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2022年中考数学一轮复习第十六讲直角三角形专题训练
2022年中考数学一轮复习第十六讲直角三角形专题训练
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第16讲直角三角形考纲要求命题趋势1.了解直角三角形的有关概念,掌握其性质与判定.2.掌握勾股定理与逆定理,并能用来解决有关问题. 直角三角形是中考考查的热点之一,题型多样,多以简单题和中档难度题出现,主要考查直角三角形的判定和性质的应用,以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1.直角三角形的两锐角________.2.直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的________.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.4.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.二、直角三角形的判定1.有一个角等于________的三角形是直角三角形.2.有两角________的三角形是直角三角形.3.如果三角形一边上的中线等于这边的________,则该三角形是直角三角形.4.勾股定理的逆定理:如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________,那么这个三角形是直角三角形.自主测试1.在△ABC中,若三边BC,CA,AB满足BC:CA:AB=5:12:13,则cosB=( )A.B.C.D.2.如图,在△ABC中,DE是中位线,∠ABC的平分线交DE于F,则△ABF一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列各组数据分别为三角形的三边长:①2,3,4;②5,12,13;③,,;④m2-n2,m2+n2,2mn.其中是直角三角形的有( )A.①②B.③④C.①③D.②④考点一、直角三角形的判定9\n【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为边BC上的任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点,试判断△MEF的形状,并证明你的结论.分析:连接AM,可得AM=BM,然后证明△BFM≌△AEM,得到FM=ME,∠EMF=90°.解:△MEF是等腰直角三角形.连接AM,∵∠BAC=90°,AM是斜边BC的中线,∴MA=MB=MC,MA⊥BC.∵AB=AC,∴∠B=∠BAM=∠MAE=45°.∵DF⊥AB,DE⊥AC,∴∠AFD=∠AED=∠FAE=90°,∴四边形DFAE是矩形,∴FD=EA.又∵FB=FD,∴FB=EA,∴△BFM≌△AEM(SAS),∴FM=EM,∠BMF=∠AME.∵∠AMF+∠BMF=90°,∴∠EMF=∠AMF+∠AME=90°,∴△MEF是等腰直角三角形.方法总结证明一个三角形是直角三角形的方法比较多,最简捷的方法就是求出一个角等于90°,也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半,或者利用勾股定理的逆定理证得.触类旁通1具备下列条件的△ABC中,不能成为直角三角形的是( )A.∠A=∠B=∠CB.∠A=90°-∠CC.∠A+∠B=∠CD.∠A-∠C=90°考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DC.9\n(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)证明:DC⊥BE.(1)解:图2中△ABE≌△ACD.证明如下:∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°.∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.又∵AB=AC,AE=AD,∴△ABE≌△ACD.(2)证明:由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD=∠ABE=45°.又∠ACB=45°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°,∴DC⊥BE.方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外,还具有外接圆半径等于斜边的一半,内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半,它的外心是斜边的中点,垂心是直角顶点等性质.考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.解:设CD长为xcm,由折叠得△ACD≌△AED.∴AE=AC=6cm,∠AED=∠C=90°,DE=CD=xcm.在Rt△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,∴AB===10(cm).∴EB=AB-AE=10-6=4(cm),BD=BC-CD=(8-x)cm,在Rt△DEB中,由勾股定理得DE2+BE2=DB2.∴x2+42=(8-x)2,解得x=3.∴CD的长为3cm.方法总结1.勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边,当我们只知道直角三角形的一边时,如果可以找到另外两边的关系,也可通过列方程的方法求出另外两条边.2.勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边,判断三角形是否为直角三角形.触类旁通2如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=4,CD=13,CB=12,求四边形ABCD的面积.9\n考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】如图所示,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距14km,C,D为两村庄(可视为两个点),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=8km,CB=6km,现要在铁路上建一个土特产品收购站E,使C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?分析:因为DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,在AB上找一点可构成两个直角三角形,我们可想到通过勾股定理列方程进行求解.解:设E站应建在距A站xkm处,根据勾股定理有82+x2=62+(14-x)2,解得x=6.所以E站应建在距A站6km处.方法总结勾股定理及其逆定理的实际应用,是把实际问题转化为数学问题,建立勾股定理或逆定理的数学模型.通过解决数学问题,使实际问题得以解决.触类旁通3有一块直角三角形的绿地,量得两直角边的长分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.1.(2022广东广州)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )A.B.C.D.2.(2022浙江湖州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,则CD的长是( )A.20B.10C.5D.3.(2022浙江宁波)勾股定理是几9\n何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为( )A.90B.100C.110D.1214.(2022山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为________°.5.(2022四川巴中)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式+|a-b|=0,则△ABC的形状为__________.6.(2022重庆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)1.如图所示,将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,则三角板的最大边的长为( )A.3cmB.6cmC.3cmD.6cm9\n2.在△ABC中,三边长分别为a,b,c,且a+c=2b,c-a=b,则△ABC是( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形3.一个直角三角形两边的长分别为15,20,则第三边的长是( )A.5B.25C.5或25D.无法确定4.如图,在Rt△ABC中,以三边AB,BC,CA为直径向外作半圆,设直线AB左边阴影部分的面积为S1,右边阴影部分的面积和为S2,则( )A.S1=S2B.S1<S2C.S1>S2D.无法确定5.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则的值是( )A.B.C.D.6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,若DE=2,CD=2,则BE的长为__________.7.如图,已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推直到第五个等腰Rt△AFG,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________.8.如图,已知点D为等腰Rt△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD9\n延长线上的一点,且CE=CA.(1)求证:DE平分∠BDC;(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:ME=BD.参考答案导学必备知识自主测试1.C ∵BC2+CA2=AB2,∴∠C=90°,∴cosB==.2.B 3.D探究考点方法触类旁通1.D触类旁通2.解:在Rt△ABD中,BD===5,在△BCD中,CD=13,CB=12,BD=5,∴CB2+BD2=CD2.∴∠DBC=90°.∴S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC=AB·AD+BC·BD=×3×4+×12×5=6+30=36.触类旁通3.解:在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,由勾股定理得,AB==10,扩充部分为Rt△ACD,扩成等腰三角形ABD,应分以下三种情况:(1)如图1,当AB=AD=10时,可求得CD=CB=6,故△ABD的周长为32m.(2)如图2,当AB=BD=10时,可求得CD=4,由勾股定理得AD==4,故△ABD的周长为(20+4)m.(3)如图3,当AB为底时,设AD=BD=x,则CD=x-6,由勾股定理得(x-6)2+82=x2,则x=,故△ABD的周长为m.品鉴经典考题1.A 根据题意画出相应的图形,如图所示:9\n在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,根据勾股定理得:AB==15.过点C作CD⊥AB,交AB于点D,又S△ABC=AC·BC=AB·CD,∴CD===,则点C到AB的距离是.2.C 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半,则CD的长是5.3.C 如图,延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,所以,四边形AOLP是正方形,边长AO=AB+AC=3+4=7,所以,KL=3+7=10,LM=4+7=11,因此,矩形KLMJ的面积为10×11=110.故选C.4.85 ∵∠ADF=100°,∠EDF=30°,∴∠MDB=180°-∠ADF-∠EDF=180°-100°-30°=50°,∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-45°-50°=85°.5.等腰直角三角形 由题意得:c2-a2-b2=0,a-b=0,∴c2=a2+b2,a=b,则△ABC的形状为等腰直角三角形.6.解:∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°.∵∠BAC=90°,∴∠C=180°-90°-60°=30°,∴BC=2AB=4.在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC===2,∴△ABC的周长为AC+BC+AB=2+4+2=6+2.研习预测试题1.D2.A 由a+c=2b,c-a=b,9\n可得c=b,a=b,于是得a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.3.C 4.A5.C 由折叠性质可知,AE=BE,设CE为x,则BE=8-x.在Rt△BCE中,62+x2=(8-x)2,所以x=.故==.6.4 ∵点D是AB的中点,∠ACB=90°,DE⊥AC,∴CD=AB,DE=BC,∴AB=4,BC=4.在Rt△ACB中,AC==8,∴CE=AC=4.∵CE=BC=4,∠ACB=90°,∴BE=4.7. 根据题意易知CD=AC=,AD=DE=()2=2,EF=AE=2,AF=FG=2×=4,AG=4,所以所求图形的面积S=S△ABC+S梯形ACDE+S梯形AEFG=×1×1+×(+2)×+×(2+4)×2=+3+12=.8.证明:(1)在等腰Rt△ABC中,∵∠CAD=∠CBD=15°,∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°.∴BD=AD.∴△BDC≌△ADC.∴∠DCA=∠DCB=45°.由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°,∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°,∴∠BDM=∠EDC.∴DE平分∠BDC.(2)如图,连接MC.∵DC=DM,且∠MDC=60°,∴△MDC是等边三角形,即CM=CD.又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°,∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°,∴∠EMC=∠ADC.又∵CE=CA,∴∠DAC=∠CEM=15°.∴△ADC≌△EMC.∴ME=AD=DB.9
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:26:46
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