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2022年中考数学一轮复习第十四讲三角形与全等三角形专题训练

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第14讲三角形与全等三角形考纲要求命题趋势1.了解三角形和全等三角形有关的概念,知道三角形的稳定性,掌握三角形的三边关系.2.理解三角形内角和定理及推论.3.理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质.4.掌握三角形全等的性质与判定,熟练掌握三角形全等的证明.  中考中多以填空题、选择题的形式考查三角形的边角关系,通过解答题来考查全等三角形的性质及判定.全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合,考查学生综合运用知识的能力.知识梳理一、三角形的概念及性质1.概念(1)由三条线段________顺次相接组成的图形,叫做三角形.(2)三角形按边可分为:非等腰三角形和等腰三角形;按角可分为:锐角三角形、钝角三角形和直角三角形.2.性质(1)三角形的内角和是______;三角形的一个外角等于与它不相邻的____________;三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角.(2)三角形的任意两边之和______第三边;三角形任意两边之差________第三边.二、三角形中的重要线段1.三角形的角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的________.2.三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作______,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称高.特性:三角形的三条高线相交于一点,这个点叫做三角形的______.3.三角形的中线在三角形中,连接一个顶点和它对边______的线段叫做三角形的中线.特性:三角形的三条中线交于一点,这个点叫做三角形的______.4.三角形的中位线连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于它的________.三、全等三角形的性质与判定1.概念能够________的两个三角形叫做全等三角形.2.性质全等三角形的__________、__________分别相等.3.判定9\n(1)有三边对应相等的两个三角形全等,简记为(SSS);(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为(SAS);(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简记为(ASA);(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为(AAS);(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为(HL).四、定义、命题、定理、公理1.定义对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.2.命题判断一件事情的语句.(1)命题由________和________两部分组成.命题通常写成“如果……,那么……”的形式,“如果”后面是题设,“那么”后面是结论.(2)命题的真假:正确的命题称为________;错误的命题称为________.(3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的________,而第一个命题的结论是第二个命题的________,那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题.3.定理经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题.所以不是所有的定理都有逆定理.4.公理有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据,这样的真命题叫做公理.五、证明1.证明从一个命题的条件出发,根据定义、公理及定理,经过________,得出它的结论成立,从而判断该命题为真,这个过程叫做证明.2.证明的一般步骤(1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般性;(3)用数学语言写出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明过程,每一步应有根据,要推理严密.3.反证法先假设命题中结论的反面成立,推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾,从而结论的反面不可能成立,借此证明原命题结论是成立的.这种证明的方法叫做反证法.自主测试1.△ABC的内角和为(  )A.180°B.360°C.540°D.720°2.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是(  )A.3,8,4B.4,9,6C.15,20,8D.9,15,83.如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是(  )9\nA.AB=ACB.BD=CDC.∠B=∠CD.∠BDA=∠CDA4.下面的命题中,真命题是(  )A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等B.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等D.有一条高对应相等的两个等边三角形全等5.如图,D,E分别是AB,AC上的点,且AB=AC,AD=AE.求证:∠B=∠C.考点一、三角形的边角关系【例1】若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是(  )A.1B.5C.7D.9解析:设第三边为x,根据三角形三边的关系可得4-3<x<3+4,即1<x<7.答案:B方法总结1.在具体判断时,可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较.若这两条线段的和大于最长的那条线段,则这三条线段能组成三角形.否则就不能组成三角形.2.三角形边的关系的应用:(1)判定三条线段是否构成三角形;(2)已知两边的长,确定第三边的取值范围;(3)可证明线段之间的不等关系.触类旁通1已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为(  )A.2B.3C.5D.13考点二、全等三角形的性质与判定【例2】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板AED如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.9\n解:BE=EC,BE⊥EC.证明如下:∵AC=2AB,点D是AC的中点,∴AB=AD=CD.∵∠EAD=∠EDA=45°,∴∠EAB=∠EDC=135°.又∵EA=ED,∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB=∠DEC,EB=EC.∴∠BEC=∠AED=90°.∴BE=EC,BE⊥EC.方法总结1.判定两个三角形全等时,常用下面的思路:有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等;有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等.在具体的证明中,要根据已知条件灵活选择证明方法.2.全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系.触类旁通2如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.求证:△BEC≌△CDA.考点三、真假命题的判断【例3】下列命题,正确的是(  )A.如果|a|=|b|,那么a=bB.等腰梯形的对角线互相垂直C.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D.相等的圆周角所对的弧相等解析:A项错误,例如:|-2|=|2|,但-2≠2;B项错误,等腰梯形的对角线可能垂直,但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直;C项正确,可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到;D项错误,相等的圆周角所对的弧相等,必须是在同圆或等圆中.答案:C方法总结对命题的正确性理解一定要准确,判定命题不成立时,有时可以举反例说明道理;命题有正、误,错误的命题也是命题.触类旁通3已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.其中为真命题的是__________.(填写所有真命题的序号)考点四、证明的方法【例4】如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.9\n求证:(1)△BFC≌△DFC;(2)AD=DE.证明:(1)∵CF平分∠BCD,∴∠BCF=∠DCF.在△BFC和△DFC中,∴△BFC≌△DFC.(2)如图,连接BD.∵△BFC≌△DFC,∴BF=DF.∴∠FBD=∠FDB.∵DF∥AB,∴∠ABD=∠FDB.∴∠ABD=∠FBD.∵AD∥BC,∴∠BDA=∠DBC.∵BC=DC,∴∠DBC=∠BDC.∴∠BDA=∠BDC.又BD是公共边,∴△BAD≌△BED.∴AD=DE.方法总结1.证明问题时,首先要理清证明的思路,做到证明过程的每一步都有理有据,推理严密.要证明线段、角相等时,证全等是常用的方法.2.证明的基本方法:(1)综合法,从已知条件入手,探索解题途径的方法;(2)分析法,从结论出发,用倒推来寻求证题思路的方法;(3)两头“凑”的方法,综合应用以上两种方法找证明思路的方法.触类旁通4如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B,C作AD及其延长线的垂线BE,CF,垂足分别为点E,F.求证:BE=CF.1.(2022浙江嘉兴)已知△ABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于(  )A.40°B.60°C.80°D.90°2.(2022贵阳)如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是(  )9\nA.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF3.(2022四川雅安)在△ADB和△ADC中,下列条件:①BD=DC,AB=AC;②∠B=∠C,∠BAD=∠CAD;③∠B=∠C,BD=DC;④∠ADB=∠ADC,BD=DC.能得出△ADB≌△ADC的序号是__________.4.(2022广东广州)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BE=CD.5.(2022江苏苏州)如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=CD,延长线段CB到E,使BE=AD,连接AE,AC.(1)求证:△ABE≌△CDA;(2)若∠DAC=40°,求∠EAC的度数.1.如图,为估计池塘两岸A,B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16m,PB=12m,那么AB间的距离不可能是(  )A.5mB.15mC.20mD.28m2.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD和BE的交点,CD=4,则线段DF的长度为(  )A.2B.4C.3D.49\n3.如图,在△ABC中,∠A=80°,点D是BC延长线上一点,∠ACD=150°,则∠B=__________.4.如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大,若∠A减少α度,∠B增加β度,∠C增加γ度,则α,β,γ三者之间的等量关系是__________.5.如图所示,三角形纸片ABC中,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内,若∠1=20°,则∠2的度数为__________.6.如图,点B,C,F,E在同一直线上,∠1=∠2,BC=FE,∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,这个条件可以是__________(只需写出一个).7.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,CE=BC,过点E作AC的垂线,交CD的延长线于点F.求证:AB=FC.9\n8.如图,点A,B,D,E在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证:AC=EF.参考答案导学必备知识自主测试1.A 2.A 3.B 4.D5.证明:在△ABE和△ACD中,∵AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,∴△ABE≌△ACD.∴∠B=∠C.探究考点方法触类旁通1.B 由三角形三边的关系可得13-2<x<13+2,即11<x<15,∵x为正整数,∴x为12,13,14,故选B.触类旁通2.证明:∵BE⊥CF于点E,AD⊥CE于点D,∴∠BEC=∠CDA=90°.在Rt△BEC中,∠BCE+∠CBE=90°,在Rt△BCA中,∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CBE=∠ACD.在△BEC和△CDA中,∵∴△BEC≌△CDA.触类旁通3.①②④触类旁通4.证明:∵在△ABC中,AD是中线,∴BD=CD.∵CF⊥AD,BE⊥AE,∴∠CFD=∠BED=90°.在△BED与△CFD中,∵∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD,∴△BED≌△CFD,∴BE=CF.品鉴经典考题1.A 设∠A=x,则∠B=2x,∠C=x+20°,则x+2x+x+20°=180°,解得x=40°,即∠A=40°.2.B 由已知可得两个三角形已有两组边对应相等,还需要另一组边对应相等或夹角对应相等,只有B能满足条件.3.①②④ 由题意知AD=AD,条件①可组成三边对应相等,条件②可组成两角和其中一角的对边对应相等,条件④可组成两边及其夹角对应相等,这三个条件都可得出△ADB≌△ADC,条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等,不能得出△ADB≌△ADC.4.证明:∵在△ABE和△ACD中,∠B=∠C,AB=AC,∠A=∠A,∴△ABE≌△ACD(ASA).∴BE=CD.5.(1)证明:在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=CD,∴∠ABE=∠BAD,∠BAD=∠CDA.9\n∴∠ABE=∠CDA.在△ABE和△CDA中,∴△ABE≌△CDA.(2)解:由(1)得∠AEB=∠CAD,AE=AC,∴∠AEB=∠ACE.∵∠DAC=40°,∴∠AEB=∠ACE=40°.∴∠EAC=180°-40°-40°=100°.研习预测试题1.D 由三角形三边关系知16-12<AB<16+12,故选D.2.B 因为由已知可证明△BDF≌△ADC,所以DF=CD.3.70° 4.α=β+γ5.60° ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠CDE+∠CED+∠C=180°,∴∠A+∠B=∠CDE+∠CED.∴∠A+∠B+∠CDE+∠CED=2(∠A+∠B)=280°.∵∠1+∠2+∠CDE+∠CED+∠A+∠B=360°,∴∠1+∠2=360°-280°=80°.又∵∠1=20°,∴∠2=60°.6.不是 ∠B=∠E(答案不唯一)7.证明:∵FE⊥AC于点E,∠ACB=90°,∴∠FEC=∠ACB=90°.∴∠F+∠ECF=90°.又∵CD⊥AB于点D,∴∠A+∠ECF=90°.∴∠A=∠F.在△ABC和△FCE中,∴△ABC≌△FCE.∴AB=FC.8.证明:∵AD=EB,∴AD-BD=EB-BD,即AB=ED.又∵BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB.∴∠ABC=∠EDF.又∵∠C=∠F,∴△ABC≌△EDF.∴AC=EF.9

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发布时间:2022-08-25 21:26:45 页数:9
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文章作者:U-336598

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