山东省17市2022年中考数学试题分类解析汇编 专题12 押轴题

山东17市2022年中考数学试题分类解析汇编专题12押轴题江苏泰州锦元数学工作室编辑一、选择题1.（2022年山东滨州3分）如图，二次函数（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2．其中正确的个数是【】　A．1B．2C．3D．42.（2022年山东东营3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有【】82\nA.4个B.3个C.2个D.1个3.（2022年山东菏泽3分）已知b＜0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于【】　A．－2B．－1C．1D．2【答案】C。【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，数82\n4.（2022年山东济南、德州3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到矩形的边时，点P的坐标为【】A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）【答案】D。【考点】探索规律题（图形的变化类），跨学科问题，点的坐标。【分析】如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6=335…3，5.（2022年山东济宁3分）82\n如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为【】　A．4B．C．6D．【分析】连接OD，∵DF为圆O的切线，∴OD⊥DF。∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形。∴OD∥AB。又O为BC的中点，∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线。则根据勾股定理得：FG=。故选B。6.（2022年山东莱芜3分）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为【】82\n∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，不相等，故排除A、C。故选B。7.（2022年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【】　A．2B．4C．8D．1682\n8.（2022年山东临沂3分）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为【】82\n9.（2022年山东青岛3分）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为【】A、B、（m，n）C、D、82\n10.（2022年山东日照4分）如图，已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2.下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1.其中正确的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个82\n11.（2022年山东泰安3分）观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…解答下列问题：3+32+33+34…+32022的末位数字是【】A．0B．1C．3D．712.（2022年山东威海3分）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是【】82\nA.m=﹣3nB.C.D.【答案】A。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法的应用，含30度直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B坐标为（b，），则OE=﹣b，BE=，OF=a，AF=，∵∠OAB=30°，∴OA=OB。13.（2022年山东潍坊3分）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则x的取值可以是【】.A.40B.45C.51D.5614.（2022年山东烟台3分）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是【】82\nA．AE=6cmB．C．当0＜t≤10时，D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形【答案】D。【考点】动点问题的函数图象。【分析】（1）结论A正确，理由如下：82\n15.（2022年山东枣庄3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为【】A.B.C.D.16.（2022年山东淄博4分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为【】A．B．C．3D．482\n二、填空题1.（2022年山东滨州4分）观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为▲．2.（2022年山东东营4分）如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……按此作法继续下去，则点A2022的坐标为▲.82\n【答案】。3.（2022年山东菏泽3分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=　▲　．【分析】如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC。∴∠M=∠CBM。82\n∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM。∴∠M=∠PBM。∴BP=PM。∴EP+BP=EP+PM=EM。4.（2022年山东济南、德州4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=．其中正确的序号是　▲　（把你认为正确的都填上）．∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF。∴CE=CF。∴①说法正确。∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形。∴∠CEF=45°。∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°。∴②说法正确。如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF。∵∠CAD≠∠DAF，∴DF≠FG。∴BE+DF≠EF。∴③说法错误。∵EF=2，∴CE=CF=。82\n5.（2022年山东济宁3分）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有▲盏灯．6.（2022年山东莱芜4分）已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2022位上的数字为　▲　．7.（2022年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为▲（用n表示）82\n8.（2022年山东临沂3分）对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=　▲　．9.（2022年山东青岛3分）要把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面现成的，其它三个面必须用刀切3次才能切出来，那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要要刀切▲次，分割成64个小正方体，至少需要用刀切▲次。【答案】6；9。【考点】探索规律题（图形的变化类），立方体的分割。10.（2022年山东日照4分）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为▲.82\n11.（2022年山东泰安3分）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为▲（取，结果精确到0.1海里）．82\n12.（2022年山东威海3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2022的坐标为　▲　．82\n13.（2022年山东潍坊3分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB=900，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F.现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1.若△E1FA1∽△E1BF，则AD=▲.82\n14.（2022年山东烟台3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为　▲　．15.（2022年山东枣庄4分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=▲.82\n【分析】∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形。又∵AB=1，∴AF=AB=EF=1。设AD=x，则FD=x－1。∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即。16.（2022年山东淄博4分）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2022个格子中的整数是▲．－4abc6b－2…三、解答题1.（2022年山东滨州10分）82\n某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，2.（2022年山东滨州12分）根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为300．①求直线l3的函数表达式；②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转900得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线垂直的直线l5的函数表达式．【答案】解：（1）根据题意得：y=－x。（2）①设直线l3的函数表达式为y=k1x（k1≠0），82\n∵过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为300，直线过一、三象限，∴k1=tan300=，∴直线l3的函数表达式为。；3.（2022年山东东营10分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.82\n82\n4.（2022年山东东营12分）已知抛物线的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．（3）在（2）的基础上，设直线x=t（0<t<10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．82\n∴MN=，82\n5.（2022年山东菏泽10分）已知：关于x的一元二次方程（k是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．解方程得，∴x=3或x=。82\n6.（2022年山东菏泽10分）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？82\n∴。∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时。∴当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为。【考点】二次函数综合题，双动点问题，等腰三角形和平行四边形的性质，待定系数法的应82\n7.（2022年山东济南、德州10分）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．【答案】解：（1）完成图形，如图所示：82\n（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴BD=100米。连接CD，则由（2）可得BE=CD。∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°。在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，根据勾股定理得：（米）。8.（2022年山东济南、德州12分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．82\n82\n2，3）。②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：。82\n9.（2022年山东济宁8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC=BO•OA．82\n10.（2022年山东济宁12分）如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．82\n∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，82\n如图2，当＜t≤4时，Q在P点的右边，82\n11.（2022年山东莱芜10分）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．【答案】解：（1）PN与⊙O相切。证明如下：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN。∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO。82\n12.（2022年山东莱芜12分）如图，抛物线（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；82\n（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．∴。82\n若PN=3NA，则，即m2﹣7m﹣30=0。解得m=﹣3（舍去）或m=10。82\n13.（2022年山东聊城10分）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．【答案】证明：（1）连接OC，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB。∵CD⊥AB，∴AF∥CD。82\n14.（2022年山东聊城12分）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．82\n+10。15.（2022年山东临沂11分）82\n如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　▲　；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．【答案】解：（1）。（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN。∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN。又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF。∴。82\n∴△APE≌△PCF（ASA）。∴PE=CF。82\n在Rt△PCF中，，∴。（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值。与（1）（2）问相比较，的值发生了变化。　16.（2022年山东临沂13分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得。∴抛物线的解析式为：。（2）∵，∴其对称轴为直线x=2。连接BC，如图1所示，82\n二次函数的性质，轴对称的应用（最短线段问题），平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，分类思想的应用。82\n17.（2022年山东青岛10分）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。【研究速算】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40＋7＋3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2022，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果。82\n归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）▲.【研究方程】提出问题：怎么图解一元二次方程几何建模：（1）变形：（2）画四个长为，宽为的矩形，构造图④（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积即：∵∴∴∵∴归纳提炼：求关于的一元二次方程的解82\n要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎么运用矩形面积表示与的大小关系（其中）？几何建模：（1）画长，宽的矩形，按图⑤方式分割（2）变形：（3）分析：图⑤中大矩形的面积可以表示为；阴影部分面积可以表示为，画点部分的面积可表示为，由图形的部分与整体的关系可知：＞，即＞归纳提炼：当，时，表示与的大小关系根据题意，设，，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）82\n82\n18.（2022年山东青岛12分）已知，如图，ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1），解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由82\n82\n82\n19.（2022年山东日照10分）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：x3000320035004000y100969080（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:租出的车辆数▲.未租出的车辆数▲.租出每辆车的月收益▲.所有未租出的车辆每月的维护费▲.（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．82\n20.（2022年山东日照14分）已知，如图(a)，抛物线经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N。∠ONE=30°，。（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b）,点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。82\n（2）如图，由抛物线的对称性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA。若在抛物线对称性的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似，82\n同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点。∴在该抛物线上不存在点P，使得△ABP与△ADB相似。82\n21.（2022年山东泰安11分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．∴∠AFD=∠AFB。∵∠AFB=∠AFE，∴∠AFD=∠CFE。（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD。82\n22.（2022年山东泰安12分）如图，抛物线与y轴交于点C（0，－4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值；（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．82\n82\n23.（2022年山东威海11分）操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．82\n24.（2022年山东威海12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线y=x交于点A，点B在直线上，∠BOA=90°．抛物线过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．82\n∴点B的坐标是（﹣1，1）。综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）。（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1），∵抛物线过点A，O，B，82\n∵FE∥x轴，点E的坐标为（，），∴点F的纵坐标是。把y=代入，得x=，∴点F的坐标是（，），82\n25.（2022年山东潍坊12分）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中米，∠BAC=600.设EF=x米，DE=y米.（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的？82\n列方程求解即可。26.（2022年山东潍坊13分）如图，抛物线关于直线82\n对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D在抛物线上，直线是一次函数的图象，点O是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于M、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.∴抛物线的解析式为，即。（2）由（1）知，令x=0，得C(0,)，82\n82\n27.（2022年山东烟台10分）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　▲　，QE与QF的数量关系式　▲　；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【答案】解：（1）AE∥BF，QE=QF。（2）QE=QF，证明如下：如图，延长FQ交AE于D，∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。82\n28.（2022年山东烟台12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（，0），以OC为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；82\n（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．∴该二次函数的解析式为：。（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，由题意，得，∴。∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，∴△EGD∽△ECB。82\n82\n29.（2022年山东枣庄10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AC2=AD·AB；（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=300，求图中阴影部分的面积．∵在Rt△ACD中，AD=AC=1。82\n30.（2022年山东枣庄14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.82\n82\n31.（2022年山东淄博9分）△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A（4，0），D（10，0）．（1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB为半径的⊙B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；（3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，当点C的坐标为C时，求∠ODB的正切值．82\n，解得：。∴B（5，）。过点B作BQ⊥x轴于点Q，82\n32.（2022年山东淄博9分）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．【答案】解：（1）正方形的最大面积是16。理由如下：设AM=x（0≤x≤4），则MD=4﹣x。82\n82