【南方新中考】(南粤专用)2022中考数学 第一部分 数代数 第三章 第4讲 二次函数检测复习
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第4讲 二次函数1.(2022年广东珠海)对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为________.2.(2022年广东深圳)二次函数y=ax2+bx+c图象如图347,下列正确的个数为( )①bc>0;②2a-3c<0;③2a+b>0;④ax2+bx+c=0有两个解x1,x2,x1>0,x2<0;⑤a+b+c>0;⑥当x>1时,y随x增大而减小.图347A.2个B.3个C.4个D.5个3.(2022年广东佛山)利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的近似根.(精确到0.1)4.(2022年广东佛山)如图348(1),已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S[图348(2)中阴影部分].(1) (2)图3487\n5.(2022年广东广州)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.(1)用a,c表示b;(2)判断点B所在象限,并说明理由;(3)若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C,求当x≥1时,y1的取值范围.6.(2022年广东茂名节选)如图349,抛物线y=ax2+x+c经过原点O和点A(4,2),与x轴交于点C,点M,N同时从原点O出发,点M以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动,点N以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动,当其中一个点停止运动时,另一点也随之停止.(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;(2)在点M,N运动过程中,若线段MN与OA交于点G,试判断MN与OA的位置关系,并说明理由.图349A级 基础题1.(2022年浙江丽水)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点( )A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2)D.(4,-2)2.(2022年海南)将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2,则这个平移过程正确的是( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向上平移2个单位D.向下平移2个单位3.(2022年浙江宁波)如图3410,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴为直线x=1,图象经过(3,0),下列结论中,正确的一项是( )7\n图3410A.abc<0 B.2a+b<0 C.a-b+c<0 D.4ac-b2<04.(2022年贵州遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如下图,其中正确的是( )ABCD5.(2022年四川内江)若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是( )A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时,y的最大值为-4 D.抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0)6.(2022年江苏徐州)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:x…-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…则该函数图象的顶点坐标为( )A.(-3,-3)B.(-2,-2)C.(-1,-3)D.(0,-6)7.(2022年广东佛山禅城模拟)函数y=ax2+bx+c的图象经过原点,则c的值为__________.8.(2022年北京)请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式______________.9.(2022年浙江湖州)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标.B级 中等题10.(2022年广西南宁)如图3411,已知二次函数y=-x2+2x,当-1<x<a时,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是( )图3411A.a>1B.-1<a≤1C.a>0D.-1<a<17\n11.(2022年广东深圳宝安模拟)一个一次函数的图象与二次函数y=-x2+x的图象只有一个公共点,这时自变量x=1.那么这个一次函数的表达式是____________.12.(2022年广东)已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;(2)如图3412,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C,D两点的坐标;(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短.若点P存在,求出点P的坐标;若点P不存在,请说明理由.图3412C级 拔尖题13.(2022年广东汕尾)如图3413,已知抛物线y=x2-x-3与x轴的交点为A,D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.(1)直接写出点A,D,C的坐标;(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标.图34137\n第4讲 二次函数【真题·南粤专练】1.x=2 2.B3.解:方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1与x轴交点的横坐标.作出二次函数y=x2-2x-1的图象,如图7.图7由图象可知,方程有两个根,一个在-1和0之间,另一个在2和3之间.先求-1和0之间的根,当x=-0.4时,y=-0.04;当x=-0.5时,y=0.25.因此,x=-0.4(或x=-0.5)是方程的一个近似根.同理,x=2.4(或x=2.5)是方程的另一个近似根.4.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),∴解得∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.(3)如图8,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴PP′=1.阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积,平行四边形A′APP′的面积=1×2=2,∴阴影部分的面积为2.图8 图95.解:(1)抛物线过点A(1,0),则有a+b+c=0,即b=-a-c.(2)点B在第四象限.理由如下:∵x1=1,x2=,a≠c,∴抛物线与x轴有两个交点.∵抛物线不经过第三象限,∴a>0,且顶点在第四象限.∴点B在第四象限.(3)∵C,且在抛物线上,∴b+8=0,b=-8,∴a+c=-b=8.则B,C.把点B,C的坐标代入y2=2x+m,7\n得①-②,得-=.化简,得c(a+2)=24.又∵a+c=8,则有c(8-c+2)=24.解得c=4或c=6.当c=4时,a=8-c=4.又a≠c,故舍去;当c=6时,a=8-c=2.画图易知(如图9),点C在点A的右侧,∴当x≥1时,y1≥=-2.6.解:(1)将点O(0,0),点A(4,2)代入解析式得解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x.令y=0,则有0=-x2+x.解得x1=0,x2=6.故点C的坐标为(6,0).(2)MN⊥OA.理由如下:过点A作AB⊥x轴于点B,则OB=4,AB=2.由已知,可得==.∴Rt△MON∽Rt△OBA.∴∠NMO=∠AOB,∠MNO=∠OAB.又∵∠AOB+∠OAB=90°,∴∠AOB+∠MNO=90°.∴∠OGN=90°.∴MN⊥OA.【演练·巩固提升】1.A 2.A 3.D 4.D 5.C 6.B7.0 8.y=2x2+x+1(满足a>0,c=1即可)9.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0),∴抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1),即y=-x2+2x+3.(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(1,4).10.B11.y=-x+1 (提示:设直线y=kx+b,该直线与抛物线y=-x2+x满足x=1,与判别式Δ=0建立方程组即可求得)12.解:(1)将点O(0,0)代入,解得m=±1.二次函数关系式为y=x2+2x或y=x2-2x.(2)当m=2时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴D(2,-1).当x=0时,y=3,∴C(0,3).(3)存在.连接C,D交x轴于点P,则点P为所求.由C(0,3),D(2,-1)求得直线CD为y=-2x+3.当y=0时,x=,∴P.13.解:(1)∵y=x2-x-3,7\n∴当y=0时,x2-x-3=0.解得x1=-2,x2=4.当x=0,y=-3.∴点A坐标为(4,0),点D坐标为(-2,0),点C坐标为(0,-3).(2)∵y=x2-x-3,∴对称轴为直线x==1.∵AD在x轴上,点M在抛物线上,∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时,分两种情况:①点M在x轴下方时,根据抛物线的对称性,可知:点M与点C关于直线x=1对称,∵C点坐标为(0,-3),∴M点坐标为(2,-3).②点M在x轴上方时,根据三角形的等面积法,可知:点M到x轴的距离等于点C到x轴的距离.当y=3时,x2-x-3=3,解得x1=1+,x2=1-.∴M点坐标为(1+,3)或(1-,3).综上所述,所求M点坐标为(2,-3)或(1+,3)或(1-,3).7
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