全国各地名校2022年中考数学5月试卷分类汇编 动态综合型问题
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动态综合型问题一、选择题1、(2022年湖北荆州模拟题)如图,正方形ABCD的边长为4cm,动点P、Q同时从点A出发,以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动,设运动时间为x(单位:s),四边形PBDQ的面积为y(单位:cm2),则y与x(0≤x≤8)之间函数关系可以用图象表示为( ▲ ) A. B. C. D.答案:B2.(2022年北京房山区一模)如图,正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点,运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x,以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是第1题图答案:B第2题图3.(2022年北京顺义区一模)如图,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点,动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运动时间为,分别以AP和PB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为A.B.C.D.答案:D42\n4、(2022年安徽省模拟六)如图所示,矩形ABCD的长、宽分别为8cm和4cm,点E、F分别在AB、BC上,且均从点B开始,以1cm/s的速度向B-A-D和B-C-D的方向运动,到达D点停止.则线段EF的长ycm关于时间ts函数的大致图象是……【】第1题图答案:A5、(2022年湖北荆州模拟6)如图,已知A、B是反比例函数(k>0,x>0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C匀速运动,终点为C.过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S,点P运动的时间为t,则S关于t的函数图象大致为( ▲ )第2题图ABCD答案:A6、(2022年广东省佛山市模拟)如图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t,正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分),则S与t的大致图象为()图4图7stOAstOBstOCstOD答案:A7、(2022浙江台州二模)9.如图,已知Rt△ABC的直角边AC=24,斜边AB=25,一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动,且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切,当点P第一次回到(第1题)它的初始位置时所经过路径的长度是()A.B.25C.D.5642\n【答案】C8、(2022年杭州拱墅区一模)如图,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:①四边形CEDF有可能成为正方形;②△DFE是等腰直角三角形;③四边形CEDF的面积是定值;④点C到线段EF的最大距离为.其中正确的结论是()A.①④ B.②③ C.①②④ D.①②③④答案:D二、填空题第1题图1、(2022年湖北荆州模拟6)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,BC=4,AD=,∠B=45°,直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动,一直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F,若△ABE为等腰三角形,则CF=▲.答案:2.5或3或点出发,以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动,直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S(单位:cm2)与点P移动的时间(单位:s)的函数如图②所示,则点P从开始移动到停止移动一共用了 秒(结果保留根号).42\n第15题图【答案】(4+2)2、(2022年广东省佛山市模拟)如图△ABC中,∠ACB=90°,BC=6cm,AC=8cm,动点P从A出发,以2cm/s的速度沿AB移动到B,则点P出发s时,△BCP为等腰三角形.(原创)PCBA答案:2,2.5,1.4ACFDEB3.(2022郑州外国语预测卷)如图在平行四边形ABCD中,点E在CD边上运动(不与C、D两点重合),连接AE并延长与BC的延长线交于点F。连接BE、DF,若△BCE的面积是8,则△DEF的面积为.答案:84.(2022宁波五校联考一模)如图,已知∠ABC=90°,AB=πr,BC=,半径为r的⊙O从点A出发,沿A→B→C方向滚动到点C时停止,则圆心O运动的路程是.答案:2πr5.(2022宁波五校联考二模)已知:定点A(3,2),动点M在函数的图象上运动,动点N在轴上运动,则的周长的最小值为42\n答案:6.(2022上海黄浦二摸)如图,圆心O恰好为正方形ABCD的中心,已知,⊙O的直径为1.现将⊙O沿某一方向平移,当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移,记此时平移的距离为,则的取值范围是▲.•ABCDO答案:三、解答题AEDBC1、(2022年安徽凤阳模拟题三)如图,在中,,.若动点从点出发,沿线段运动到点为止,运动速度为每秒2个单位长度.过点作交于点,设动点运动的时间为秒,的长为.(1)求出关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)当为何值时,的面积有最大值,最大值为多少?解:(1),..(2分)又,,,,..(5分)自变量的取值范围为.(5分)(2)S.(8分)当时,有最大值,且最大值为.(10分)(或用顶点公式求最大值)42\n2.(2022年安徽凤阳模拟题三)两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1.固定△ABC不动,将△DEF进行如下操作:(1)如图△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),连结DC、CF、FB,四边形CDBF的形状在不断的变化,但它的面积不变化,请求出其面积.ABEFCD温馨提示:由平移性质可得CF∥AD,CF=AD(2)如图,当D点移到AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由.ABEFCD(3)如图,△DEF的D点固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF,使DF落在AB边上,此时F点恰好与B点重合,连结AE,请你求出sinα的值.AB(E)(F)CDE(F)α解:(1)过C点作CG⊥AB于G,ABEFCDG在Rt△AGC中,∵sin60°=,∴1分∵AB=2,∴S梯形CDBF=S△ABC=3分42\n(2)菱形5分∵CD∥BF,FC∥BD,∴四边形CDBF是平行四边形6分∵DF∥AC,∠ACD=90°,∴CB⊥DF7分∴四边形CDBF是菱形8分(判断四边形CDBF是平行四边形,并证明正确,记2分)(3)解法一:过D点作DH⊥AE于H,则S△ADE=8分又S△ADE=,10分∴在Rt△DHE’中,sinα=12分解法二:∵△ADH∽△ABE8分∴即:∴10分∴sinα=12分AB(E)(F)CDE(F)αH3.(2022年北京顺义区一模)如图1,将三角板放在正方形上,使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合.三角板的一边交于点,另一边交42\n的延长线于点(1)求证:;(2)如图2,移动三角板,使顶点始终在正方形的对角线上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,将(2)中的“正方形”改为“矩形”,且使三角板的一边经过点,其他条件不变,若,,求的值.答案:(1)证明:∵∴又∵∴∴………………………2分(2)成立.证明:如图,过点分别作的垂线,垂足分别为则∵∴∴∴…………………………………4分(3)解:如图,过点分别作的垂线,垂足分别为,则∴∴…………………………………5分42\n∴∴∴∴…………………………………7分图14.(2022年北京平谷区一模)如图1,在直角坐标系中,已知直线与y轴交于点A,与x轴交于点B,以线段BC为边向上作正方形ABCD.(1)点C的坐标为(),点D的坐标为();(2)若抛物线经过C、D两点,求该抛物线的解析式;(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线BA向上平移,直至正方形的顶点C落在轴上时,正方形停止运动.在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为,求关于平移时间(秒)的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围.答案:解:(1)C(-3,2),D(-1,3)………………………………………………2分(2)抛物线经过(-1,3)、(-3,2),则解得∴……………….…3分(3)①当点D运动到y轴上时,t=.…………..…4分图1当0<t≤时,如图1设D′A′交y轴于点E.∵tan∠BAO==2,又∵∠BAO=∠EAA′∴tan∠EAA′=2,即=2∵AA′=,∴EA’=.∴S△EA’A=AA′·EA′=t×t=5t2………5分42\n当点B运动到点A时,t=1.………………………………………………6分图2当<t≤1时,如图2设D′C′交y轴于点G,过G作GH⊥A′B′于H.在Rt△AOB中,AB=∴GH=,AH=GH=∵AA′=t,∴HA′=t-,GD′=t-.∴S梯形AA′D′G=(t-+t)=5t-……………………………7分当点C运动到y轴上时,t=.当1<t≤时,如右图所示设C′D′、C′B′分别交y轴于点M、N∵AA′=t,A′B′=,∴AB′=t-,∴B′N=2AB′=t-∵B′C′=,∴C′N=B′C′-B′N=-t∴=C′N=(-t)∴=(-t)·(-t)=5t2-15t+∴S五边形B′A′D′MN=S正方形B′A′D′C′-S△MNC′=(5t2-15t+)=-5t2+15t-综上所述,S与x的函数关系式为:当0<t≤时,S=5当<t≤1时,S=5t当1<t≤时,S=-5t2+15t………………………………………………..8分5、(2022年安徽省模拟六)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=42\nAB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;(2)当DE=8时,求线段EF的长;第1题图(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.答案:(1)连结BC,∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴弧AB的长=;(4分)(2)连结OD,∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中,OE=,∴AE=AO-OE=10-6=4,由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,得△OEF∽△DEA,∴,即,∴EF=3;(8分)(3)设OE=x,①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC中点,即OE=,∴E1(,0);当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x,AE=10-x,∴CF∥AB,有CF=,∵△ECF∽△EAD,∴,即,解得:,∴E2(,0);②当交点E在点C的右侧时,∵∠ECF>∠BOA,∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,连结BE,∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,42\n∴CF∥BE,∴,∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,∴△CEF∽△AED,∴,而AD=2BE,∴,即,解得,<0(舍去),∴E3(,0);③当交点E在点O的左侧时,∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO连结BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA,∴CF∥BE,∴,又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,∴△CEF∽△AED,∴,而AD=2BE,∴,∴,解得,<0(舍去),∵点E在x轴负半轴上,∴E4(,0),综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:(,0)、(,0)、(,0)、(,0).(14分)6、(2022年安徽省模拟八)如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心,沿顺时针方向旋转,得到线段AB.过点B作轴的垂线,垂足为E,过点C作轴的垂线,交直线BE于点D,运动时间为秒.(1)当点B与点D重合时,求的值;(2)设△BCD的面积为S,当为何值时,?(3)连接MB,当MB∥OA时,如果抛物线的顶点在△ABM内部(不包括边),求a的取值范围.42\nyxOC备用图yxOABCMD第2题E答案:(1)∵,,∴.∴Rt△CAO∽Rt△ABE.∴,∴,∴.(2)由Rt△CAO∽Rt△ABE可知:,.yxOCx=5ABD第2题解答图E当0<<8时,.∴.当>8时,.∴,(为负数,舍去).当或时,.(3)如图,过M作MN⊥轴于N,则.当MB∥OA时,,.抛物线的顶点坐标为(5,).它的顶点在直线上移动.直线交MB于点(5,2),交AB于点(5,1).∴1<<2.∴<<.7、(2022年湖北荆州模拟5)(本题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧).已知点坐标为(,).(1)求此抛物线的解析式;(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明;(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积.42\n第3题图答案:(1)解:设抛物线为.∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.∴抛物线为.(2)与⊙相交.证明:当时,,.∴为(2,0),为(6,0).∴.设⊙与相切于点,连接,则.∵,∴.又∵,∴.∴∽.∴.∴.∴∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.(3)解:如图,过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).∴.∵,∴当时,的面积最大为.此时,点的坐标为(3,).8.(2022年湖北荆州模拟6)(本题满分12分)在梯形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AC,∠B=450,AD=2,BC=6,以BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点A在y轴上.(3)求过A、D、C三点的抛物线的解析式;(4)求△ADC的外接圆的圆心M的坐标,并求⊙M的半径;(5)E为抛物线对称轴上一点,F为y轴上一点,求当ED+EC+FD+FC最小时,EF的长;(6)设Q为射线CB上任意一点,点P为对称轴左侧抛物线上任意一点,问是否存在这样的点P、Q,使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似?若存在,直接写出点P、Q的坐标,若不存在,则说明理由.42\n第4题图答案:解:(1)由题意知C(3,0)、A(0,3)。过D作x轴垂线,由矩形性质得D(2,3)。由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0).设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).将(0,3)代入得a=-1,所以y=-x2+2x+3.(2)由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC,即yOM=x,∴M(1,1).连MC得MC=,即半径为。(3)由对称性可知:当ED+EC+FD+FC最小时,E为对称轴与AC交点,F为BD与y轴交点,易求F(0,)、E(1,2)∴EF=.(4)可得△ADC中,AD=2,AC=,DC=.假设存在,显然∠QCP<900,∴∠QCP=450或∠QCP=∠ACD.当∠QCP=450时,这时直线CP的解析式为y=x-3或y=-x+3.当直线CP的解析式为y=x-3时,可求得P(-2,-5),这时PC=5.设CQ=x,则,∴x=或x=15.∴Q(-,0)或(-12,0).当y=-x+3即P与A重合时,可求得CQ=2或9,∴Q(1,0)或(-6,0).当∠QCP=∠ACD时,设CP交y轴于H,连ED知ED⊥AC,∴DE=,EC=2,易证:△CDE∽△CHQ,所以HQ/=3/2,∴HQ=3/2.可求HC的解析式为y=1/2x-3/2.联解,得P(-3/2,-9/4),PC=。42\n设CQ=x,知,∴x=15/4或x=27/4,∴Q(-3/4,0)或(-15/4,0).同理当H在y轴正半轴上时,HC的解析式为y=-1/2x+3/2.∴P’(-1/2,7/4),∴PC=。∴,∴CQ=35/12或21/4,所以Q(1/12,0)或(-9/4,0).综上所述,P1(-2,-5)、Q1(-1/3,0)或(-12,0);P2(0,3)、Q2(1,0)或(-6,0);P3(-3/2,-9/4)、Q3(-3/4,0)或(-15/4,0);P4(-1/2,7/4)、Q4(1/12,0)或(-9/4,0).9、(2022年江苏南京一模)(10分)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点P在对角线BD上运动(B、D两点除外),线段PA绕点P顺时针旋转m°(,得线段PQ.(1)若点Q与点D重合,请在图中用尺规作出点P所处的位置(不写作法,保留作图痕迹);(2)若点Q落在边CD上,且∠ADB=n°.①探究m与n之间的数量关系;DBAOC第27题备用图DBAOC第27题图DBAOC第27题备用图②若点P在线段OB上运动,PQ=QD,求n的取值范围.(在备用图中探究)答案:(1)作AD的垂直平分线,交BC于点P。…………………………(3分)(2)①如图,连接PC.由PC=PQ,得∠3=∠4。由菱形ABCD,得∠3=∠PAD。所以得∠4=∠PAD,…………………………(4分)42\n而∠4+∠PQD=180°.所以∠PAD+∠PQD=180°.所以m+2n=180.……………………………(6分)②解法一:∵PQ=QD,∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°.…(7分)而点P在线段BO上运动,∴∠BCD≥∠3≥∠ACD,∴180-2n≥2n≥90-n,………………………(9分)∴30≤n≤45.………………………………(10分)解法二:由PQ=QD,可得∠QPD=∠1,又∠1=∠2,∴∠QPD=∠2,…………………………(7分)∵点P在线段OB上运动,∴∠ABC≤∠APQ且∠APQ≤90°+∠2(或∠ABC≤∠APQ≤90°+∠2)即(或2n≤180-2n≤90+n)……(9分)∴30≤n≤45.…………………………………………(10分10、(2022年惠州市惠城区模拟)如图,在△中,已知,,且△≌△,将△与△重合在一起,△不动,△运动,并且满足:点在边上沿到的方向运动(点与、不重合),且始终经过点,与交于点.(1)求证:△∽△;(2)探究:在△运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出的长;若不能,请说明理由;(3)当线段最短时,求重叠部分的面积.解:(1)∵AB=AC∴∠B=∠C∵△≌△∴∠DEF=∠B∵∠DEF+∠CEM=∠B+∠BAE∴∠CEM=∠BAE∴△∽△……………………………………………(3分)42\n(2)在△运动过程中,重叠部分能构成等腰三角形.……………………………………………(6分)(3)42\n…………………………(9分)11、(2022年广东省珠海市一模)如图,抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣3)(1)求抛物线的对称轴及k的值;(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标;(3)点M是抛物线上的一动点,且在第三象限.①当M点运动到何处时,△AMB的面积最大?求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标;②当M点运动到何处时,四边形AMCB的面积最大?求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标. 题25图解:(1)∵抛物线y=(x+1)2+k与y轴交于点C(0,﹣3),∴﹣3=1+k,∴k=﹣4,∴抛物线的解析式为:y=(x+1)2﹣4,∴抛物线的对称轴为:直线x=﹣1;(2)存在.42\n连接AC交抛物线的对称轴于点P,则PA+PC的值最小,当y=0时,(x+1)2﹣4=0,解得:x=﹣3或x=1,∵A在B的左侧,∴A(﹣3,0),B(1,0),设直线AC的解析式为:y=kx+b,∴,解得:,∴直线AC的解析式为:y=﹣x﹣3,当x=﹣1时,y=﹣(﹣1)﹣3=﹣2,∴点P的坐标为:(﹣1,﹣2);(3)点M是抛物线上的一动点,且在第三象限,∴﹣3<x<0;①设点M的坐标为:(x,(x+1)2﹣4),∵AB=4,∴S△AMB=×4×|(x+1)2﹣4|=2|(x+1)2﹣4|,∵点M在第三象限,∴S△AMB=8﹣2(x+1)2,∴当x=﹣1时,即点M的坐标为(﹣1,﹣4)时,△AMB的面积最大,最大值为8;②设点M的坐标为:(x,(x+1)2﹣4),过点M作MD⊥AB于D,S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD=×3×1+×(3+x)×[4﹣(x+1)2]+×(﹣x)×[3+4﹣(x+1)2]=﹣(x2+3x﹣4)=﹣(x+)2+,∴当x=﹣时,y=(﹣+1)2﹣4=﹣,即当点M的坐标为(﹣,﹣)时,四边形AMCB的面积最大,最大值为.42\n12、(2022北仑区一模)26.(本题14分)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(0,4),∴c=4。-------------------------1分∵顶点在直线x=上,∴,解得。--------------------------------2分∴所求函数关系式为。------------------------------------------------------3分(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴。∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5。----------------------------------------------5分∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),42\n当x=5时,;当x=2时,。∴点C和点D都在所求抛物线上。--------------------------------------------------------------7分(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,则,解得,。∴直线CD对应的函数关系式为。--------------9分当x=时,。∴P()。------------------------------------------------------10分(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD。∴,即,得。设对称轴交x于点F,则∵,,(0<t<4)。--------------------------------------------------------------------------------------------12分∵,,0<<4,42\n∴当时,S取最大值是。-------------------------------------------13分此时,点M的坐标为(0,)。------------------------------------------------14分13、(2022浙江台州二模)24.如图,已知抛物线y=x2–2x+1的顶点为P,A为抛物线与y轴的交点,过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B,与抛物线对称轴交于点O′,过点B和P的直线l交y轴于点C,连结O′C,将△ACO′沿O′C翻折后,点A落在点D的位置.(1)求直线l的函数解析式;(2)求点D的坐标;(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△DQC=S△DPB?若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在请说明理由.【答案】(1)配方,得y=(x–2)2–1,∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为P(2,–1).取x=0代入y=x2–2x+1,得y=1,∴点A的坐标是(0,1).由抛物线的对称性知,点A(0,1)与点B关于直线x=2对称,∴点B的坐标是(4,1).设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),将B、P的坐标代入,有解得∴直线l的解析式为y=x–3.……4分(2)连结AD交O′C于点E,∵点D由点A沿O′C翻折后得到,∴O′C垂直平分AD.由(1)知,点C的坐标为(0,–3),∴在Rt△AO′C中,O′A=2,AC=4,∴O′C=2.据面积关系,有×O′C×AE=×O′A×CA,∴AE=,AD=2AE=.作DF⊥AB于F,易证Rt△ADF∽Rt△CO′A,∴,∴AF=·AC=,DF=·O′A=,又∵OA=1,∴点D的纵坐标为1–=–,∴点D的坐标为(,–).……4分(3)显然,O′P∥AC,且O′为AB的中点,∴点P是线段BC的中点,∴S△DPC=S△DPB.故要使S△DQC=S△DPB,只需S△DQC=S△DPC.42\n过P作直线m与CD平行,则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC,故m与抛物线的交点即符合条件的Q点.容易求得过点C(0,–3)、D(,–)的直线的解析式为y=x–3,据直线m的作法,可以求得直线m的解析式为y=x–.令x2–2x+1=x–,解得x1=2,x2=,代入y=x–,得y1=–1,y2=,所以抛物线上存在两点Q1(2,–1)(即点P)和Q2(,),使得S△DQC=S△DPB.……6分(仅求出一个符合条件的点Q的坐标,扣2分)14、(2022温州模拟)24.(本题14分)如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点C的坐标为(0,-3),B是射线CO上的一个动点,经过B点的直线交x轴于点A(直线AB总有经过第二、四象限),且OA=2OB,动点P在直线AB上,设点P的纵坐标为m,线段CB的长度为t.(1)当t=7,且点P在第一象限时,连接PC交x轴于点D.①直接写出直线AB的解析式;②当CD=PD时,求m的值;③求△ACP的面积S.(用含m的代数式表示)(2)是否同时存在m、t,使得由A、C、O、P为顶点组成的四边形是等腰梯形?若存在,请求出所有满足要求的m、t的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)① ……………2分②过P作PH⊥OA交OA于H当CD=PD时,△COD≌△PHD ……………1分∴PH=OC,即m=3 ……………1分③由PH∥OB,得△APH∽△ABO∴,即∴AH=2m,即OH=8-2m∴S△BCP=×7×(8-2m)=28-7m ……………2分42\n∴S=S△ABC-S△BCP=28-(28-7m)=7m ……………2分(2)①当B运动在y轴的正半轴上时..当点P在第一象限时,如图1,若四边形OCAP是等腰梯形,则AP=OC=3,由△APH∽△ABO,得,即 ……………………1分由∠BCA=∠BAC,得BA=BC=t在Rt△AOB中,AB=OB,即t=(t-3)∴ ……………………1分(注:t的值没有化简的不扣分).当点P在第二象限时,如图2,四边形AOPC为凹四边形(或说明两组对边都相交),不可能为等腰梯形;.当点P在第四象限时,如图3,四边形OAPC中有一个角为直角,不可能为等腰梯形.(图3)(图2)(图1)②当B运动在OC之间时..当点P在第二象限时,如图4,四边形OACP为凹四边形(或说明两组对边都相交),不可能为等腰梯形;.当点P在第三象限时,如图5,四边形OACP为凹四边形(或说明两组对边都相交),不可能为等腰梯形;.当点P在第四象限时,如图6,若四边形OACP是等腰梯形,则AP=OC=3,由△APH∽△ABO,得,即 …………………1分由∠BCA=∠BAC,得BA=BC=t(备用图)42\n15、(2022浙江永嘉一模)24.(本题14分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.动点P从点A出发沿AC向终点C运动,同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动,到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回.点P,Q运动速度均为每秒1个单位长度,当点P到达点C时停止运动,点Q也同时停止.连结PQ,设运动时间为t(t>0)秒.(1)求线段AC的长度;(2)当点Q从B点向A点运动时(未到达A点),求△APQ的面积S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;(3)伴随着P,Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l:①当l经过点A时,射线QP交AD于点E,求AE的长;②当l经过点B时,求t的值.【答案】解:(1)在矩形ABCD中,……2分(2)如图①,过点P作PH⊥AB于点H,AP=t,AQ=3-t,由△AHP∽△ABC,得,∴PH=,……2分,…………2分.…………1分图②(3)①如图②,线段PQ的垂直平分线为l经过点A,则AP=AQ,即3-t=t,∴t=1.5,∴AP=AQ=1.5,…………………………1分延长QP交AD于点E,过点Q作QO∥AD交AC于点O,则,,∴PO=AO-AP=1.由△APE∽△OPQ,得.……2分42\n②(ⅰ)如图③,当点Q从B向A运动时l经过点B,BQ=CP=AP=t,∠QBP=∠QAP∵∠QBP+∠PBC=90°,∠QAP+∠PCB=90°∴∠PBC=∠PCBCP=BP=AP=t∴CP=AP=AC=×5=2.5 ∴t=2.5.………2分(ⅱ)如图④,当点Q从A向B运动时l经过点B,BP=BQ=3-(t-3)=6-t,AP=t,PC=5-t,过点P作PG⊥CB于点G由△PGC∽△ABC,得,BG=4-=由勾股定理得,即,解得.………2分16、(2022山东德州特长展示)(本小题满分12分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,tan∠BAC=,将∠ABC对折,使点C的对应点H恰好落在直线AB上,折痕交AC于点O,以点O为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系(1)求过A、B、O三点的抛物线解析式;(2)若在线段AB上有一动点P,过P点作x轴的垂线,交抛物线于M,设PM的长度等于d,试探究d有无最大值,如果有,请求出最大值,如果没有,请说明理由.(3)若在抛物线上有一点E,在对称轴上有一点F,且以O、A、E、F42\n为顶点的四边形为平行四边形,试求出点E的坐标.BACOHxy解:(1)在Rt△ABC中,∵BC=3,tan∠BAC=,∴AC=4.∴AB=.设OC=m,连接OH,如图,由对称性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,∴AH=AB-BH=2,OA=4-m.∴在Rt△AOH中,OH2+AH2=OA2,即m2+22=(4-m)2,得m=.∴OC=,OA=AC-OC=,∴O(0,0)A(,0),B(-,3).…………………………………………2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为:y=ax(x-).把x=,y=3代入解析式,得a=.∴y=x(x-)=.即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=.…………………………4分(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,根据题意得:-解之得k=-,b=.∴直线AB的解析式为y=.………………………………………………6分设动点P(t,),则M(t,).………………………………7分42\n∴d=()—()=—=∴当t=时,d有最大值,最大值为2.………………………………………………8分yBACOHxE2E1E3D(3)设抛物线y=的顶点为D.∵y==,∴抛物线的对称轴x=,顶点D(,-).根据抛物线的对称性,A、O两点关于对称轴对称.①当AO为平行四边形的对角线时,抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形.这时点D即为点E,所以E点坐标为().……………………………………………………………………………10分②当AO为平行四边形的边时,由OA=,知抛物线存在点E的横坐标为或,即或,分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中,得点E(,)或E(-,).所以在抛物线上存在三个点:E1(,-),E2(,),E3(-,),使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形.……………………………………………12分17、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,DE=2,线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始),速度为每秒1个单位,当端点E到达点C时运动停止.F为DE中点,MF⊥DE交AB于点M,MN∥AC交BC于点N,连接DM、ME、EN.设运动时间为t秒.(1)求证:四边形MFCN是矩形;(2)设四边形DENM的面积为S,求S关于t的函数解析式;当S取最大值时,求t的值;(3)在运动过程中,若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似,求t的值.ABCDEMFN备用图42\n(1)证明:∵MF⊥AC,∴∠MFC=90°.…………1分∵MN∥AC,∴∠MFC+∠FMN=180°.∴∠FMN=90°.…………2分∵∠C=90°,∴四边形MFCN是矩形.…………3分(若先证明四边形MFCN是平行四边形,得2分,再证明它是矩形,得3分)(2)解:当运动时间为t秒时,AD=t,∵F为DE的中点,DE=2,∴DF=EF=DE=1.∴AF=t+1,FC=8-(t+1)=7-t.ABCDEMFN∵四边形MFCN是矩形,∴MN=FC=7-t.…………4分又∵AC=BC,∠C=90°,∴∠A=45°.∴在Rt△AMF中,MF=AF=t+1,…………5分∴S=S△MDE+S△MNE=DE·MF+MN·MF=×2(t+1)+(7-t)(t+1)=-t2+4t+…………6分∵S=-t2+4t+=-(t-4)2+∴当t=4时,S有最大值.…………7分(若面积S用梯形面积公式求不扣分)(3)解:∵MN∥AC,∴∠NME=∠DEM.…………8分①当△NME∽△DEM时,∴=.…………9分∴=1,解得:t=5.…………10分②当△EMN∽△DEM时,∴=.…………11分∴EM2=NM·DE.在Rt△MEF中,ME2=EF2+MF2=1+(t+1)2,∴1+(t+1)2=2(7-t).解得:t1=2,t2=-6(不合题意,舍去)42\n综上所述,当t为2秒或5秒时,以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似.……12分18、(2022河南沁阳市九年级第一次质量检测)(11分)以原点为圆心,为半径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为.(1)如图一,动点Q从点B处出发,沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为t秒,当时,直线PQ恰好与⊙O第一次相切,连接OQ.求此时点Q的运动速度(结果保留);(2)若点Q按照⑴中的方向和速度继续运动,①为何值时,以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形;②在①的条件下,如果直线PQ与⊙O相交,请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.(补充说明:直角三角形中,如果一条直角边长等于斜边长的一半,那么这条直角边所对的角等于30°.)解:(1)连接OQ,则OQ⊥PQOQ=1,OP=2,所以,可得所以点Q的运动速度为/秒.3分(2)由(1)可知,当t=1时,△OPQ为直角三角形所以,当Q’与Q关于x轴对称时,△OPQ’为直角三角形此时,当Q’(0,-1)或Q’(0,1)时,,此时或即当,或时,△OPQ是直角三角形.7分当或时,直线PQ与⊙O相交.作OM⊥PQ,根据等面积法可知:PQ×OM=OQ×OPPQ=42\nQM弦长.11分19、(2022年湖北省武汉市中考全真模拟)(本题满分10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P为边AC上一个点(可以包括点C但不包括点A),以P为圆心PA为半径作⊙P交AB于点D,过点D作⊙P的切线交边BC于点E.(1)求证:BE=DE;(2)若PA=1,求BE的长;(3)在P点的运动过程中,请直接写出线段BE长度的取值范围为.、⑴证:连接PD.∵DE切⊙O于D.∴PD⊥DE.∴∠BDE+∠PDA=90°.∵∠C=90°.∴∠B+∠A=90°.∵PD=PA.∴∠PDA=∠A.∴∠B=∠BDE.∴BE=DE⑵连PE,设DE=BE=X,则EC=4-X.∵PA=PD=1,AC=3.∴PC=2.∵∠PDE=∠C=90°∴ED+PD=EC+CP=PE.∴x+1=(4-x)+2.解得x=.∴BE=⑶≤BC<20、(2022年湖北省武汉市中考全真模拟)(本题满分12分)如图1,抛物线:与直线AB:交于x轴上的一点A,和另一点B(3,n).(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上的一个动点(点P在A,B两点之间,但不包括A,B两点),PM⊥AB于点M,PN∥y轴交AB于点N,在点P的运动过程中,存在某一位置,使得△PMN的周长最大,求此时P点的坐标,并求△PMN周长的最大值;(3)如图2,将抛物线绕顶点旋转180°后,再作适当平移得到抛物线,已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上,且抛物线与抛物线交于点D,过D点作轴的平行线交抛物线于点F,过E点作轴的平行线交抛物线42\n于点G,是否存在这样的抛物线,使得四边形DFEG为菱形?若存在,请求E点的横坐标;若不存在请说明理由.、解:⑴由题意得:A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D,则D(0,),∴OA=1,OD=,AD=,∴=,∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为:y=-(x-)+,为:y=(x-n)+t.∵E在抛物线上,∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2(n-).∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得:n=.42\n∴t=-.∴存在点E,坐标为E(,-).21.(2022郑州外国语预测卷)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:如图1,等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;(2)当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决:小颖的想法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2);小亮的想法:将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3);请你从中任选一种方法进行证明;(3)小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究:当135°<α<180°时(如图4),等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.答案:解:(1)证明:∵∠BAC=90º,∠DAE=∠DAM+∠MAE=45º,∴∠BAD+∠EAC=45º。又∵AD平分∠MAB,∴∠BAD=∠DAM。∴∠MAE=∠EAC。∴AE平分∠MAC。(2)证明小颖的方法:∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,∴AF=AB,∠AFD=∠B=45º,∠BAD=∠FAD。又∵AC=AB,∴AF=AC。由(1)知,∠FAE=∠CAE。在△AEF和△AEC中,∵AF=AC,∠FAE=∠CAE,AE=AE,∴△AEF≌△AEC(SAS)。∴CE=FE,∠AFE=∠C=45º。∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90º。在Rt△OCE中,DE2+FE2=DE2,∴BD2+CE2=DE2。(3)当135º<<180º时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立。证明如下:如图,按小颖的方法作图,设AB与EF相交于点G。42\n∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,∴AF=AB,∠AFD=∠ABC=45º,∠BAD=∠FAD。又∵AC=AB,∴AF=AC。又∵∠CAE=900-∠BAE=900-(45º-∠BAD)=45º+∠BAD=45º+∠FAD=∠FAE。在△AEF和△AEC中,∵AF=AC,∠FAE=∠CAE,AE=AE,∴△AEF≌△AEC(SAS)。∴CE=FE,∠AFE=∠C=45º。又∵在△AGF和△BGE中,∠ABC=∠AFE=45º,∠AGF=∠BGE,∴∠FAG=∠BEG。又∵∠FDE+∠DEF=∠FDE+∠FAG=(∠ADB+∠DAB)=∠ABC=90º。∴∠DFE=90º。在Rt△OCE中,DE2+FE2=DE2,∴BD2+CE2=DE2。22.(2022江西饶鹰中考模拟)某校九年级(1)班数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边边的中点上,从BC边开始绕点A顺时针旋转,其中三角板两条直角边所在的直线分别AB、AC于点E、F.42\n(1)小明在旋转中发现:在图1中,线段与相等。请你证明小明发现的结论;(2)小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上,从BC边开始绕点A顺时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.当0°<α≤45°时,小明在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决:小颖的方法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2);小亮的方法:将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3).请你从中任选一种方法进行证明;AOBEFABCDEG图3ABCDEF图2(3)小明继续旋转三角板,在探究中得出:当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立.现请你继续探究:当135°<α<180°时(如图4),等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.ABC图4答案:(1)连接AO.∵∠ABC=90°,AB=AC且O是BC的中点,42\n∴AO=BO,∠OAE=∠C=45°∵∠AOE+∠AOF=∠AOF+∠COF=90°,∴∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF(2)证明小颖的方法:∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,∴AF=AB,∠AFD=∠B=45º,∠BAD=∠FAD。又∵AC=AB,∴AF=AC。由(1)知,∠FAE=∠CAE。在△AEF和△AEC中,∵AF=AC,∠FAE=∠CAE,AE=AE,∴△AEF≌△AEC(SAS)。∴CE=FE,∠AFE=∠C=45º。∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90º。在Rt△OCE中,DE2+FE2=DE2,∴BD2+CE2=DE2。(3)当135º<<180º时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立。证明如下:如图,按小颖的方法作图,设AB与EF相交于点G。∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,∴AF=AB,∠AFD=∠ABC=45º,∠BAD=∠FAD。又∵AC=AB,∴AF=AC。又∵∠CAE=900-∠BAE=900-(45º-∠BAD)=45º+∠BAD=45º+∠FAD=∠FAE。在△AEF和△AEC中,∵AF=AC,∠FAE=∠CAE,AE=AE,∴△AEF≌△AEC(SAS)。∴CE=FE,∠AFE=∠C=45º。又∵在△AGF和△BGE中,∠ABC=∠AFE=45º,∠AGF=∠BGE,∴∠FAG=∠BEG。42\n又∵∠FDE+∠DEF=∠FDE+∠FAG=(∠ADB+∠DAB)=∠ABC=90º。∴∠DFE=90º。在Rt△OCE中,DE2+FE2=DE2,∴BD2+CE2=DE2。23、(2022年广西梧州地区一模)如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,点在边BA上以每秒2个单位的速度由B向A移动,过E作EF∥BC交AC于F,再过F作FD∥AB交BC于D,设E移动的时间为x(秒),EF为y.①求y与x之间的函数关系式.②当x=时,四边形BDFE是菱形.(3)设四边形BDFE的面积为S,求S与x之间的函数关系式;并求E在AB边上何处时,四边形BDFE的面积最大?最大面积是多少?解:(1)∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴∴42\n∴……………3分(2)………………5分(3)在△ABC中∵AB=6,AC=8,BC=10∴AB2+AC2=BC2∴∠BAC=90°作EG⊥BD于G在△ABC和△GBE中∠ABC=∠GBE∠BAC=∠BGE∴△ABC∽△GBE∴∴∴………………8分∴=……………………10分∴当x=1.5时,S的最大值为12此时2x=3当点E在AB的中点时,四边形BDEF的面积最大,最大面积值为12…………………………12分24.(2022年杭州拱墅区一模)如图,在Rt△AOB中,已知AO=6,BO=8,点E从A点出发,向O点移动,同时点F从O点出发沿OB-BA向点A移动,点E的速度为每秒1个单位,点F的速度为每秒3个单位,当其中一点到达终点时,另一点随即停止移动.设移动时间为x秒:(1)当x=2时,求△AEF的面积;(2)当EF∥BO时,求x的值;42\n(3)设△AEF的面积为y,求出y关于x的函数关系式.(1)当x=2时,AE=2,OF=6,∴S△APQ=6--------------------------------------------3分(2)∵Rt△AOB中,已知AO=6,BO=8,∴AB=10当EF∥BO时,△AEF∽△ABO,∴,解得------------------------3分(3)当F与B重合时,,∴分两段讨论:①0<x≤时,F在OB上移动,--------------------3分(含x范围1分,如果没有分段,应写出取值范围)②<x≤6时,过F作OA的垂线FH,则FH∥OB,则即,∴FH=∴=-----------------------------------------3分(含x范围1分,如果没有分段,应写出取值范围)25、(2022年湖北武汉模拟)(本题满分10分)已知:四边形为正方形,为延长线上的一点,为直线上的一动点,过点E作直线,分别交直线CD和直线AB于M、N两点.(1)如图1,当tan∠CDP=,E为PD的中点时,=;(2)如图2,当E点在DP的延长线上,且tan∠CDP=,时,求的值;(3)如图3,若E点在PD的延长线上,MN⊥PE于E,在EN上截取EG=ED试问:DM·PB与MN·MG有何种数量关系?为什么?42\n答案:24、(1)(提示:过作直线平行于,分别交、于点,);(2)同(1)的方法可得:=(3)DM·PB=MN·MG.证明提示:连结BD,证PD=MN,证△PBD∽△MDG,26.(2022年江苏无锡崇安一模)(本题满分10分)如图,△ABC中,∠C=90º,AC=3,BC=4.点D从C点出发沿射线CA以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时点E从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动,当点E到达B点时D、E都停止运动.点M是DE的中点,直线MN⊥DE交直线BC于点N,点M′与M点关于直线BC对称.点D、E的运动时间为t(秒).(1)当t=1时,AD=___________,△ADE的面积为;(2)设四边形BCDE的面积为S,当0<t<3时,求S与t的函数关系式;(3)当直线MN与△ABC的一边垂直时,求t的值;(4)当△MNM′为等腰直角三角形时,直接写出t的值.ACBNMEDM′答案:28.(共10分)(1)2,…………………………………………………………(2分)(2)当0<t<3时,AE=t,AD=3-t………………………………………(3分)42\nS=×t(3-t)=-t2+t…………………………………………………(4分)(3)由MN⊥DE,若直线MN与△ABC的一边垂直,则有3种情形:①DE∥BC,此时MN⊥BC,DE⊥AC,由t+t=3,解得t=………(5分)②当t=0时,MN⊥AC;③当t=3时,DE在AB上,MN⊥AB.…………………………………(6分)(4)当0<t≤3时,如图1,t+t+t=3,得t=…………………………(8分)当3<t≤5时,如图2,t-t+t=3,得t=………………………(10分)42
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