第八章 圆第二十二讲 圆的有关性质1.(2022福建中考)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是( D )A.∠ADC B.∠ABDC.∠BACD.∠BAD,(第1题图)) ,(第2题图))2.如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O切线.A为切点,BC经过圆心.若∠B=20°,则∠C的大小等于( D )A.20° B.25° C.40° D.50°3.如图,在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,若∠C=25°,则∠BOD的度数是( D )A.25°B.30°C.40°D.50°,(第3题图)) ,(第4题图))4.(2022西宁中考)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( C )A.B.2C.2D.85.(2022泸州中考)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( B )A.B.2C.6D.8,(第5题图)) ,(第6题图))6.如图,一个台球从点C射向球桌边沿AB上的点Q,然后反射出去,正好碰到在点D的另一个球.如果C,D两点正好在以AB为直径的半圆弧上(O是圆心),连接OC,OD,CD.下面有四个结论:①∠AQC=∠BQD;②∠CQD=∠COD;③∠AOC=∠CDQ;④AQ·BQ=CQ·DQ.那么,其中正确的结论是__①③④__.7.(2022甘肃中考)如图,△ABC内接于⊙O,若∠OAB=32°,则∠C=__58°__.,(第7题图)) ,(第8题图))5\n8.(2022包头中考)如图,点A,B,C为⊙O上的三个点,∠BOC=2∠AOB,∠BAC=40°,则∠ACB=__20__°.9.(2022北京中考)如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上的点,AD=CD.若∠CAB=40°,则∠CAD=__25°__.,(第9题图)) ,(第10题图))10.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=,延长AF交⊙O于点E,连结AD,DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:①△ADF∽△AED;②FG=2;③tanE=;④S△DEF=4.其中正确的是__①②④__.(写出所有正确结论的序号)11.如图,AB为⊙O的弦,AB=8,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=1,求⊙O的半径.解:连结OA.∵OC⊥AB,∴AD=DB=AB=4.设⊙O的半径为r,则OD=r-1.在Rt△OAD中,OA2=AD2+OD2,∴r2=(r-1)2+42整理,得2r=17,∴r=.∴圆的半径是.12.(2022临沂中考模拟)如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连结AD.(1)求证:AD=AN;(2)若AB=4,ON=1,求⊙O的半径.解:(1)∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角,∴∠BAD=∠BCD,∵AE⊥CD,AM⊥BC,∴∠AMC=∠AEN=90°.5\n∵∠ANE=∠CNM,∴∠BCD=∠BAM,∴∠BAM=∠BAD.在△ANE与△ADE中,∵∴△ANE≌△ADE,∴AD=AN;(2)连结AO.∵AB=4,AE⊥CD,∴AE=2.又∵ON=1,∴设NE=x,则OE=x-1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x-1,则AO=OD=2x-1.∵△AOE是直角三角形,AE=2,OE=x-1,AO=2x-1,∴(2)2+(x-1)2=(2x-1)2,解得x1=2,x2=-(舍去).∴r=2x-1=3.13.(2022和平二模)已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,在BC上取一点O,以O为圆心,OB为半径作圆,且⊙O过A点.(1)如图①,若⊙O的半径为5,求线段OC的长;(2)如图②,过点A作AD∥BC交⊙O于点D,连结BD,求的值. 图① 图②解:(1)∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵OA=OB,∴∠BAO=∠B=30°,∴∠AOC=30°+30°=60°,∴∠OAC=90°.∵OA=5,∴OC=2AO=10;(2)连结OD.∵∠AOC=60°,AD∥BC,∴∠DAO=∠AOC=60°.∵OD=OA,∴∠ADO=60°,5\n∴∠DOB=∠ADO=60°.∵OD=OB,∴△DOB是等边三角形,∴BD=OB=OA.在Rt△OAC中,tanC=tan30°==,即=.14.如图,在⊙O上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,已知⊙O半径为,tan∠ABC=,则CQ的最大值是( D )A.5 B. C. D.15.在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.(1)如图①,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图②,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.,图①) ,图②)解:(1)连结OQ.∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB.在Rt△OBP中,∵tanB=,∴OP=3tan30°=.在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==;(2)连结OQ.在Rt△OPQ中,PQ==,当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,5\n∴PQ长的最大值为=.5