（新课标）2023高考数学 三轮必考热点集中营 热点17数列的基本运算大题（教师版）

（新课标）2013高考数学三轮必考热点集中营热点17数列的基本运算大题（教师版）【三年真题重温】1.【2012新课标全国理】已知为等比数列，，，则（）A、7B、5C、-5D、-72.【2012新课标全国文】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______3.【2012新课标全国理】数列满足，则的前项和为4.【2012新课标全国文】数列{an}满足an+1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为（A）3690（B）3660（C）1845（D）183030\n答案：D5.【2011新课标全国理，17】等比数列的各项均为正数，且，．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设…，求数列的前项和．30\n6.【2011新课标全国文，17】已知等比数列中，，公比．(Ⅰ)为的前项和，证明：；(Ⅱ)设，求数列的通项公式．7.【2010新课标全国理，17】设数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和30\n8.【2010新课标全国文，17】设等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值.所以时,取得最大值.……12分【命题意图猜想】30\n1.新课标高考对数列的考查降低了要求，通过两年的高考试题也可以发现，试题的位置均为第一大题，试题难度中下，主要以等差数列等比数列为背景考查数列的通项公式和数列求和问题，不在考查递推数列问题.2011年理科数列求和考查了裂项相消法，2010年考查了错位相减法，2012年考查了两道题，一道是考查了等比数列的性质，另外一道考查了数列求和问题，变成了一道小题，考查递推数列问题，利用分组求和法求解，试题难度较大.猜想2013年以等差数列或等比数列为背景，考查倒序相加法或者错位相减法，理科可能与不等式恒成立巧妙联系，文科试题难度中档，应该比2012的数列求和问题降低难度。应该设置一道解答题.2.通过对近几年高考试题的统计分析不难发现，等差数列作为最基本的数列模型之一，一直是高考重点考查的对象．难度属中低档的题目较多，但也有难度偏大的题目．其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．预测2013年高考仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．3.从近几年的高考试题来看，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法．预测2013年高考，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式仍将是考查的重点，特别是等比数列的性质更要引起重视．【最新考纲解读】1．数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数．2．等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念．(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．【回归课本整合】1.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法或.（2）等差数列的通项：或.（3）等差数列的前和：，.30\n（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且.2.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列.（3）当时,则有，特别地，当时，则有.(4)若、是等差数列，则、(、是非零常数)、、，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；.（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？3.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或.（2）等比数列的通项：或.（3）等比数列的前和：当时，；当时，..30\n特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解.（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个.4.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.(2)若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列，…也是等比数列.当，且为偶数时，数列，…是常数数列0，它不是等比数列.(3)若，则为递增数列；若,则为递减数列；若，则为递减数列；若,则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.(4)当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列.(5)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.5.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知（即）求，用作差法：.⑶已知求，用作商法：.⑷若求用累加法：.30\n⑸已知求，用累乘法：.⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求.如(21)已知，求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解.6.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①；②；③，；（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.【方法技巧提炼】1.等差数列的判断与证明的方法(1)利用定义：或，其中为常数；(2)利用等差中项：；(3)利用通项公式：；(4)利用前项公式：.注意证明等差数列的方法必须用定义法或等差中项的方法去证明；在选择题和填空题中，可根据题设条件恰当的选择任意一种方法.有时还可以利用“归纳----猜想----证明”的方法去打开解题思路.如果证明数列不是等差数列，可采用举反例的方法，如证明.30\n2.等差数列前项和的最值问题对于等差数列前项和的最值问题，取决于首项和公差的正负即：，时，有最大值；，时，有最小值.常用下面两个方法去解决：(1)若已知，可用二次函数最值的求法（）；(2)若已知，则最值时的值（）可如下确定或.3.如何判断和证明数列是等比数列判断和证明是等比数列常用以下几个方法：（1）利用定义：或（为非零常数）；（2）利用等比中项：；（3）利用通项公式：（）；（4）利用求和公式：（，，）.注意证明数列为等比数列只能用定义和等比中项去证明，但是在选择题或填空题中可以用任何一种方法.4.利用等比数列求和公式注意的问题在利用等比数列前n项和公式求和时，如果公比未知，且需要利用求和公式列方程时，一定要对公比分两种情况进行讨论.5.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法“特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.特征一：，数列的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”.特征二：，数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.特征三：，数列的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”.特征四：，数列30\n的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.6.利用转化，解决递推公式为与的关系式.数列{}的前项和与通项的关系：.通过纽带：，根据题目求解特点，消掉一个.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉，利用已知递推式，把n换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉，只需把带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式成立的条件7.由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为个式子，不要误认为个.(2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p，q均为常数，）.把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.【考场经验分享】30\n1．数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．2．由Sn求an时，an＝，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式．3．如果p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as，一般地，ap＋aq≠ap＋q，必须是两项相加，当然可以是ap－t＋ap＋t＝2ap．4．等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d＝0.5．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．6．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．7．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.8.因试题难度和位置的调整，数列问题已经变为同学们得全分的题目，故需值得花费时间和精力去攻克.在考试过程中，计算出错极易出现，故不论求通项公式还是数列求和问题均可以利用n=1,2进行验证，此法切记！【新题预测演练】1.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】已知等差数列满足，，则前n项和取最大值时，n的值为A.20B.21C.22D.23【答案】B2.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】已知数列是等差数列，且，则的值为（）A．　B．　C．　D．30\n3.【上海市奉贤2013届高三一模】已知Sn是等差数列{an}(nÎN*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题，假命题的是()(A)公差d<0(B)在所有Sn<0中，S13最大(C)满足Sn>0的n的个数有11个(D)a6>a74.【惠州市2013届高三第三次调研考试】数列{}中，，则数列{}前项和等于（）A．76B．78C．80D．82【答案】B5.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】已知等比数列公比为q，其前n项和为，若成等差数列，则等于（）A.B.1C.或1D.30\n6.【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】在正项等比数列中，已知，，，则A.11B.12C.14D.167.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】在正项等比数列中，和为方程的两根，则(　)(A)16(B)32(C)64(D)2568.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若数列的通项为，则其前项和为（）A．B．C．D．30\n9.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为【答案】D30\n10.【广东省惠州市2013届高三第三次调研考试】数列{}中，，则数列{}前项和等于（）A．76B．78C．80D．8211.【2013年浙江省高考测试卷】设数列（）A．若，则为等比数列B．若，则为等比数列C．若，则为等比数列D．若，则为等比数列30\n12.【上海市青浦2013届高三一模】已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值……………………（）.恒为正数恒为负数.恒为0.可正可负13.【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】设数列满足，(n∈N﹡)，且，则数列的通项公式为.30\n14.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】在等比数列中，，则公比，15.【2012年秋湖北省部分重点中学期中联考】设｛an｝是集合｛2s＋2t|0≤s＜t，且s，t∈Z｝中所有的数从小到大排列成的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12……，将数列｛an｝中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：35691012………………则第四行四个数分别为；且a2012＝（用2s＋2t形式表示）．30\n16.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】已知数列满足.定义：使乘积…为正整数的叫做“简易数”.则在内所有“简易数”的和为.17.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分12分）已知数列的前n项和Sn满足30\n（1）求数列的前三项a1，a2，a3；（2）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式。源网所以……12分18.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】（本小题共13分）已知为等比数列，其前项和为，且.（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.30\n19.【山东省潍坊市2013届高三3月第一次模拟考试】（本小题满分12分）已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数构成等差数列,是的前n项和，且(I)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值；(Ⅱ)设，求．30\n20.【陕西省宝鸡市2013届高三3月份第二次模拟考试】（本小题满分12分）已知在公比不等于1的等比数列中，成等差数列。（1）求证：成等差数列；（2）若，数列的前项和为，求证：30\n21.【2013安徽省省级示范高中名校高三联考】（本小题满分13分）在数列｛｝中,al=l,a2=4,且已知函数，在x=1时取得极值．（I）求数列｛｝的通项公式；（II）符号［x］表示不超过实数x的最大整数，记，为数列｛｝的前n项和，求。30\n22.【广州市2013届高三年级1月调研测试】（本小题满分14分）在数和之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记为,令,N.(1)求数列的前项和；(2)求.（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）30\n30\n23.【浙江省丽水市2012年高考第一次模拟测试】在等比数列中，已知，公比，等差数列满足.30\n（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前n项和.所以，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14分24.【河北省唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试】已知等比数列{an}满足(I)求{an}的通项公式；30\n(II)设，求数列的前n项的和.25.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】(本题满分13分）已知数列的前项和为，且，数列满足，且点在直线上．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）设，求数列的前项和．30\n26.【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】数列的前项和是，且.⑴求数列的通项公式；⑵记，数列的前项和为，证明：.【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧.30\n27.【江西师大附中、临川一中2013届高三12月联考试卷】（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列满足,且,其中.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足,是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.(3)令,记数列的前项和为,其中,证明：.30\n30