（新课标）2023高考数学 三轮必考热点集中营（13）（教师版）

（新课标）2013高考数学三轮必考热点集中营（13）（教师版）2.【2010新课标全国理，8】设偶函数满足，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】命题意图：本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力.当时，则，由偶函数满足可得，，则，令，可解得.应选B.另解：由偶函数满足可得，则，要使，只需解得.应选B.3.【2010新课标全国文,7】设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x0），则=（A）（B）21\n（C）（D）【答案】B【解析】本题考查函数性质和解不等式.因函数为偶函数，【命题意图猜想】1.关于不等式在小题中的考查，一般可分三个主要方面，一是不等式的解法，二是线性规划，三是基本不等式.在2011年高考中考查了线性规划，在2010年高考中考查了解不等式，在2012年理科考查了线性规划，难度较低，但是文科没有考查，但是考查了一道不等式，以指数和对数为载体，难度较大，放在11题的位置.因近三年均没有考查均值不等式，故猜想在2013年高考中很可能出现以其它章节的知识为载体考查基本不等式的应用.2.从近几年高考试题分析，不等式的解法是每年高考的必考内容，特别是一元二次不等式，它与一元二次方程、二次函数相联系，三者构成一个统一的整体，贯穿于高中数学的始终．解不等式的题目，有时会单独出现在选择题或填空题中，以求定义域或考查集合间关系或直接求解不等式的形式出现，难度不大，属于中低档题，有时会与函数、三角、解析几何、向量等知识相交汇，作为解题工具出现在解答题中．预测2013年高考，不等式仍将与其他知识交汇进行考查，重点考查学生的计算能力．21\n3.从近几年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档题．主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．预测2013年高考仍将以目标函数的最值、线性规划的综合运用为主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．4.通过对近几年高考试题的统计和分析可以发现，若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆、添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升．对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题．预测2013年高考仍将以求函数的最值为主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力．【最新考纲解读】1．一元二次不等式(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．2.二元一次不等式组与简单线性规划问题①从实际情境中抽象出二元一次不等式组．②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．3．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【回归课本整合】1.一元二次不等式的解法（1）或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象.(2)一元二次函数、方程、不等式的的关系：二次函数，与相应的方程，不等式有如下关系：(解二次不等式的依据)二次函数（）的图象x1x2xyx1=x2xy0_oy_x21\n一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R2.线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型：与直线的截距相关联.若b>0，当的最值情况和z的一致；若b<0，当的最值情况和z的相反；（2）斜率型：（3）点点距离型：表示到两点距离的平方；（4）点线距离型：表示到直线的距离的倍.3.均值不等式：（1）如果a,b是正数，那么≥（当且仅当a=b时取“=”号）.即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.均值不等式的几何含义：圆的半径不小于半弦.均值不等式的两个定理：已知都是正数，则有①若积是定值，则当时和有最小值；②若和是定值，则当时积有最大值.（2）均值不等式的变形式：21\n①(当且仅当时取“=”号);②(当且仅当时取“=”号)。（3）利用均值不等式求最值满足条件：一正、二定、三相等.“一正”即必须各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和最小，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，这是容易出错的地方。注意：（1）若多次利用均值不等式求解一个式子的最值时，需验证每次等号成立的条件必须相同；（2）若等号成立不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值.【方法技巧提炼】1.如何确定含参二次不等式的分类标准含参数的二次不等式的解法常常设计到参数的讨论问题，如何选择讨论标准，始终是学生不易掌握的课题.实际上，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解.分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图像的开口方向；分类标准三：对判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：讨论两根差的正负，目的是比较根的大小.2.如何把握逆向不等式解法在众多的解不等式问题中，有一类题目先告诉不等式的解集，以此为支点，再考察不等式中的参数问题。使得问题比较新颖，重点考察逆向思维。就如逆水行舟，那么如何把好舵？为此把常见的几类问题总结如下：（1）一次不等式为背景：如，观察给定的不等式的解集的结构形式，若为意味着不等式的一次项系数为负，且为方程的根；若为意味着不等式的一次项系数为正，且为方程的根.（2）以二次不等式为背景：如，观察给定的不等式的解集的结构形式，若为意味着不等式的二次项系数为负，且为的两个根；若为，意味着不等式的二次项系数为正，且为的两个根.(3)以分式不等式为背景,利用解分式不等式的步骤转化为高次不等式，然后利用数轴标根法确定，或转化为（1）（2）背景的思路去确定.3.二元一次不等式组表示平面区域的画法：（1）把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；（2）用特殊点判断.判断（或21\n）所表示的平面区域时，只要在直线的一侧任意取一点，将它的的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域.特殊的，当时，常把原点作为特殊点.无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；（3）设点，，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧.4.线性规划中的分类讨论思想随着对线性规划的考查逐年的加深，数学思想也开始渗透其中，此类试题给人耳目一新的感觉.其中分类讨论思想先拔头筹.主要类型有：可行域中含有参数引起的讨论和目标函数中含有参数引起的讨论.解法思路关键在于分类标准的得到.5.应用线性规划解决简单的实际问题在线性规划的实际问题中把实际问题提炼成数学问题，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解.若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当的调整，其方法应以目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点.6线性规划和其它知识交汇点与线性规划相关的知识非常丰富，如与不等式、函数、函数最值等.所以这些为命题者提供了丰富的素材，与线性规划相关的新颖试题也就层出不穷.此类题目着重考查划归思想和数形结合思想，掌握线性规划问题的“画---移---求---答”四部曲，理解线性规划解题程序的实质是解题的关键.例6设满足约束条件若目标函数的值是最大值为12，则的最小值为().22yO-2图9A.B.C.D.4答案：A解析：不等式表示的平面区域如图1所示阴影部分,当直线过直线与直线的交点时,直线的截距最大，此时目标函数取得最大12,即,而=,故选A.21\n【点评】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知,求的最小值，采用“凑倒数”技巧，进而用基本不等式解答.w.w.w.zxxk.c.o.m7.构造利用均值不等式的技巧均值不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用均值不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合均值不等式，往往需要拆、添、拼凑因式等技巧，凑成和或积为定值，然后构造出均值不等式的形式再进行求解.例7（1）求的最大值．（2）求函数的最小值．　解：（1）即的最大值为当且仅当时，即，时，取得此最大值．（2）.∴的最小值为3，当且仅当，即，，时取得此最小值．【点评】（1）利用“拆”的技巧；（2）利用“添”的技巧；不论用什么技巧都应特别注意等号成立的条件．8.均值不等式的一个重要应用类似题型：已知，若，的最小值.可以采用“乘常数，凑倒数”的变形技巧，然后利用均值不等式求其最值.如：.当且仅当等号成立.例9已知为内一点，且已知和的面积分别是则的最小值为()A.9B.18C.16D.20答案：B解析：.21\n又..当且仅当，则当等号成立.【点评】此题的关键通过三角形面积相等得到等式关系，然后采用“乘常数，凑倒数”的技巧，求得的最小值.【考场经验分享】1.解线性规划问题的思维精髓是“数形结合”，其关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范，假若图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检测，以“验明正身”．2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值式时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．3．合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值．4．当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．5.应用基本不等式≤时要注意的问题：(1)注意不等式成立的条件a>0，b>0.(2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想．6．一元二次不等式的界定．对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别．如：解不等式(x－a)(ax－1)>0，如果a＝0它实际上是一个一元一次不等式；只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式．7．当判别式Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为∅.二者不要混为一谈．8.本热点的位置一般在填空题的前两道，难度不大，应该是得全分的题目.解不等式的题目，一般结合函数的性质，因此充分利用函数的性质解不等式最为关键21\n，作为选择题，取值验证的方法是优先考虑的；线性规划的题目多是求目标函数的最值，清晰的画出可行域是解答问题的根本，待值验证是一个巧妙的方法.利用均值不等式求最值问题，特别注意等号的验证，如果没有头绪，对于含有多个字母的式子求最值问题令个字母相等进行验证是一个解题技巧.【新题预测演练】1.【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】由得。做出可行域OBCD.平移直线，由图象可知当经过点时，直线截距最大，此时最小为。当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大为，所以目标函数的取值范围是，即，选B.21\n3.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知，，若的最小值为3，则m等于A．2B．C．3D．4【答案】D【解析】由得，∴，解得4.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知变量x、y满足，则的最大值为A．2B．C．D．121\n6.【浙江省温州八校2013届高三9月期初联考】设满足约束条件，若恒成立，则实数的最大值为()21\n7.【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】变量x,y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如右图，可知三个交点分别为，且则，当它过点（2,0）处有最大值，过点处有最小值，即。8.【湖北省黄冈中学2013届高三11月月考】设集合，，若动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8题解答图【答案】A【解析】在同一直角坐标系中画出集合A、B所在区域，取交集后如图，故M所表示的图象如图中阴影部分所示，而21\n表示的是M中的点到的距离，从而易知所求范围是，选A．11.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】设不等式组表示的平面区域为.若圆不经过区域上的点,则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】不等式对应的区域为ABE.圆心为，区域中，A到圆心的距离最小，B到圆21\n12.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】若实数x,y满足且的最小值为4，则实数b的值为（）A．0B．-2C．D．3【答案】D【解析】由题意可得，且在点处取得最小值4，则可求得b=313.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数的图像关于点（1,0）对称，所以21\n的图象关于原点对称，即函数为奇函数，由得，所以，所以，即，画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．14.【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】已知正项等比数列{a}满足：，若存在两项使得，则的最小值为A.B.C.D.不存在15.【云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）】实数对（x，y）满足不等式组则目标函数z=kx－y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C21\n图2【解析】不等式组所表示的区域如图2所示，直线过时z取最大值，即直线在y轴上的截距最小，由图可得直线的斜率，故选C.16.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】设为坐标原点，，若满足，则的最大值为A．4B．6C．8D．1017.【2013安徽省省级示范高中名校高三联考】设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线＝1距离的最小值是（　　）　A、　　B、　　C、　　D、【答案】A【解析】画图确定可行域，从而确定到直线距离的最小值为21\n18.【安徽省2013届高三开年第一考文】已知的等比中项是1，且，，则的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由已知，，当且仅当，取到最小值4，选B19.【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）A.B.C.D.不存在20.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】已知，，则的最小值是【答案】9【解析】，当且仅当即，时取等号，此时，取等号，此时最小值21.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】设满足约束条件21\n，则目标函数的最大值为___________．【答案】14【解析】据线性约束条件画出如图所示的可行域，由图知：当直线经过点时，的取得最大值为，目标函数的最大值为22.【上海市崇明2013届高三一模】已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为.23.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】若，则的取值范围是．【答案】【解析】作出可行域如图所示．直线与y轴交于点．设直线与曲线相切于点A．∵由得，∴，代入得．将代入得．故的取值范围为．24.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】已知二次函数，的值域为，则的最小值为____.【答案】421\n【解析】由题意知，∵∴∴∴，当且仅当a=c时等号成立。25.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】已知z=2x+y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是．26.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】设实数，满足约束条件，若目标函数（＞0，＞0）的最大值为8，则的最小值为.【答案】4【解析】作出可行域如图所示，由图可知，当过A点时，，由解得A(1,4),∴8=，=4，∴≥=4，当且仅当时，=4.21\n27.【安徽省2013届高三开年第一考】若实数x,y满足不等式组，则的取值范围是29.【湖北省武汉市2013届高三11月调研测试】已知不等式组，表示的平面区域为，其中，则当的面积取得最小值时的的值为.【答案】【解析】依题意作图，要平面区域为的面积最小，即最小，又直线与轴的交点的坐标为，直线与的交点，21\n直线与的交点，∵，21