高考数学总复习 1-3充分条件与必要条件 新人教B版

1-3充分条件与必要条件基础巩固强化1.(文)(2011·湖南高考)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　)A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案]　A[解析]　显然a＝1时一定有N⊆M，反之则不一定成立，如a＝－1.故是充分不必要条件．[点评]　若N⊆M，则应有a2＝1或a2＝2，∴a∈{－1,1，，－}，由于{1}{－1,1，，－}，∴应选A.(理)(2011·太原模考)“α≠β”是“sinα≠sinβ”的(　　)A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　B[解析]　命题“若α≠β，则sinα≠sinβ”等价于命题“若sinα＝sinβ，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；命题“若sinα≠sinβ，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B.2．(文)(2011·辽宁六校模考)“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　A[解析]　因为x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1，所以x>2⇒x2－3x＋2>0；但x2－3x＋2>0⇒/x>2，故“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，选A.(理)(2011·山西六校联考)“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的(　　)A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]　A[解析]　∵当a＝1时，f(x)＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，∴a＝1⇒f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增，而由f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增可得a>0，∴“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件，故选A.3．下列命题中的假命题是(　　)A．∀x>0且x≠1，都有x＋>210\nB．∀a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点(1,0)C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数D．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数[答案]　D[解析]　∵x＋≥2等号在x＝1时成立，∴A真；将x＝1，y＝0代入直线方程ax＋y＝a中成立，∴B真；令m－1＝1得m＝2，此时f(x)＝x－1是幂函数，故C真；当φ＝时，f(x)＝sin＝cos2x为偶函数，故D假．4．(2012·浙江调研)在△ABC中，“A＝60°”是“cosA＝”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　C[解析]　在△ABC中，若A＝60°，则cosA＝；反过来，若cosA＝，因为0°<A<180°，所以A＝60°.因此，在△ABC中，“A＝60°”是“cosA＝”的充要条件，选C.5．(2012·北京西城区期末)“直线l的方程为x－y＝0”是“直线l平分圆x2＋y2＝1的周长”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]　A[解析]　若直线l的方程为x－y＝0，则直线l一定平分圆x2＋y2＝1的周长；但要平分圆x2＋y2＝1的周长，只需要经过圆心(原点)任意作一条直线即可，即“直线l的方程为x－y＝0”是“直线l平分圆x2＋y2＝1的周长”的充分而不必要条件．故选A.6．(文)(2011·杭州二检)已知α、β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则“α⊥β”是“m⊥β”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　B10\n[解析]　⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l，当m∥l时，m与β不垂直，故选B.(理)(2011·浙江五校联考)已知不重合的直线a、b和不重合的平面α、β，a⊥α，b⊥β，则“a⊥b”是“α⊥β”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　C[解析]　∵∴a∥β或a⊂β，∵a⊥α，∴α⊥β；反之，由α⊥β也可以推出a⊥b，故选C.7．有下列命题：①设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；②命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M；③若p∧q是假命题，则p、q都是假命题；④命题P：“∃x0∈R，x－x0－1>0”的否定綈P：“∀x∈R，x2－x－1≤0”其中真命题的序号是________．[答案]　②④[解析]　∵NM，∴a∈M是a∈N的必要不充分条件，∴①为假命题；逆否命题是将原命题的条件和结论都否定后分别作为新命题的结论与条件，a∈M否定后a∉M为结论，b∉M否定后b∈M为条件，故②为真命题；p∧q为假命题时，p、q至少有一个为假命题，不一定“p、q都是假命题”，故③为假命题；特称命题的否定为全称命题，>的否定为≤，故④为真命题．8．a＝－是函数f(x)＝ax3＋4x＋1在(－∞，－2]上单调递减的________条件．(填充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要)[答案]　充分不必要[解析]　a＝－时，若x≤－2，则f′(x)＝－x2＋4≤0，∴f(x)在(－∞，－2]上单调递减．若f(x)在(－∞，－2]上单调递减，∵f′(x)＝3ax2＋4，∴3ax2＋4≤0，在(－∞，－2]上恒成立，即a≤－恒成立，∴a≤－.故填充分不必要．10\n9．(2012·浙江绍兴模拟)“－3<a<1”是“方程＋＝1表示椭圆”的________条件．[答案]　必要不充分[解析]　方程表示椭圆时，应有解得－3<a<1且a≠－1，故“－3<a<1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．10．(文)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．[解析]　由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.∴綈p：x<1或x>5.q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x<m－1或x>m＋1.又∵綈p是綈q的充分不必要条件，∴且等号不同时取得．∴2≤m≤4.(理)已知函数f(x)是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解析]　(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．用反证法证明：设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∵f(x)是R上的增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设矛盾，所以逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，为真命题．由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，又∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，∴原命题真，故逆否命题为真.能力拓展提升11.(2011·宁夏三市联考)设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”10\n成立的充分不必要条件是(　　)A．x＋y＝2B．x＋y>2C．x2＋y2>2D．xy>1[答案]　B[解析]　命题“x、y中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”．若x＋y>2，必有x>1或y>1，否则x＋y≤2；而当x＝2，y＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x＋y>2.对于x＋y＝2，当x＝1，且y＝1时，满足x＋y＝2，不能推出x>1或y>1.对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，不能推出x>1或y>1.对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1.故选B.12．(2012·衡阳六校联考)已知a、b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]　C[解析]　依题意得f(x)＝a2x2＋2(a·b)x＋b2.由函数f(x)是偶函数，得a·b＝0，又a、b为非零向量，所以a⊥b；反过来，由a⊥b得，a·b＝0，f(x)＝a2x2＋b2，所以函数f(x)是偶函数．综上所述，“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，选C.13．(文)(2011·海南五校联考)下列说法错误的是(　　)A．“sinθ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”C．若命题p：∃x∈R，x2－x＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2－x＋1≥0D．如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题[答案]　A[解析]　∵sinθ＝⇒θ＝k·360°＋30°，反之当θ＝30°时，sinθ＝，∴“sinθ＝”是“θ＝30°”的必要不充分条件．故选A.(理)(2011·成都二诊)已知函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　A[解析]　当c＝－1时，函数f(x)＝易知函数f(x)在(－∞，1)、(1，＋∞)上分别是增函数，且注意到log21＝1－1＝0，此时函数f(x)在R上是增函数；反过来，当函数f(x10\n)在R上是增函数时，不能得出c＝－1，如c＝－2，此时也能满足函数f(x)在R上是增函数．综上所述，“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件，选A.14．(文)给出下列命题：①“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．②对于数列{an}，“an＋1>|an|，n＝1,2，…”是{an}为递增数列的充分不必要条件．③已知a、b为平面上两个不共线的向量，p：|a＋2b|＝|a－2b|；q：a⊥b，则p是q的必要不充分条件．④“m>n”是“()m<()n”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．[答案]　①②[解析]　①∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1化为＋＝1，故表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；②对任意自然数n，an＋1>|an|≥0，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列；当取an＝n－4时，则{an}为递增数列，但an＋1>|an|不一定成立，如a2>|a1|就不成立．∴②是真命题；③由于|a＋2b|＝|a－2b|⇔(a＋2b)2＝(a－2b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，因此p是q的充要条件，∴③是假命题；④∵y＝x是减函数，∴当m>n时，m<n，反之，当()m<n时，有m>n，因此m>n⇔m<n，故④是假命题．(理)(2011·济南三模)设p：q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要条件，则r的取值范围是________．[答案]　(0，)[解析]　设A＝{(x，y)|}，B＝{(x，y)|x2＋y2>r2，x，y∈R，r>0}，10\n则集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心，以r为半径的圆的外部，设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，则d＝＝，∵p是q的充分不必要条件，∴AB，则0<r<.15．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．[解析]　∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，∴解得m∈[－，1]．∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴∴m为4的约数．又∵m∈[－，1]，∴m＝－1或1.当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；而当m＝1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.1．(2012·重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　)A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件[答案]　D[解析]　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,1]上为增函数，∴f(x)在[－1,0]上为减函数，∴当3≤x≤4时，－1≤x－4≤0，∴当x∈[3,4]时，f(x)是减函数，反之也成立，故选D.[点评]　本题运用数形结合的方法更容易求解．2．(2012·浙江省温州八校联考)已知f(x)＝2x＋3(x∈R)，若|f(x)－1|<a的必要条件是|x＋1|<b(a，b>0)，则a、b之间的关系是(　　)10\nA．b≥B．b<C．a≤D．a>[答案]　A[解析]　由|f(x)－1|＝|2x＋2|＝2|x＋1|<a得，|x＋1|<，由题意知≤b，故选A.3．(2012·沈阳市模拟)设a、b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”是(　　)A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件[答案]　C[解析]　l⊥α⇒l⊥a，l⊥b；⇒/l⊥α，因为a与b可能平行．4．(2011·杭州质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S12>0是S9≥S3的(　　)A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　A[解析]　解法1：将它们等价转化为a1和d的关系式．S12>0⇒12a1＋>0⇒2a1＋11d>0；S9≥S3⇒9a1＋≥3a1＋⇒2a1＋11d≥0.故选A.解法2：S12>0⇒>0⇒a1＋a12>0.S9≥S3⇒a4＋a5＋…＋a9≥0⇒3(a1＋a12)≥0.故选A.5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　A[解析]　由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．10\n6．已知命题p：|x＋2|>1，命题q：x<a，且綈q是綈p的必要不充分条件，则a的取值范围可以是(　　)A．a≥3B．a≤－3C．a<－3D．a>3[答案]　B[解析]　命题p：x<－3或x>－1，则綈p：－3≤x≤－1，綈q：x≥a，由题意有綈p⇒綈q，綈q⇒/綈p，则a≤－3.7．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　B[解析]　对任意自然数n，an＋1>|an|≥0，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列；当取an＝n－4时，则{an}为递增数列，但an＋1>|an|不一定成立，如a2>|a1|就不成立．8．“m>0>n”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　C[解析]　当m>0，n<0时，方程mx2＋nx2＝1，化为－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，若方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则应有m>0，n<0，故选C.9．(2011·通化模拟)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的充分不必要条件是(　　)A．－3<m<1B．－4<m<2C．0<m<1D．m<1[答案]　C[解析]　联立方程得，得x2＋(x＋m)2－2x－1＝0，即2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，直线与圆有两个不同交点的充要条件为Δ＝(2m－2)2－4×2(m2－1)>0，解得－3<m<1，只有C选项符合要求．[点评]　直线与圆有两个不同交点⇔－3<m<1，故其充分不必要条件应是(－3,1)的真子集．10．(2011·福建质检)已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)(a10\n＋i)在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　C[解析]　注意到z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i在复平面内对应的点为M(a＋2,1－2a)．当a>时，有a＋2>0,1－2a<0，故点M在第四象限；反过来，当点M在第四象限时，有a＋2>0且1－2a<0，由此解得a>.所以“a>”是“点M在第四象限”的充要条件，故选C.10