2022年中考数学专题复习第五单元四边形课时训练二十六正方形及中点四边形练习

课时训练(二十六)　正方形及中点四边形(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·广安]下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中说法正确的个数为(　　)A.4B.3C.2D.12.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了(　　)A.1次B.2次C.3次D.4次3.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是(　　)A.矩形10\nB.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形4.[2022·河北]如图K26-1是边长为10cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是(　　)图K26-1图K26-25.[2022·黔东南州]如图K26-3,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于点O,则∠DOC的度数为(　　)图K26-3A.60°B.67.5°C.75°D.54°6.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD成为正方形(如图K26-4),现有下列四种选法,你认为错误的是(　　)10\n图K26-4A.①②B.②③C.①③D.②④7.[2022·黄冈]已知:如图K26-5,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED=　　　　度. 图K26-58.[2022·大庆]如图K26-6,点M,N在半圆的直径AB上,点P,Q在AB上,四边形MNPQ为正方形.若半圆的半径为5,则正方形的边长为　　　　. 图K26-69.[2022·深圳]如图K26-7,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是　　　　. 图K26-710.[2022·武汉]以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是　　　　. 11.[2022·义乌]如图K26-8为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F,若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为　　　　m. 10\n图K26-812.[2022·舟山]如图K26-9,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.图K26-913.如图K26-10,四边形ABCD是正方形,点E是BC边的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证:AE=EF.图K26-1010\n|拓展提升|14.[2022·烟台]【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图K26-11①,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP',求出∠APB的度数;思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP',求出∠APB的度数.请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图②,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=11,求∠APB的度数.图K26-1110\n参考答案1.C　[解析]①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,对角线相等的四边形不一定是矩形,故③错误;④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.2.B3.D　[解析]如图,四边形EFGH是矩形,且E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG.∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,∴AC⊥BD.4.A　[解析]选项A不正确.理由:正方形的边长为10,所以对角线=102≈14,因为15>14,所以这个图形不可能存在.故选A.5.A　[解析]连接BF,∵E为AB中点,FE⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AF=2AE,∴AF=AB,∴AF=BF=AB,∴△ABF为等边三角形,∴∠FBA=60°,BF=BC,∴∠FCB=∠BFC=15°,∵四边形ABCD为正方形,∴∠DBC=45°,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.6.B　[解析]此题考查正方形的判定,即在平行四边形的基础上,需要再同时具备矩形和菱形的特征.①是菱形的特征;②是矩形的特征;③是矩形的特征,④是菱形的特征.而B中都是矩形的特征.故选B.7.45　[解析]由题意得,AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°,所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.10\n8.2　[解析]连接OP,设正方形的边长为a(a>0),则ON=a2,PN=a,在Rt△OPN中,ON2+PN2=OP2,即a22+a2=(5)2,解得a=2.9.8　[解析]∵四边形ACDF是正方形,∴AC=AF,∠CAF=90°,∴∠CAE+∠BAF=90°,又∠CAE+∠ECA=90°,∴∠ECA=∠BAF,则在△ACE和△FAB中,∵∠AEC=∠ABF=90°,∠ECA=∠BAF,AC=AF,∴△ACE≌△FAB(AAS),∴AB=CE=4,∴阴影部分的面积=12AB·CE=12×4×4=8.10.30°或150°　[解析]如图①,∵△ADE是等边三角形,∴DE=DA,∠DEA=∠1=60°.∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠2=90°.∴∠CDE=150°,DE=DC,∴∠3=12(180°-150°)=15°.同理可求得∠4=15°.∴∠BEC=30°.如图②,∵△ADE是等边三角形,∴DE=DA,∠1=∠2=60°,∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠CDA=90°.∴DE=DC,∠3=30°,∴∠4=12(180°-30°)=75°.同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.故答案为30°或150°.11.4600　[解析]连接GC,由四边形ABCD为正方形可得△ADG≌△CDG,所以GC=AG,由四边形GECF为矩形可得GC=EF,所以EF=AG,因为小敏行走的路线为B→A→G→E,所以BA+AG+GE=3100m.因为小聪行走的路线为B→A→D→E→F,所以BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(m).10\n12.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=∠C=90°,∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°,∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,∴△ABE≌△ADF,∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.13.证明:取AB的中点H,连接EH.∵∠AEF=90°,∴∠2+∠AEB=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠1+∠AEB=90°,∴∠1=∠2,∵E是BC的中点,H是AB的中点,∴BH=BE,AH=CE,∴∠BHE=45°,10\n∵CF是∠DCG的平分线,∴∠FCG=45°,∴∠AHE=∠ECF=135°,在△AHE和△ECF中,∠1=∠2,AH=EC,∠AHE=∠ECF,∴△AHE≌△ECF(ASA),∴AE=EF.14.[解析]将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△P'BA,连接PP',得到等腰直角三角形BP'P,从而得到PP'=22,∠BPP'=45°,又AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'=90°,从而求出∠APB=45°+90°=135°.将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP',方法和上述类似,求出∠APB=45°.解:【问题解决】如图①,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.①∵P'B=PB=2,∠P'BP=90°,∴PP'=22,∠BPP'=45°.又AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=45°+90°=135°.10\n②【类比探究】如图②,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.∵P'B=PB=1,∠P'BP=90°,∴PP'=2,∠BPP'=45°.又AP'=CP=11,AP=3,∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2,∴∠APP'=90°,∴∠APB=90°-45°=45°.10