“精简人员”中，对部分人员实行分流，规定分流人员在第一年可到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体，该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增50%，若某人在分流前工资收入每年为a元，分流后第n年总收入为an元.(1)求an;(2)当【解析】建立数学模型，求出an,再运用重要不等式求an的最小值，解不等式.【答案】(1)(2)(3)【高考预测】预测一　含参数不等式48\n【例1】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．[分析]　对a分为三种情况讨论(1)a＝0；(2)a<0；(3)a>0.在各自的情况下写出x的解集．→→【探究1】　解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1>0.分析：这个不等式左端的二次三项式的二次项系数为正，其对应方程的判别式为Δ48\n＝4(m2－m－1)，这个判别式的符号不确定，我们就要根据这个判别式与0的大小关系确定不等式的解．程的判别式是确定这个不等式解的情况的一把标尺，是进行分类讨论的标准．类型二　三个二次的综合问题【例2】　(天津)设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.(1)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在x∈[－1,1]上恒成立，求b的取值范围．48\n，在a∈[－2,2]上恒成立，所以b≤－4，因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4]．点评：三个二次(一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数)问题是高考的重点内容．通过上述试题可以看到由于导数的出现，三个二次问题在函数求导后被隐性考查，因此要把相关数学语言(如存在极值)转化为二次函数的语言．希望同学们悉心掌握与函数有关的三个二次的相关知识，如含参不等式的解法(求三次函数的单调区间)、一元二次函数方程根的分布(不等式恒成立)、二次方程根(极值的存在性)的探讨等．48\n【探究2】　设函数f(x)＝x3－x2＋(a＋1)x＋1，其中a为实数．(1)已知函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)已知不等式f′(x)>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，求实数x的取值范围．类型三　简单的线性规划问题【例3】　制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问此人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解析】由题的条件列出约束条件，即关于x，y的不等式组，另外准确找出不等式组表示的区域是解题的关键．48\n综上，投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．点评；线性规划是直线方程的又一应用，线性规划中的可行域，就是二元一次不等式(组)表示的平面区域．求线性目标函数z＝ax＋by的最大值或最小值时，作出一组与直线ax＋by48\n＝0平行的直线ax＋by＝z，结合的意义在可行域内确定最优解．【探究3】　在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．答案：(－∞，－1)点评：一条直线Ax＋By＋C＝0把平面分为两个半平面，在每个半平面内的点(x，y)使Ax＋By＋C的值的符号一致，判断Ax＋By＋C的符号可以采用特殊点等．在解决平面区域问题时要结合直线的各种情况进行分析，不要凭直觉进行解答，如本题看似简单，实际上在考试中真正做对并不容易，两条定直线构成一个三角形区域，但对于那条动直线，当斜率为正和为负时，是很容易弄错的．类型四　利用基本不等式证明不等式【例4】　若定义在区间D上的函数y＝f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式[f(x1)＋f(x2)]≥f成立，则称函数y＝f(x)为区间D48\n上的“凹函数”．已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，试证明当a≤0时，f(x)为“凹函数”．类型五　不等式的应用问题【例5】　某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过am．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？48\n点评：本题的难点在于利用基本不等式时，在a<4时等号不成立．对这类定义域有限制的函数求解最值，在使用基本不等式时要根据等号成立和不成立进行分类解决.【易错点点睛】易错点1不等式的概念与性质1．如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A．ab>acB．c(b-a)>0C．cb2<ab2D．dc(a-c)<0【错误解答】A∵b>c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符号．【易错点点睛】由d>b>c，且ac<0．则。与c必异号，又由a>c，故a>0，c<0，条件分析不透．48\n3．对于0<a<1，给出下列四个不等式①loga(1+o)<loga(1+)②1oga(1+o)>loga(1+)③a1+a<a④a1+a>a其中成立的是()A.①与③B．①与④C.②与③D．②与④【错误解答】B∵1+a<1+，故1oga(1+a)<loga(1+)．【易错点点睛】对数函数比较大小要考虑底数a的范围，它与指数函数一样．【正确解答】D∵0<a<1．∴a<1<∴1+a<1+而y=1ogax与y=ax均为减函数．∴1oga(1+a)>1oga(1+)，a1+a>a．48\n4．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个【变式训练】1若，|a|>，|b|>0，且ab>0，则下列不等式中能成立的是()A．B．C．D．答案：C解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，∵|a|，|b|>0，又0<<1，∴10g|a|<log|b|，由此也可直接得结论，应选C2已知a、b为不等正数，s<t<0，M=，N=，则M、N的大小关系是_________.48\n2．设x∈(0，π)，则函数f(x)=sinx+的最小值是()A．4B．5C．3D．6【错误解答】因为x∈(0，π)，所以sinx>0，>0，f(x)=sinx+=4，因此f(x)的最小值是4．故选A48\n时取“=”.【特别提醒】利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等”.尤其是等号成立的条件,必须验48\n3.答案：解析：∵x2(1-3x)=x·x·(-2x)≤，当且仅当x=-2x，即x=时，取得最大值48\n易错点3不等式的证明1.设函数(Ⅰ)证明:当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>1;(Ⅱ)点P(xo,yo)(0<xo<1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用xo表示).48\n2．已知48\n求证：(2)【错解分析】在运用二次函数的性质证明不等式时，忽视了a>0与a<0两种情况的讨论。【正确解答】(1)同错解(1)48\n(2)由=综上所述不等式成立【特别提醒】证明不等式，要掌握不等式的证明基本方法，如分析法、综合法、放缩法、函数法、反证法、换元法等.对不等式与数列、函数方和程、导数等内容的综合证明题，难度较大，要结合性质与不等式的基本证明方法相结合，灵活解题，也体现了不等式的工具性，是高考命题的趋势。【变式训练】1．已知函数(1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；答案：解析：(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c，由题意得，1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根(2)若f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上单调递增且在(x1,x2)上单调递减，又满足x2-x1>1.求证：b2>2(b+2c)；答案：由题意得，当x∈(-∞，x1)∪(x2，+∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时f′，(x)<0，∴x1，x2是方程f′，(x)=x2+(b-1)x+c的两根，则x1+x2=1-b，x1x2=c，∴b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=(b-1)2-4c-148\n试比较xn与2的大小关系；设答案：当n≥2时，xn+1，-2=-2==-，则xn>0，∴xn+1-2与xn-2符号相反，而x1=1<2，则x2>2，以此类推有：x2n-1<2，x2n>2；(3)易错点4不等式的解法1．在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)48\n⊗(x+a)<1对任意实数x成立，则a的范围是()【错解分析】(2)问中两边约去(2-x),并不知2-x的符号.【正确解答】(1)同错解中(1)当1<k<2,解集为x∈(1,k)∪(2,+∞);当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)>0解集为x∈(1,2)∪(2,+∞);48\n③当k>2时，解集为x∈(1,2)∪(k,+∞).3.设函数f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2)试求不等式的log的解集。            ①  ②③48\n48\n【变式训练】1关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式的解集是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(1,2)D(-∞,1)∪(2,+∞)易错点5不等式的综合应用48\n1．已知函数f(x)=ax-(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)设0<a48\n由①②得a=1.(Ⅱ)证法一：当可知，对任何n∈N成立。证法三：由①②知当n=k+1时，不等式48\n2.六·一节日期间，某商场儿童柜台打出广告：儿童商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：（如表所示）消费金额（元）[200，400][400,500][500,700][700,900]…获奖券的金额（元）3060100130…依据上述方法，顾客可以获得双重优惠.试问：若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？对于标价在[500，800]内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？②解不等式①无解，②得：625≤x≤750.【特别提醒】1．应用不等式的性质与几个重要不等式求出数的最值，比较大小，讨论参数的范围等，一定要注意成立的条件，易忽视“一正、二定、三等。”48\n2．运用不等式解决实际问题时，首先将实际问题转化为函数的最值问题，从而运用不等式求最值，注意成立时的实际条件与不等式成立条件应同时考虑。【变式训练】答案：D解析：∵1<<，由倒数法则0<b<a<1．∵logab>logtba=1，∴0<logba<1，∴A、B、C都不正确、而|logab|+|logba|>|logab+logba|．故选D．2已知不等式x2-2x+a>0时，任意实数x恒成立，则不等式a2x+1<ax2+2x-3<1的解集是()A.(1,2)B.C.(-2,2)D.(-3,-2)48\n2.关于的不等式的解为或，则点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限48\n原点对称，即函数为奇函数，由得A.50B.60C.70D.10048\n5.已知向量==,若，则的最小值为A．B．C．D．48\n7.设x、y满足则A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最大值D．既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】做出可行域如图（阴影部分）。由得，做直线，平移直线由图可知当直线经过点C（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小为2，没有最大值，选B.48\n48\n得。做直线，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，所以最大值，选C.48\n11、实数对（x，y）满足不等式组则目标函数z=kx－y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是（）A．B．C．D．48\n14、已知的最小值是5，则z的最大值是______.【答案】1048\n48\n【答案】【解析】由得要使解集中只有一个整数，则由可知，不等式的解为，且48\n数单调递减，要使不等式恒成立，则有，解得。当，左边的最48\n22、若变量x、y满足，若的最大值为，则【答案】【解析】令，则，因为的最大值为，所以，48\n∴a>-31分24、已知是三次函数的两个极值点，且48\n48