北京市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

北京市2022-2022年中考数学试题分类解析专题12押轴题一、选择题1.（2022年北京市4分）已知梯形的上底长是3cm，它的中位线长是4cm，则它的下底长等于【】A．3cmB．3.5cmC．5cmD．5.5cm2.（2022年北京市4分）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=4，则AE：EF：FB为【】3.（2022年北京市4分）三峡工程在6月1日于6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h（米）随时间t（天）变化的是【】A.63\n4.（2022年北京市4分）如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是【】5.（2022年北京市4分）如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是【】63\n6.（2022年北京市大纲4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，AB=，BC=2，P是BC边上的一个动点(点P与点B不重合)，DE⊥AP于点E。设AP=x，DE=y。在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是【】7.（2022年北京市课标4分）将如图所示的圆心角为的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【】63\n8.（2022年北京市4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【】9.（2022年北京市4分）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【】10.（2022年北京市4分）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=，DE=，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是【】63\n11.（2022年北京市4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是【】12.（2022年北京市4分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=ｘ，CE=ｙ，则下列图象中，能表示与x的函数关系图象大致是【】63\n13.（2022年北京市4分）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【】A．点MB．点NC．点PD．点Q63\n二、填空题1.（2022年北京市4分）已知两圆内切，圆心距为2cm，其中一个圆的半径为3cm，那么另一个圆的半径为▲cm．2.（2022年北京市4分）一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m63\n，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、外径Φ的长分别为3.2cm，4.0cm，则该种保鲜膜的厚度约为▲cm（π取3.14，结果保留两位有效数字）．3.（2022年北京市4分）观察下列顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41…猜想：第n个等式（n为正整数）应为▲。4.（2022年北京市4分）我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（S为常数，S≠0）．63\n请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：▲；函数关系式：▲．5.（2022年北京市4分）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，则∠BCA的度数为▲　．6.（2022年北京市大纲4分）如果，，那么的值等于▲。7.（2022年北京市课标4分）如图，在△ABC中，AB=AC．M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为▲．63\n8.（2022年北京市4分）下图是对称中心为点O的正六边形。如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O（使角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能的值是▲。9.（2022年北京市4分）一组按规律排列的式子：，，，，…（63\n），其中第7个式子是▲，第个式子是▲（为正整数）．10.（2022年北京市4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=▲;若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（,且n为整数），则A′N=▲（用含有n的式子表示）63\n11.（2022年北京市4分）下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是▲；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是▲；当字母C第次出现时（为正整数），恰好数到的数是▲（用含的代数式表示）.12.（2022年北京市4分）在下表中，我们把第i行第j列的数记为i，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数i，j，规定如下：当i≥j时，i，j=1；当i＜j时，i，j=0．例如：当i=2，j=1时，i，j=2，1=1．按此规定，1，3=　▲　；表中的25个数中，共有　▲　个1；计算1，1•i，1+1，2•i，2+1，3•i，3+1，4•i，4+1，5•i，5的值为　▲　．1，11，21，31，41，52，12，22，32，42，53，13，23，33，43，54，14，24，34，44，55，15，25，35，45，51，1=11，2=01，3=01，4=01，5=063\n2，1=12，2=12，3=02，4=02，5=03，1=13，2=13，3=13，4=03，5=04，1=14，2=14，3=14，4=14，5=05，1=15，2=15，3=15，4=15，5=1【答案】0，15，1。【考点】探索规律题（数字的变化类）。【分析】由题意，从i与j之间大小分析，很容易求出表中各数：从而得出1，3=0。表中的25个数中，共有15个1。并计算：1，1·i，1+1，2·i，2+1，3·i，3+1，4·i，4+1，5·i，5=1·1+0·i，2+0·i，3+0·i，4+0·i，5=1。13.（2022年北京市4分）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是▲；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=（用含n的代数式表示．）∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12n－3－3）÷2=6n－3。三、解答题63\n1.（2022年北京市10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B，（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．设BC=m，同理可求得AD=m。∵AB是直径，∴△ACB、△ADB是直角三角形.∴由勾股定理，得：，即，解得m=6。∴BC=6，AD=2。63\n∴。【考点】圆周角定理，切线的判定，相交弦定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）要证PA是⊙O的切线，只要证∠PAO=90°即可，∵AB为直径，∴∠CAB+∠CBA=90°，又∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°即PA是⊙O的切线。（2）连接AD、BD；可设CE=6x，AE=2y，进而根据已知条件，用x、y表示出DE、BE的长，由相交弦定理，即可求得x、y的比例关系；易证得△AEC∽△BED，根据所得成比例线段，即可求得BD的长，同理可设BC=m，由△BEC∽△DEA，求得AD的表达式；在Rt△ADB和Rt△ACB中，可由勾股定理分别表示出AB2，即可得到关于m的方程，从而求出m的值，即BC的长，即可由勾股定理求得AB的长。根据圆周角定理知：∠ECB=∠DAB，因此只需在Rt△ABD中，求出∠DAB的正切值即可。2.（2022年北京市12分）已知抛物线(n＜0)经过点以点A（x1，0）B（x2，0），D（0，y1），其中x1＜x2，△ABD的面积等于12．（1）求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标；（2）如果点以C（2，y2）在这条抛物线上，点P在y轴的正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线PB的解析式．63\n∴P1（0，），符合题意。直线P1B的解析式为。②如图2，设P2（0，m2），满足P2B=BC，其中m2＞0。由勾股定理得，，即，解得m2=－2（舍去），m2=2。∴P2（0，2），符合题意，直线P2B的解析式为③设P3（0，m3），满足P3C=BC，其中m3＞0，由勾股定理得，，即。63\n解得m3=0（舍去），m3=8。∴P3（0，8），直线P3B的解析式为。∵C（2，4）在P3B上，∴P3不符合题意，舍去。综上所述，直线PB的解析式为，。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定，分类思想的应用。【分析】（1）根据抛物线的解析式表示出A、B的横坐标，可得出AB的长，然后根据△ABD的面积为12，可求出n的值．即可求出抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标。（2）分PB=PC，PB=BC，PC=BC三种情况讨论即可。3.（2022年北京市9分）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB延长线于C点（1）求证：CD与⊙O相切于点E；（2）若CE•DE=，AD=3，求⊙O的直径及∠AED的正切值．63\n∴，解得x=－1（舍去）或x=，∴⊙O直径为。∴CA=CB+BA=5。由切割线定理知CE2=CB•CA=，∴CE=。∴。∴tan∠AED=。【考点】角平分线定义，平行的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）由题可知，E已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明∠OED=90°即可。63\n（2）欲求圆的直径，必须求出半径OA或OB或OE，可以把题中所求部分抽象到相似三角形中来考虑，借助于比例线段来求解。∠AED的正切值则可求出AD以及ED的值。4.（2022年北京市12分）已知：二次函数的图象与y轴交于点C，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．若A、B两点的横坐标为整数，（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是（0，6），点P（t，0）是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合．设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长．再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）．∴S=∴S与t的函数关系式。63\n（3）作图如下：5.（2022年北京市8分）已知：在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE∶FD=4∶3。（1）求证：AF=DF.（2）求∠AED的余弦值；（3）如果BD=10，求ΔABC的面积。63\n【考点】等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，切割线定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，待定系数法的应用。【分析】（1）欲证AF=DF，可以证明EA=ED，根据等腰三角形三线合一的性质得到，由已知通过角的等量代换可以得到。（2）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出。63\n（3）根据△ABC的面积公式求出BC，AN的长是关键，根据题意由三角函数及相似比即可求出。6.（2022年北京市8分）已知：抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴，y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。63\n∵，∴此方程无实数根。∴此时不存在点E。63\n7.（2022年北京市8分）已知：如图1，∠ACG＝900，AC＝2，点B为CG边上的一个动点，连结AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．⑴当BC＝时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；⑵如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连结AH，当∠CAB＝∠BAD＝∠DAH时，求BC的长．63\n∴。∴∠CAB=∠BAD=300。又∵∠EDB=900，∴EB=x。∵EB+BC=EC，∴x+x=2。解得x=2－2。∴BC=2－2。【考点】动点问题，翻折问题，翻折对称的性质，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆内接四边形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切。（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长。8.（2022年北京市8分）已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，2)任作一条与抛物线y＝ax2(a＞0)交于两点的直线，设交点分别为A、B．若∠AOB＝90°，⑴判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；⑵确定抛物线y＝ax2(a＞0)的解析式；⑶当△AOB的面积为时，求直线AB的解析式．【答案】解：（1）A、B两点纵坐标的乘积是一个确定的值。理由如下：63\n∵直线AB过点P(0，2)，∴设直线AB的解析式为y=kx+2，63\n9.（2022年北京市8分）已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）．在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，请说明理由；（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD，求sin∠CAB的值；②若（n＞0），试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）．63\n【答案】解：（1）连接AE，则AE=CE。理由如下：如图，连接OD，63\n设AD=CD=k（k＞0），则DF=k，∴。∴DE=k。在Rt△CDE中，∵CE2=CD2+DE2=k2+（k）2=3k2，∴CE=。63\n∵∠CAB=∠DEC，∴sin∠CAB=sin∠DEC=。10.（2022年北京市9分）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点．（1）试用含a的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA=∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．63\n∴﹣4a=﹣2，∴a=，b=﹣4a=﹣2。∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x。②当a＜0时，同理可得：OD=2，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x。综上，⊙D半径的长为2，抛物线的解析式为y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x。（3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA=∠OBA。设点P的坐标为（x，y），且y＞0，①当点P在抛物线y=x2﹣2x上时（如图）∵点B是⊙D的优弧上的一点,∴∠OBA=∠ADO=45°。∴∠POA=∠OBA=60°。63\n11.（2022年北京市大纲8分）已知：AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。（1）求证：CD是半圆O的切线(图①)；（2）作EF⊥AB于点F(图②)，猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线CD于点N，当NA与半圆O相切时(图③)，求∠EOC的正切值。63\n【分析】（1）连接OD，由直径对的圆周角是直角知∠CDO=90°，再切线的判定方法即可判定CD是半圆O的切线。（2）连接OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则根据垂直于同一直线的两条63\n12.（2022年北京市大纲9分）已知：抛物线y=－x2+mx+2m2(m＞0)与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点(点C与点A、B不重合)，D是OC的中点，连结BD并延长，交AC于点E。（1）用含m的代数式表示点A、B的坐标；（2）求的值；（3）当C、A两点到y轴的距离相等，且时，求抛物线和直线BE的解析式。63\n∵。∴，∴S△AOC=5S△CED=8，∵，∴m3=8，、解得m=2。∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8，点C的坐标为（2，8），点B的坐标为（4，0）。分别过点D、C作x轴的垂线，交x轴于点M、N，∴DM∥CN。∵D是OC的中点，∴OM=ON=1，DM=CN=4。∴点D的坐标为（1，4）。设直线BE的解析式为y=kx+b，则有：，解得：。∴直线BE的解析式为。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由y=0，得出的一元二次方程的解就是A、B两点的横坐标．由此可求出A、B的坐标。63\n13.（2022年北京市课标8分）已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A′求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．63\n点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为。连接．（3）根据轴对称的性质，得点M关于x轴的对称点和点A关于抛物线对称轴x=3的对称点的连线的长就是所求点P运动的最短总路径的长，与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点。求出的解析式即可求得点E、F的坐标，由勾股定理即可求得的长即点P运动的最短总路径的长。14.（2022年北京市课标8分）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．63\n63\n15.（2022年北京市7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过P（，5），A（0，2）两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标。【答案】解：（1）根据题意得，解得。∴抛物线的解析式为：。63\nM1（，0）、M2（0，2）、M3（0，－2）、M4（，0）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，等边三角形的判定和性质，63\n16.（2022年北京市8分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=∠A。请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。63\n【考点】新定义，等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形就是。（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形。（3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，从而证明△BDF≌△CEG，所以BD=CE．所以四边形DBCE是等边四边形。17.（2022年北京市7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．63\n∴，。如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴。过点A作AE⊥BC于点E。∴。可得，。在△AEC与△AFP中，，，∴△AEC∽△AFP。∴，即，解得。∵点P在抛物线的对称轴上，∴点P的坐标为（2，2）或（2，－2）。（3）如图2，作点A（1，0）关于y轴的对称点，则（－1，0）。63\n18.（2022年北京市8分）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；63\n（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件：63\n∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，19.（2022年北京市8分）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.【答案】解：（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直。证明如下：63\n如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H。∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转900依次得到线段EF、EG1，∴∠P1EG1=∠CEF=900，EG1=EP1，EF=EC。63\n【考点】旋转问题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判定，平行四边形的性质，锐角三角函数定义，分类思想的应用。【分析】（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直，理由为：△P1EC按要求旋转后得到的△G1EF全等，再结合∠P1CE=∠G1FE=900去说明。②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直。63\n（2）分①点P1在线段CH的延长线上，点P1在线段CH上和点P1与点H重合三种情况讨论即可。20.（2022年北京市7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－6，0），B（6，0），C（0，），延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）63\n可证△FTM≌△CSM，∴FT=CS。∵FE=CD，∴TE=SD。∵EC=DF，∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS。∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形。由点B（6，0），点M（0，）在直线y=kx+b上，可得直线BM的解析式为。（3）确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点。63\n21.（2022年北京市8分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，）在这条抛物线上.（1）求B点的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）.①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）.过Q点作轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）.若P点运动到秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻的值.63\n第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位，∴OQ=10－2t。63\n22.（2022年北京市7分）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当∠BAC=900时，依问题中的条件补全下图.观察图形，AB与AC的数量关系为________________；当推出∠DAC=150时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.63\n（2）当∠BAC≠900时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.①当∠BAC=900时，∵∠BAC=2∠ACB，∴∠ACB=450。在△ABC中，∠ABC=1800－∠ACB－∠BAC=450。∴∠ACB=∠ABC。63\n23.（2022年北京市7分）在ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．63\n63\n24.（2022年北京市8分）如图，在平面直角坐标系ｘOｙ中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与ｙ轴的交点D在射线AE的反向延长线上．（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；（2）当一次函数ｙ=ｘ+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数ｙ=ｘ+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；（3）已知AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标的取值范围．（2）当一次函数ｙ=ｘ+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=或﹣1＜b＜1；当一次函数ｙ=ｘ+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜。63\n于两直线间的距离。（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量的取值范围即可。（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可。25.（2022年北京市7分）在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。63\n（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围。63\n63\n26.（2022年北京市8分）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）的“非常距离”，给出如下定义：若∣x1－x2∣≥∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣x1－x2∣；若∣x1－x2∣＜∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣y1－y2∣.例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P1与点P2的“非常距离”为∣2－5∣=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。（1）已知点，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。63\n【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。63\n63