【中考12年】江苏省南京市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

2022-2022年江苏南京中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题12：押轴题一、选择题1.（2022江苏南京2分）一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格为【】A．1000元B．800元C．600元D．400元【答案】B。【考点】一元一次方程的应用（经济问题）。【分析】设他的飞机票价格为x元，根据等量关系“超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购买”，而超重部分为（30－20）千克，故得方程：（30－20）×1.5%x=120，解得：x=800。故选B。2.（江苏省南京市2022年2分）某种出租车的收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费17.2元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x的最大值是【】　A、13　B、11　C、9　D、7【答案】B。【考点】一元一次不等式的应用。【分析】已知从甲地到乙地共需支付车费17.2元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，从而根据题意列出不等式，得出答案：∵支付车费为17.2元＞起步价6元，∴x＞3km。∴1.4（x－3）+6≤17.2，解得：x≤11。∴x的最大值为11千米。故选B。3.（江苏省南京市2022年2分）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于【】．42\n（A）∶l（B）1∶（C）∶l（D）1∶【答案】A。【考点】折叠问题，比例线段，比例的性质。【分析】∵，∴。∴。∴a：b=：1。故选A。4.（江苏省南京市2022年2分）如图所示，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A，B，C，D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3m，现用长4m的绳子将羊拴在一棵树上，为了使在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在【】A、A处B、B处C、C处D、D处【答案】D。【考点】面积大小的比较，矩形和圆的性质。【分析】分别画出图形进行比较即可：绳子拴在A处时，羊在草地上活动区域是圆心角为∠EAF半径为4的扇形加上直角三角形ABE的面积，它小于半径为4的半圆面积；绳子拴在B处时，羊在草地上活动区域是半径为4的圆面积；绳子拴在C处时，羊在草地上活动区域与绳子拴在A处时的面积一样；绳子拴在D处时，羊在草地上活动区域是半径为4的半圆面积。因此，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在D处。故选D。5.（江苏省南京市2022年2分）下图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图．42\n根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是【】A、甲户比乙户多B、乙户比甲户多C、甲、乙两户一样多D、无法确定哪一户多【答案】D。【考点】扇形统计图。【分析】根据扇形图的意义，本题中的总量不明确，所以在两个图中无法确定哪一户多。故选D。6.（江苏省南京市2022年2分）下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是【】A．甲户比乙户大B.乙户比甲户大C．甲、乙两户一样大D.无法确定哪一户大【答案】B。【考点】扇形统计图，条形统计图，频数、频率和总量的关系。【分析】根据条形统计图求出甲户教育支出占全年总支出的百分比，再结合扇形统计图中的乙户教育支出占全年总支出的百分比是25%，进行比较即可：甲户教育支出占全年总支出的百分比1200÷（1200×2+2000+1600）=20%，乙户教育支出占全年总支出的百分比是25%。故选B。7.（江苏省南京市2022年2分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是【】42\nＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】D。【考点】坐标与图形性质，切割线定理，勾股定理，垂径定理。【分析】根据已知条件，纵坐标易求；再根据切割线定理即OQ2=OM•ON求OQ可得点P的横坐标，从而根据勾股定理，垂径定理可得点P的纵坐标：连接PQ，过点P作PD⊥MN于D，连接PO。∵⊙P与x轴相切于点Q，∴PQ⊥OQ，即点P的横坐标=点Q的横坐标。∵又⊙P与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，∴OM=2，OD=5，DM=3。∴OQ2=OM•ON=2×8=16，OQ=4。∴PD=4，PQ=OD=3+2=5，即点P的坐标是（4，5）。故选D。8.（江苏省南京市2022年2分）如图，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，OD⊥OA，垂足为D，则的值等于【】A．ODB．OAC．CDD．AB【答案】A。【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义。【分析】利用余弦的定义求解：∵CD⊥OA，∴∠CDO=90°。∵OC=1，∴cos∠AOB=OD：OC=OD。故选A。42\n9.（江苏省2022年3分）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；……第个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【】A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数【答案】A。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：第1个数：；第2个数：；第3个数：；按此规律，第个数：；第个数：。∵，∴越大，第个数越小，所以选A。10.（江苏省南京市2022年2分）如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的42\n影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为【】【答案】A。【考点】函数的图象，中心投影，相似三角形的判定和性质。【分析】由生活经验知：当小亮走到路灯的正下方时，此时影长为0，因此可排除选项C、D。在确定答案是选项A或B上来探求；设小亮身高为a，路灯C到路面的距离为h，点A到路灯正下方的距离为b，如图，由中心投影得，整理得，∴y与x之间的函数关系是一次函数关系。同理可知小亮从路灯正下方继续行走的情况也是一次函数关系。故选A。11.（江苏省南京市2022年2分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，）(＞2)，半径为2，函数的图象被⊙P的弦AB的长为，则的值是【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】一次函数的应用，弦径定理,勾股定理，对顶角的性质，三角形内角和定理。【分析】连接PA,PB,过点P作PE⊥AB于E,作PF⊥X轴于F，交AB于G，分别求出PD、DC，相加即可：∵在Rt△PAE中，由弦径定理可得AE＝AB＝，PA＝2，∴由勾股定理可得PE＝1。42\n又由可得，∠OGF＝∠GOF＝450，FG＝OF＝2。又∵PE⊥AB，PF⊥OF，∴在Rt△EPG中，∠EPG＝∠OGF＝450，∴由勾股定理可得PG＝∴＝FG＋PG＝2＋。故选B。12.（2022江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【】A.B.C.D.【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。∴∠D=180°-∠A=120°。根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。∴BC=CM。设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=，∴。42\n∴。故选A。二、填空题2.（江苏省南京市2022年2分）下列命题：（1）所有的等腰三角形都相似；（2）所有的等边三角形都相似；（3）所有的等腰直角三角形都相似；（4）所有的直角三角形都相似。其中真命题的序号是▲_(注：把所有真命题的序号都填上)。【答案】②③。【考点】相似三角形的判定。【分析】逐个分析各项，利用排除法得出答案：①等腰三角形三角不一定相等，不符合相似三角形的特点，错误；②所有的等边三角形三角相等，是相似三角形，正确；③所有的等腰直角三角形三角都相等，因此都相似，正确；④所有的直角三角形三角不一定都相等，不都相似，错误。其中真命题是②③。3.（江苏省南京市2022年2分）如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，PD＝2PB，PC＝2cm，则PA＝▲cm．42\n【答案】4。【考点】相交弦定理。【分析】由相交弦定理可以得到PA•PB=PC•PD，然后利用已知条件即可求出PA：。4.（江苏省南京市2022年2分）如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE=1cm，EF=3cm，则AB=▲cm．【答案】5。【考点】矩形和圆的性质，垂径定理。【分析】根据矩形和圆的轴对称性，知CF=DE=1，因此由EF=3得DC=5，根据矩形对边相待的性质，可得AB=5。5.（江苏省南京市2022年2分）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称：▲．【答案】平行四边形，等腰梯形（答案不唯一）。【考点】三角形中位线定理【分析】让相等边重合，动手操作看拼合的形状即可： 如图：可知可拼成平行四边形、等腰梯形和矩形三种不同的形状．42\n6.（江苏省南京市2022年3分）如图，矩形ABCD与与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=▲cm.【答案】6。【考点】矩形的判定和性质，垂径定理。【分析】过O作OW⊥CD，垂足为W，根据矩形的对称性及垂径定理即可求出EF的长：作GH⊥CD，交CD于点H，OW⊥CD，交CD于点W，则四边形HCBG，AGHD，OWDA，OWCB都是矩形。∵矩形HCBG是轴对称图形，对称轴是OW，且GB是直径，∴OG=OB=BG=4cm。∴HW与WC是对称线段，有WH=WC。则由垂径定理知，点W是EF的中点，有EW=WF。∴CH=BG=2HW=8cm，OA=WD=OG+AG=5cm。∴EW=DW-DE=5－2=3cm。∴EF=6cm。7.（江苏省南京市2022年3分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且，x，y为整数，写出一个符合上述条件的点P的坐标：▲．【答案】（－1，1）（答案不唯一）。【考点】点的坐标。【分析】如图，∵点P（x，y）位于第二象限，且，∴点P（x，y）位于直线和x轴，y轴围成的三角形区域内（含在第二象限部分）。42\n又∵x，y为整数，∴共有6个点满足条件：（－1，1），（－1，2），（－1，3），（－2，1），（－1，2），（－3，1）。8.（江苏省南京市2022年3分）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器▲台．【答案】3。【考点】圆周角定理【分析】∵∠A=65°，∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°。又∵360°÷130°=，∴共需安装这样的监视器3台。9.（江苏省2022年3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。10.（江苏省南京市2022年2分）如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，与关于点O中心对称，则AB、BC、、所围成的图形的面积是▲cm2．42\n【答案】2。【考点】中心对称的性质，等腰直角三角形的性质。【分析】连接AC，根据中心对称的意义，将“AB、BC、、所围成的图形的面积”转化为求直角三角形ABC的面积，由AB=BC=2cm得S△ABC=2cm2。11.（江苏省南京市2022年2分）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为▲．【答案】4。【考点】分类归纳。【分析】列表如下：甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950表中可见，只有9，21，33，45满足条件。12.（2022江苏南京2分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A的对应点A’的坐标是▲【答案】（16，）。42\n【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】先由△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），求得点A的坐标；再寻找规律，求出点A的对应点A′的坐标：如图，作BC的中垂线交BC于点D，则∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），∴BD=1，。∴A（—2，）。根据题意，可得规律：第n次变换后的点A的对应点的坐标：当n为奇数时为（2n－2，），当n为偶数时为（2n－2，）。∴把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是：（16，）。三．解答题1.（2022江苏南京8分）如图，E、F是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足为M、N，设HM=x，矩形AMHN的面积为y。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？42\n【答案】解：（1）∵EC=1，BC=4，∴BE=3。∵CF∥BG，∴△CEF∽△BEG。∴，即：。∴BG=4。在Rt△GMH中，tan∠G=tan∠CFE=。∵HM=x，tan∠G=∴MG=。∴AM=AG－MG=AB＋BG－MG=。∴。（2）由（1）的函数式可知：。∴当x=3时，矩形AMHN的面积最大，最大值为12。【考点】动点问题，二次函数综合题，矩形和正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，二次函数最值。【分析】（1）要求矩形的面积，就要得出AM和MH的值，已知了MH为x，关键是求AM的长，那么必须得出BG，MG的长，可根据相似三角形CFE和BGE求出BG的长（也可用BE和∠C的正切值来求）．然后在直角三角形GMH中，用HM和∠C的正切值求出MG，这样就能表示出AM的长，就可得出关于x，y的函数关系式。（2）可根据（1）的函数的性质及自变量的取值范围来求出矩形面积的最大值以及对应的x的值。2.（2022江苏南京11分）（1）如图1，已知A点坐标为（0，3），⊙A的半径为1，点B在x轴上。①若B点坐标为（4，0），⊙B的半径为3，试判断⊙A与⊙B的位置关系；②若⊙B过点M（2，0），且与⊙A相切，求B点坐标。（2）如图2，点A在y轴上，⊙A在x轴的上方。问：能否在x轴的正半轴上确定一点B，使⊙B与y轴相切，并且与⊙A外切，为什么？【答案】解：（1）①∵A（0，3），B（4，0），∴OA=3，OB=4，AB=。∴两圆外离。42\n②设B（x，0），∵⊙B过点M（2，0），∴⊙B的半径为。则AB=。若⊙A与⊙B外切，，时，，解得x=0；时，，解得x=－4，与不符。∴B（0，0）。若⊙A与⊙B内切，，时，，解得x=－4；时，，解得x=0，与不符。∴B（－4，0）。（2）能。过A作AD∥x轴，连接OD交⊙A于C，连接AC并延长交x轴于B，则以B为圆心，以OB为半径的⊙B与y轴相切，并且与⊙A外切。理由如下：∵AD∥x轴，∴∠ADO=∠BOD。∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD。∴∠OCB=∠BOC。∴BC=OB。∴以B为圆心，以OB为半径的⊙B与y轴相切，并且与⊙A外切。【考点】圆与圆的位置关系，坐标与图形性质，勾股定理，平行的性质，等腰判定和性质。【分析】（1）①先根据A、B的坐标求出圆心距AB的长，然后和两圆的半径进行比较即可；②本题可设出B点的坐标，然后表示出圆心距AB的长，和⊙B的半径长，分内切和外切两种情况进行求解。（2）可过A作x轴的平行线交⊙A于D，连接OD交⊙A于C，连接AC并延长交x轴于B，则⊙B以BC为半径，与y轴相切，与⊙A外切。3.（江苏省南京市2022年7分）某厂要制造能装250毫升（1毫升＝1厘米3）饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部都是0.02厘米，，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个盖撕下来，设一个底面是x厘米的易拉罐的用铝量是y厘米3。（1）利用公式：用铝量＝底圆面积×底部厚度+顶圆面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度求y与x之间的函数关系式；42\n（2）选择：该厂设计人员在设计时算出以下几组数据：底面半径x（厘米）　1.62.02.42.83.23.64.0用铝量y(厘米3)6.96.05.65.55.76.06.5根据上表推测，要使用铝量y(厘米3)的值尽可能小，底面半径x（厘米）的值所在范围是()A、1.6≤x≤2.4B、2.4<x<3.2C、3.2≤x≤4【答案】解：（1）根据题意可得：。（2）B．【考点】函数的应用。【分析】（1）顶部厚度是底部厚度的3倍，那么顶部厚度是0.06cm．把相关数据代入所给的等量关系即可。（2）根据表可知：题中最小的用铝量是底面半径2.8时，用铝量5.5厘米3，介于5.6和5.7之间，所对应的底面半径是2.4和3.2之间。故选B。4.（江苏省南京市2022年8分）如图，客轮沿折线A－B－C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A－B－C上的某点E处，已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客轮速度是货轮速度的2倍。（1）选择：两船相遇之处E点（　　　　）A、在线段AB上B、在线段BC上C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）【答案】解：（1）B。（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D点作DF⊥CB于F，连接DE，则DE=x，AB+BE=2x，∵D点是AC的中点，∴DF=AB=100，EF=400-100－2x，在Rt△DFE中，DE2=DF2+EF2，得x2=1002+（300－2x）2，解得。42\n∵（舍去），∴DE=。答：货轮从出发到两船相遇共航行了海里。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），三角形中位线定理，勾股定理。【分析】（1）连接BD，则△ABD是等腰直角三角形，假设E为AB的中点，有AB=2DE，此时DE最短；假设E点在线段AB上，但不在中点，根据已知可得AE=2DE，且AE＞AB，很明显假设不成立．故E点不在AB上，应该在线段BC上。（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D点作DF⊥CB于F，连接DE，则DE=x，AB+BE=2x，根据D点是AC的中点，得DF=AB=100，EF=400－100－2x，在Rt△DFE中，DE2=DF2+EF2，得x2=1002+（300－2x）2，解方程即可。5.（江苏省南京市2022年8分）如图．直线与x轴、y轴分别交于点M、N．⑴求M、N两点的坐标；⑵如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线相切，求点P的坐标。【答案】解：（1）当x=0时，y=4，当y=0时，，∴x=3。∴M（3，0），N（0，4）．（2）①当P1点在y轴上，并且在N点的下方时，设⊙P1与直线相切于点A，连接P1A，则P1A⊥MN，∴∠P1AN=∠MON=90°。∵∠P1NA=∠MNO，∴△P1AN∽△MON。∴。在Rt△OMN中，OM=3，ON=4，∴MN=5。又∵P1A=，∴，即P1N=4。42\n∴P1点坐标是（0，0）。②当P2点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得P2点坐标是（0，0）。③当P3点在x轴上，并且在M点的右侧时，设⊙P3与直线上切于点B，连接P3B．则P3B⊥MN，∴OA∥P3B。．∵OA=P3B，∴P3M=OM=3，∴OP3=6。．∴P3点坐标是（6，0）。；④当P4点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得P4N=ON=4。．∴OP4=8，∴P4点坐标是（0，8）。综上所述，P点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆相切的性质，相似三角形的判定和性质，【分析】（1）已知直线解析式，易求M，N点坐标。（2）分P点在y轴上，在N点的下方：在y轴上，在N点的上方；在x轴上，在M点的左侧；在x轴上，在M点的右侧四种情况讨论。根据圆的性质及相切的条件，又知道圆的半径，从而求出每种情况的P点坐标。6.（江苏省南京市2022年9分）如图⊙O与⊙O’相交于A、B两点，点O在⊙O’上，⊙O’的弦OC交AB于点D．⑴求证：OA＝OC·OD；⑵如果AC＋BC＝OC，⊙O的半径为r．求证：AB＝【答案】证明：（1）连接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。∵∠OCA=∠OBA，∴∠OAB=∠OCA。∵∠AOC=∠DOA，∴△AOC∽△DOA。42\n∴，即OA2=OC•OD。（2）∵△AOC∽△DOA，∴。同理可得，。∴，即。∵AC+BC=OC，OA=r，∴AB=r。【考点】圆与圆的位置关系，相交两圆的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）欲证OA2=OC•OD，通过证明△AOC∽△DOA妈可以得出。（2）因为AC+BC=OC，⊙O的半径为r，欲证AB=r，只需证明（AC+BC）：OC=AB：OA；通过证明△AOC∽△DOA，△OBD∽△OCB，得出比例形式相加，即可得出。7.（江苏省南京市2022年9分）如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形；（2）如图，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切．【答案】解：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20﹣t，解得t=4。答：t为4时，四边形APQD为矩形。（2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切。①如果点P在AB上运动。只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4。由（1），得t=4。②如果点P在BC上运动。此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离。③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧。可得CQ=t，CP=4t﹣24。当CQ﹣CP=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，t﹣（4t﹣24）=4，解得。42\n④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧。当CP﹣CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t﹣24﹣t=4，解得。∵点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D移动到D需要11s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s，而，∴符合题意。综上所述，当t为4s，s，s时，⊙P与⊙Q外切。【考点】动点问题，矩形的判定和性质，圆与圆的位置关系。【分析】（1）四边形APQDA为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解出即可；（2）分点P在AB上，点P在BC上，点P在CD上在点Q右侧，点P在CD上在点Q左侧四种情况，根据每一种情况，找出相等关系，解出即可。8.（江苏省南京市2022年8分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C．（1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否点P，使AP⊥PD？如果存在求线段BP的长；如果不存在，请说明理由；（2）设AB=a，DC=b，AD=c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．【答案】解：（1）存在。理由如下：如图所示，假设AP⊥PD，∵∠APB+∠DPC=90°，∠PDC+∠DPC=90°，∠BAP+∠APB=90°，∴∠APB=∠DPC。∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD。设BP=x，则CP=4﹣x，∴4：（4﹣x）=x：1，解得x=2，即BP=2。因此，当BP=2时，AP=，PC=2，DP=，∴，∴△ABP∽△PCD。∴∠APB+∠DPC=90°。∴∠APD=90°。∴AP⊥PD。（2）过D作DE⊥AB于E，易得DC=BE=b，AE=a－b，42\nBC=DE=。由（1）得△ABP∽△PCD，设PC=x，∴。化简得方程：。若存在点P，则方程有实数根，即△=。∴c≥a+b。∴当c≥a+b时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）由△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC=90°，即∠APD=90°，求出BP的长。（2）过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理用a、b、c表示出BC的长，再根据（1）的结论得出关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式即可求解。9.（江苏省南京市2022年8分）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是元，镜子的宽是米．（1）求与之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．【答案】解：（1）∵镜子的宽是米，镜子的长与宽的比是2：1，∴镜子的长是2米。∵镜面玻璃的价格是每平方米120元，∴镜面玻璃的费用是·2·120=240元。∵边框的价格是每米30元，∴边框的费用是（＋2）·30=90元。∴制作这面镜子的总费用是y=240x2＋120x＋45。（2）制作这面镜子共花了195元，即y=195，代入与之间的关系式，得240x2＋120x＋45=195，整理得8x2＋4x－5=0，解得（舍去）。∴，。答：镜子的长和宽分别是米和米。42\n【考点】根据实际问题列二次函数关系式，公式法解一元二次方程。【分析】（1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，化简即可。（2）把y=195代入与之间的关系式求出即可。10.（江苏省南京市2022年11分）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t(s)，当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．【答案】解：（1）△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切有以下四种情形：情形一：当半圆O所在的圆运动到点E与点C重合时，半圆O在AC左边与AC相切，如图1。此时，半圆O运动的距离为8－6=2。∴t=2÷2=1(s)。情形二：当半圆O所在的圆运动到点O与点C重合时，半圆O在AB左边与AB相切，如图2。此时，半圆O运动的距离为8。∴t=8÷2=4(s)。情形三：当半圆O所在的圆运动到点D与点C重合时，半圆O在AC右边与AC相切，如图3。此时，半圆O运动的距离为8＋6=14。∴t=14÷2=7(s)。情形四：当半圆O所在的圆运动到AB右边与AB相切时，如图4。此时，半圆O运动的距离为8＋12＋12=32。∴t=32÷2=16(s)。42\n综上所述，当t=1，4，7，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切。（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的有两种情形：情形一：当半圆O所在的圆运动到点O与点C重合时，半圆O在AB左边与AB相切，如图2。此时半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域重叠部分为圆面积=9πcm2。情形二：当半圆O所在的圆运动到点D与点C重合时，半圆O在AC右边与AC相切，如图3。此时半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域重叠部分为扇形OCF加上△OBF。∵∠COF=2∠ABC=60°，∴扇形OCF的面积为cm2。∵△OBF的边OB上的高=，∴△OBF的面积为cm2。∴重叠部分面积=＋cm2。综上所述，当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域重叠部分的面积为9πcm2或＋cm2。【考点】运动问题，直线与圆相切的性质，扇形和三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形外角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据直线与圆相切的性质分四种情形分别讨论即可。（2）分两种情形分别求出重叠部分的面积。11.（江苏省南京市2022年8分）如图,小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口8l海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东6O°方向，以l8海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发，(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等?(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向?(结果精确到0.1小时)(参考数据：，)42\n【答案】解：（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等。根据题意，得81－9x=18x，解这个方程，得x=3。∴出发后3小时两船与港口P的距离相等。（2）设出发后z小时乙船在甲船的正东方向，如图，此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处。连接CD，过点P作PE⊥CD于点E，则点E在点P的正南方向。在Rt△CEP中，∠CPE=450，∴PE=PC·cos450。在Rt△PED中，∠EPD=600，∴PE=PD·cos600。∴PC·cos450=PD·cos600,即。解得，z≈3.7。∴出发后3.7小时乙船在甲船的正东方向。【考点】一元一次方程的应用，解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据两船与港口P的距离相等列方程求解即可。（2）构造直角三角形CEP和PED求解即可。12.（江苏省南京市2022年9分）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，，求DE的长；(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，，∠D=900。根据轴对称的性质，得EF=。∴DF=AD－。42\n在Rt△DEF中，。（2）设AE与FG的交点为O。根据轴对称的性质，得AO=EO，取AD的中点M，连接MO。则MO=DE，MO∥DC。设DE=，则MO=。在矩形ABCD中，∠C=∠D=900，∴AE为△AED的外接圆的直径，点O为圆心。延长MO交BC于点N，则ON∥CD。∴∠CMN=1800－∠C=900。∴ON⊥BC。∴四边形MNCD是矩形。∴MN=CD=AB=2。∴ON=MN－MO=2－。∵△AED的外接圆与BC相切，∴ON是△AED的外接圆的半径。∴OE=ON=2－，AE=2ON=4－。在Rt△AED中，，即。解得，。∴DE，OE=2－。根据轴对称的性质，得AE⊥FG。∴∠D=900。又∵∠FEO=∠AED，∴△FEO∽△AED。∴，即。又∵AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO。∴△FEO≌△GAO。∴FO=GO。∴FG=2FO=。∴折痕FG的长是。【考点】折叠问题，矩形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直线与圆相切的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）由矩形和轴对称的性质，可得EF=，DF=AD－，从而在Rt△DEF中根据勾股定理即可求得DE的长。42\n（2）求出DE和OE的长，由△FEO∽△AED即可求出，由△FEO≌△GAO即可求出FG=2FO=2GO=。13.（江苏省南京市2022年10分）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．（1）填空：①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（，）；②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为；（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．【答案】解：（1）①2，600；②2。（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；42\n经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段。∵，，∴，。【考点】新定义，旋转的性质。【分析】（1）直接根据旋转相似变换的定义写出的坐标和线段的长。（2）反复应用旋转相似变换得出结论。14.（江苏省南京市2022年7分）已知直线及外一点，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．（1）在图1中，只用圆规在直线上画出两点，使得点是一个等腰三角形的三个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线外画出一点，使得点所在直线与直线平行．【答案】（1）画法一：以点为圆心，大于点到直线的距离长为半径画弧，与直线交于两点，则点即为所求。画法二：在直线上任取一点，以点为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，则点即为所求。（2）画法：在直线上任取两点，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点．则点即为所求。42\n【考点】作图（等腰三角形和平等线）。【分析】（1）以点为圆心，大于点到直线的距离长为半径画弧，与直线交于两点，则点即为所求（由得出结论）。或在直线上任取一点，以点为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，则点即为所求（由得出结论）。（2）在直线上任取两点，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点．则点即为所求（由构成平行四边形得出结论）。15.（江苏省南京市2022年8分）如图，已知的半径为6cm，射线经过点，，射线与相切于点．两点同时从点出发，点以5cm/s的速度沿射线方向运动，点以4cm/s的速度沿射线方向运动．设运动时间为s．（1）求的长；（2）当为何值时，直线与相切？【答案】解：（1）连接。∵与相切于点，∴，即。∵，，∴。（2）过点作，垂足为．∵点的运动速度为5cm/s，点的运动速度为4cm/s，运动时间为s，∴，。∵，，∴。42\n又，∴．∴。∵，∴四边形为矩形。∴。∵的半径为6，∴时，直线与相切。①当运动到如图1所示的位置，。由，得，解得。②当运动到如图2所示的位置，。由，得，解得。∴当为0.5s或3.5s时直线与相切．【考点】直线和圆相切的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）连接，由直线和圆相切的性质，三角形OPQ是直角三角形，应用勾股定理即可求出的长。（2）由已知可证得，从而可证得四边形为矩形，因此得出时，直线与相切。分两种情况分别求出值。16.（江苏省南京市2022年10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为km；42\n（2）请解释图中点的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？【答案】解：（1）900。（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇。（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为；当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h。【分析】（1）由图可知，两车之间的距离开始和终了时相距900km，即甲、乙两地之间的距离为900km。（2）因为点在轴上，即此时两车之间的距离为0，慢车和快车相遇。42\n（3）由图象慢车12h行驶的路程为900km，求出慢车的速度；根据慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km求出快车的速度。（4）求出点的坐标，用待定系数法即可求出线段所表示的与之间的函数关系式和自变量的取值范围（由点和点的横坐标确定）。（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h。由于，所以此时慢车在段上。因此，代入，求得慢车与第一列快车之间的距离（即两列快车之间的距离），除以速度，即得两列快车出发的间隔时间（即第二列快车比第一列快车晚出发时间）。17.（江苏省2022年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，42\n则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。18.（江苏省2022年12分）如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线的方向作匀速运动．设运动时间为秒．（1）请用含的代数式分别表示出点与点的坐标；（2）以点为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点在点的左侧），连接PA、PB．①当与射线有公共点时，求的取值范围；42\n②当为等腰三角形时，求的值．【答案】解：（1）∵，∴。∴。过点作⊥轴于点，∵，，∴。又∵，且，∴，即。∴。∴。∴。（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点时，有，即。当点在点左侧，与射线相切时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得。由，即，解得。∴当与射线有公共点时，的取值范围为。②（I）当时，过作轴，垂足为，有42\n。由（1）得，，，∴。又∵，∴，即。解得。（II）当时，有，∴，解得。（III）当时，有，∴，即。解得（不合题意，舍去）。综上所述，当是等腰三角形时，，或，或，或。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形时的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由可得，从而得到点的坐标。作点作⊥轴于点，利用可得，从而得到点的坐标。（2）①当与射线有公共点时，考虑（I）当的圆心由点向左运动，使点到点时，的取值；（II）当点在点左侧，与射线相切时，的取值。当在二者之间时，与射线有公共点。②分，，三种情况讨论即可。19.（江苏省南京市2022年8分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需要化简）42\n（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【答案】解：（1）（2）根据题意，得，整理，得x2－20x＋100=0，解这个方程得x1=x2=10。当x=10时，80－x=70＞50。答：第二个月的单价应是70元。【考点】一元二次方程的应用。【分析】（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为（80-x），销售量为（200+10x）件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800-200-（200+10x）。（2）根据销售额－成本=利润，由“获利9000元”建立方程得80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）]-50×800=9000，化简后求解。20.（江苏省南京市2022年8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并填写自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．42\n【答案】解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2。当点E与点A不重合时，0＜x≤2。在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，∴∠MDF=90°。∴∠A=∠MDF。∵AM=DM，∠AMF=∠DMF，∴△AME≌△DMF（SAS）。∴ME=MF。在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=．∴EF=2MF=2。过点M作MN⊥BC，垂足为N（如图）。则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM。∴∠AME+∠EMN=90°。∵∠EMG=90°，∴∠GMN+∠EMN=90°。∴∠AME=∠GMN。∴Rt△AME∽Rt△NMG，∴，即，∴MG=2ME=2，∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2，∴y=2x2+2，其中0≤x≤2。（2）点P运动路线的长为2。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，【分析】（1）欲求y关于x的函数关系式，即△EGF的面积，观察图形发现S△EGF=EF·MG，由条件AM=DM及正方形的性质可得△AME≌△DMF，所以EF=2EM，因此求出面积的关键是求出MG。结合图形发现过点M作MN⊥BC，垂足为N可得Rt△AME∽Rt△NMG，从而运用相似三角形的性质得到MG的长，问题获解。（2）如图，点P运动的路线在AB的中垂线OP上，理由如下：由（1）知MG=2ME，又点P是MG的中点，∴MP=ME。42\n又∵∠PMG=900－∠EMO=∠EMA，∠MOP=∠A=900，∴Rt△MOP≌Rt△MAE（AAS）。∴MO=AM。又∵正方形ABCD中M是AD的中点，∴MO=ON。∴点P在AB的中垂线OP上。如图，P1P2（P1是P起始位置，P2是P终止位置．）是点P运动路线的长。由Rt△ABM≌Rt△P2P1M（ASA），得P1P2=AB=2。21.（江苏省南京市2022年9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．【答案】解：⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴。∴CD=BD。∴∠BCE＝∠ABC。∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°。∴∠BEC＝∠ACB。∴△BCE∽△ABC。∴E是△ABC的自相似点。42\n⑵①作图如图：作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P。则P为△ABC的自相似点。②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，。∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC。∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A。∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°。∴。∴该三角形三个内角的度数分别为、、。【考点】直角三角形斜边上的中线的性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,尺规作图,三角形内心定义,三角形内角和定理。【分析】⑴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知△CDB是等腰三角形,从而得对应角∠BCE＝∠ABC．从而由两个都是直角三角形而得证。⑵①由相似三角形两个角相等的判定,分别作出两个角即可得到。②由三角形内心是角平分线的交点和相似三角形对应角相等的性质推出三个角之间的关系,再应用三角形内角和定理求。22.（江苏省南京市2022年11分）问题情境:已知矩形的面积为（为常数，＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型:设该矩形的长为，周长为，则与的函数关系式为．探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．①填写下表，画出函数的图象：x……1234……y…………②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数42\n的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．【答案】解:⑴①x……1234……y……2……函数的图象如图：②本题答案不唯一，下列解法供参考．当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．③===当=0，即时，函数的最小值为2．⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为。【考点】画和分析函数的图象,配方法求函数的最大(小)值。【分析】⑴将x值代入函类数关系式求出y值,描点作图即可.然后分析函数图像.⑵仿⑴③=42\n==所以,当=0，即时，函数的最小值为。23.（（2022江苏南京9分）“？”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．？我的结果也正确小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？”结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样……（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【答案】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由。在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为ym，则长为2ym。则矩形蔬菜种植区域的宽为（y－1－1）m，长为（2y－3－1）m。42\n∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1。（2）a+cb+d=2。理由如下：要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即a+cb+d=2。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质。【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，然后利用比例的性质。24.（2022江苏南京10分）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。（1）已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。①若AB为⊙O的直径，则∠APB=②若⊙O半径为1，AB=，求∠APB的度数（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，∠APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。【答案】解：（1）①900。②如图，连接AB、OA、OB．在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2。∴∠AOB=90°。42\n当点P在优弧AB上时（如图1），∠APB=∠AOB=45°；当点P在劣弧AB上时（如图2），∠APB=（360°－∠AOB）=135°。（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN-∠ANB。第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，∠APB=∠MAN+∠ANB。【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。【分析】（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论即可。（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。42