【中考12年】江苏省盐城市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

[中考12年]盐城市2022-2022年中考数学试题分类解析专题12：押轴题一、选择题1.（2022年江苏盐城4分）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点（1，0），……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（）A.过点（3，0）B.顶点是（2，－2）C.在x轴上截得的线段长是2D.与y轴的交点是（0，3）2.（2022年江苏盐城4分）下列四个命题：①如果两个点到一条直线的距离相等，那么过这两点的直线与已知直线平行；②函数y=中，y随x的增大而减小；③与都是最简二次根式；④“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是真命题。其中，不正确的命题个数是：【】A、1B、2C、3D、4【答案】C。【考点】命题与定理，最简二次根式，反比例函数的性质，平行线的判定。【分析】根据命题的相关概念，结合平行线的判断，反比例函数的性质，最简二次根式的概念，找出真命题、假命题的个数：59\n①如果两个点到一条直线的距离相等，那么过这两点的直线与已知直线平行或相交，故①错误。②函数中，在同一象限内，y随x的增大而减小，故②错误。③与中，，所以不是最简二次根式，故③错误。④逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”，④正确。有三个命题不正确，故选C。3.（2022年江苏盐城3分）下列四个命题：①三个角对应相等的两个三角形是全等三角形②到已知角两边距离相等的点的轨迹，是这个角的角平分线③用全等的正三角形，可以进行平面镶嵌④圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中错误的命题有【】A．1个B．2个C．3个D．4个4.（2022年江苏盐城3分）如图是一个圆柱形木块,四边形ABB1A1是经边它的轴的剖面,设四边形ABB1A1的面积为S,圆柱的侧面积为,则S与的关系是【】59\nA.B.C.D.不能确定5.（2022年江苏盐城3分）现规定一种新的运算“﹡”：a﹡b=ab，如3*2=32=9，则*3=　【　　】Ａ．Ｂ．8Ｃ．Ｄ．6.（2022年江苏盐城3分）在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成三角形，又能拼成平行四边形和梯形的可能是【】A．B．C．D．7.（2022年江苏盐城3分）如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，如图所示的图象中最符合故事情景的是【】59\nA．B．C．D．8.（2022年江苏盐城3分）甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击20次，3人的测试成绩如下表丙的成绩乙的成绩甲的成绩环数78910环数78910环数78910频数5555频数6446频数4664则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是【】A．甲B．乙C．丙D．3人成绩稳定情况相同【答案】A。【考点】方差。【分析】方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。因此，分别计算三人测试成绩的方差作出比较落后即可。59\n经计算，三人的平均成绩都是8.5，甲的方差，乙的方差，丙的方差。∴甲的方差＜丙的方差＜乙的方差。∴甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是甲。故选A。9.（2022年江苏省3分）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；……第个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【】A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数【答案】A。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：第1个数：；第2个数：；第3个数：；按此规律，59\n第个数：；第个数：。∵，∴越大，第个数越小，所以选A。10.（2022年江苏盐城3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是【】A．38B．52C．66D．7411.（2022年江苏盐城3分）小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校.图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系.下列说法错误的是【】A．他离家8km共用了30minB．他等公交车时间为6minC．他步行的速度是100m/minD．公交车的速度是350m/min【答案】D。【考点】一次函数的图象。59\n【分析】从图可知，他离家8km共用了30min，他等公交车时间为16－10=6min，他步行的速度是100m/min，公交车的速度是。故选D。12.（2022年江苏盐城3分）已知整数满足下列条件：,,,,…,依次类推，则的值为【】A．B．C．D．二、填空题1.（2022年江苏盐城2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.若以C为圆心、R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是▲.59\n【答案】R或【考点】直线与圆的位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。【分析】以C为圆心、R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况：（1）当圆与AB相切时，过点C作CD⊥AB于点D，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴根据勾股定理得AB=5。易得Rt△ABC∽Rt△ACD，∴，即。∴。∴当R时，圆与斜边AB只有一个公共点。（2）在AB上作点A关于点D的对称点E，则当以C为圆心、R为半径所作的圆与斜边AB交于EB之间（含点B，不含点E）时，圆与斜边AB只有一个公共点，此时，。综上所述，当R或时，以C为圆心、R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点。2.（2022年江苏盐城2分）测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点作为观测点，从M点测得山顶P的仰角为30℃，在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm，则山顶P的海拔高度为▲m（取=1.732）。59\n3.（2022年江苏盐城2分）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，为C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为▲度．59\n4.（2022年江苏盐城2分）如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=900,则∠BCD=▲0.5.（2022年江苏盐城3分）已知：P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，过P点作直线与⊙O相交，交点分别为B、C，若PA=4，PB=2，则BC=　　▲　．59\n6.（2022年江苏盐城3分）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C＝1∶2，则∠BOD＝▲度.7.（2022年江苏盐城3分）如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，搭1条小鱼用8根火柴棒，搭2条小鱼用14根，…，则搭n条小鱼需要▲ 根火柴棒．（用含n的代数式表示）8.（2022年江苏盐城3分）如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，59\n动点P从点A出发，以cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为▲s时，BP与⊙O相切．【答案】1或5。【考点】动点问题，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，，弧长公式，分类思想的应用。【分析】连接OP，∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，∴∠OPB=900。∵AB=OA，OA=OP，∴OB=2OP。∴。∴∠POB=60°。∵OA=3cm，∴。∵圆的周长为6π，∴根据对称性点P运动的距离为π或6π－π=5π。∵点P的速度为cm/s∴当t=1s或5s时，有BP与⊙O相切。9.（2022年江苏省3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．59\n10.（2022年江苏盐城3分）如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k=▲．【答案】4。【考点】反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质。【分析】分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，再过点A作AF⊥BE于F。则AD∥BE，AD=2BE=。∴B、E分别是AC、DC的中点。在△ABF与△CBE中，∠ABF=∠CBE，∠F=∠BEC=900，AB=CB，∴△ABF≌△CBE（AAS）。∴S△AOC=S梯形AOEF=6。又∵A（a，），B（2a，），59\n∴。解得：k=4。11.（2022年江苏盐城3分）将1、、、按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是▲．12.（2022年江苏盐城3分）一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元,随着影响的扩大,第n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%,则当该月所募集到的资金首次突破10万元时,相应的n的值为▲.(参考数据:,,)【答案】13。【考点】同底数幂的乘法【分析】第一个月募集到资金1万元，则由题意第二个月募集到资金（1+20%）万元，第三个月募集到资金（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金（1+20%）n-1万元，由题意得：（1+20%）n－1＞10，即1.2n－1＞10.∵1.25×1.26≈7.5＜10，1.25×1.27≈10.8＞10，59\n∴n－1=5+7=12，解得，n=13。三、解答题1.（2022年江苏盐城11分）如图，已知：PA切于⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C，PD⊥AB于D，延长PD交AO的延长线于E，连结CE并延长交⊙O于F，连结AF.（1）求证：PD·PE=PB·PC；（2）求证：PE∥AF；（3）连AC，若AE：AC=1：，AB=2，求EF的长.【答案】解：（1）∵PA切⊙O于点A，∴AO⊥PA。∵PD⊥AB，∴。∴PA²=PD·PE……①。∵PBC是⊙O的割线，PA为⊙O切线，∴PA²=PB·PC……②。联立①②，得PD·PE=PB·PC。（2）∵由（1）PD·PE=PB·PC，∴。∵∠BPD=∠EPC（公共角），∴△BDP∽△ECP。∴∠PBD=∠PEC。∵四边形ABCF内接于圆，∴∠PBD=∠F。∴∠F=∠PEC。∴PE//AP。（3）∵AP是⊙O的切线，∴∠PAB=∠PCA。∵∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA。∴……①。59\n∵∠PAE=∠ADP=900，∴∠APD+∠PAD=900，∠APD+∠AEP=900。∴∠PAB=∠AEP=∠FAE。∵∠ABP=∠F，∴△AEF∽△APB。∴。即……②。联立①②，有。∵AE：AC=1：，AB=2，∴。2.（2022年江苏盐城12分）已知一次函数和反比例函数的图象都经过A、B两点，A点的横坐标为x1，B点的横坐标为x2，且2x1－x2=6.（1）求k的值；（2）求△OAB的面积；（3）若一条开口向下的抛物线过A、B两点，并在过点B且和OA平行的直线上截得的线段长为2，试求该抛物线的解析式.∵抛物线开口向下，∴舍去。∴。∴P（－2，2）。设所求抛物线的解析式为。59\n∵抛物线经过点A，B，P，∴，解得。∴所求抛物线的解析式为。【考点】一、二次函数和反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，两直线平行的性质，二次函数的性质。59\n3.（2022年江苏盐城11分）已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=900，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=450，（1）求证：BD·BC=BG·BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF∶FD的值。【答案】解：（1）证明：∵∠BAC=900，AB=AC，∴∠ABC=∠C=450。∵∠BGD=∠FGE=450，∴∠C=∠BGD。∵∠GBC=∠GBC，∴△GBD∽△CBE。∴，即BD•BC=BG•BE。（2）证明：∵BD•BC=BG•BE，∠C=450，∴。∴。∵∠ABG=∠EBA，∴△ABG∽△EBA。59\n∴∠BGA=∠BAE=900。∴AG⊥BE。（3）连接DE，∵E是AC中点，D是BC中点，∴DE∥BA。∵BA⊥AC，∴DE⊥AC。设AB=2a，AE=a，作CH⊥BE交BE的延长线于H，∵∠AEG=∠CEH，∠AGE=∠CHE，AE=EC，∴△AEG≌△CEH（AAS）。∴CH=AG，∠GAE=∠HCE。∵∠BAE为直角，∴BE=。∵由（2）△ABG∽△EBA，∴。∴。∴CH=。∵AG⊥BE，∠FGE=450，∴∠AGF=450=∠ECB。∵∠FGE=450，∴∠AGE=900。∴AG∥CH。∴∠GAE=∠HCE。∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB，∴∠DFE=∠BCH。又∵DE⊥AC，CH⊥BE，∴△DEF∽△BHC。∴。4.（2022年江苏盐城12分）59\n已知：如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，2）的直线AB与以坐标原点为圆心，为半径的圆相切于点C，且与x轴的负半轴相交于点B，（1）求∠BAO的度数；（2）求直线AB的解析式；（3）若一抛物线的顶点在直线AB上，且抛物线的顶点和它与x轴的两个交点构成斜边长为2的直角三角形，求此抛物线的解析式。【答案】解：（1）∵AB与⊙O相切，∴OC⊥AB。在直角三角形OAC中，OC=，OA=2，∴。∴∠BAO=600。（2）在直角三角形BAO中，∵∠BAO=600，OA=2，∴OB=2。∴B（－2，0）。设直线AB的解析式为y=kx＋2，则有：。∴直线AB的解析式为。（3）设抛物线的顶点坐标为（x，），∴。①若，则。∴抛物线顶点坐标为（，1）。设抛物线的解析式为，∵抛物线的对称轴为x=，且与x轴两交点的距离为2，∴可得出两交点坐标为（，0）和（，0）。代入抛物线的解析式中可得：a=－1。∴抛物线的解析式为。②若，则。59\n∴抛物线顶点坐标为（，－1）。设抛物线的解析式为，∵抛物线的对称轴为x=，且与x轴两交点的距离为2，∴可得出两交点坐标为（，0）和（，0）。代入抛物线的解析式中可得：a=1∴抛物线的解析式为。综上所述，抛物线的解析式为：和。5.（2022年江苏盐城11分）如图，已知CA、CB都经过点C，AC是⊙B的切线，⊙B交AB于点D，连接CD并延长交OA于点E，连接AF．（1）求证：AE⊥AB；（2）求证：DE•DC=2AD•DB；（3）如果，AE=3，求BC的长．【答案】解：（1）证明：如图，59\n∵BC=BD，AC=AE，∴∠1=∠3，∠2=∠5。∵AC是⊙B的切线，∴∠1＋∠2=900。又∵∠3=∠4，∴∠4＋∠5=900。∴∠EAB=900。∴AE⊥AB。（2）证明：如图，延长AB交⊙B于点F，连接CF。∵DF是⊙B的直径，∴∠FCD=900。又∵∠EAD=900，∴∠EAD=∠FCD。又∵∠4=∠3，∴△EAD∽△FCD。∴，即。∴DE•DC=2AD•DB。（3）∵，∴，即。∵AC是⊙B的切线，∴。又∵AC=AE=3，∴，即，。∴，解得。∴。∴BC=4。6.（2022年江苏盐城11分）如图，已知抛物线（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，以AB为直径的圆经过点C及抛物线上的另一点D，∠ABC=60度．59\n（1）求点A和点B的坐标（用含有字母c的式子表示）；（2）如果四边形ABCD的面积为，求抛物线的解析式；（3）如果当x＞1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．【答案】解：（1）∵C（0，c），∴OC=c。∵∠ABC=600，∴。∴B（）。连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB=900。∴∠BAC=300。∴。∴A（）。（2）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴CD＋BA=2OA=。∵四边形ABCD的面积为，∴。∴。∵，∴。59\n∴A（），B（），C（0，1）。设抛物线的解析式为，将C（0，1）代入得。∴抛物线的解析式为，即。（3）∵A（），B（），C（0，c）∴设抛物线的解析式为，将C（0，c）代入得，∵c＞0，∴。∴抛物线的解析式为，即。∴抛物线的对称轴为。∵当x＞1时，y随x的增大而减小，∴。∵＜0，∴。7.（2022年江苏盐城10分）如图1，E为线段AB上一点，AB=4BE，以AE，BE为直径在AB的同侧作半圆，圆心分别为O1，O2，AC、BD分别是两半圆的切线，C、D为切点。(1)求证：AC=BD;59\n(2)现将半圆O2沿着线段BA向点A平移,如图2,此时半圆O2的直径E/B/在线段AB上,AC/是半圆O2的切线,C/是切点,当为何值时,以A、C/、O2为顶点的三角形与△BDO1相似.【答案】解：（1）证明：连接O1D，O2C，设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，则R=3r。在直角三角形BO1D中，∵BO1=5r，O1D=3r，∴BD=4r。同理可求得AC=。∴AC=BD。（2）同（1）连接O1D，O2C，设⊙O2的半径为r，设AE′=kAE，因此AE′=8kr。①当∠C′AO2=∠B时，，即，∴。59\n②当∠C′AO2=∠BO1D时，，即，∴。综上所述，当或时，以A、C′、O2为顶点的三角形与△BDO1相似。【考点】切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定，分类思想的应用。【分析】（1）如果设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，那么根据AB=4BE，可知R=3r．连接O1D，O2C，那么O1B=5r，AO2=7r，可在直角△BO1D中求出BD的长，同理求出AC的长，即可得出AC，BD的比例关系。（2）分两种情况进行讨论：①当∠CAO2=∠B时，O2C，O1D和AO2，BO1分别对应成比例，设AE′=kAE，那么可用k，r表示出AE′的长，然后代入比例关系式中即可求出k的值。②当∠CAO2=∠DO1B时，AO2，BO1和O2C，BD对应成比例，然后按①的方法即可求出此时k的值。8.（2022年江苏盐城11分）如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2)把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3)把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵点F在AD上，∴AF2=a2＋a2，即AF=。∴。∴。59\n（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，∴四边形AFDB是梯形。∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底。由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，∴。（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，∵△BFD的边BD=，∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值。如图，当DF⊥BD时，S△BFD的最大值=，S△BFD的最小值=。第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，S△BFD的最大值=。59\n9.（2022年江苏盐城12分）已知：如图所示，直线l的解析式为，并且与x轴、y轴分别相交于点A、B．（1）求A、B两点的坐标；（2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/每秒的速度向x轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线l相切；（3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位/秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？【答案】解：（1）∵直线l的解析式为，并且与x轴、y轴分别交于点A、B，∴当y=0时，x=4；当x=0时，y=－3。∴A、B两点的坐标分别为A（4，0）B（0，－3）。（2）若动圆的圆心在C处时与直线l相切，设切点为D，∵A（4，0）B（0，－3），∴AB=。如图，连接CD，则CD⊥AD。∵∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=900，∴Rt△ACD∽Rt△ABO。∴。∵CD=1，BO=3，AB=5，59\n∴。∴。∴。∵圆运动的速度为0.4个单位/每秒，∴t=（秒）。根据对称性，圆还可能在直线l的右侧，与直线相切，若动圆的圆心在E处时与直线l相切，设切点为F，此时，t=（秒）。∴当圆运动秒或秒时圆与直线l相切。（3）如图，设t秒时，圆心运动到点G，连接GP，∵动点P的速度是0.5个单位/秒，∴BP=0.5t，AP=5－0.5t。∵动圆的速度是0.4个单位/秒，∴OG=0.4t，AP=4－0.4t。∴。∴。∴△AGP∽△AOB，且GP∥OB。∴GP⊥OA。∴当GP=1（圆的半径）时，点P进入动圆的圆面。∴，即。∴。∴点P经过AP的时间为（秒）。根据对称性，点A的右边点P在动圆的圆面上还有秒。∴在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了秒。59\n10.（2022年江苏盐城12分）已知：在矩形ABCD中，AB=2，E为BC边上的一点，沿直线DE将矩形折叠，使C点落在AB边上的C点处．过C′作C′H⊥DC，C′H分别交DE、DC于点G、H，连接CG、CC′，CC′交GE于点F．（1）求证：四边形CGC′E为菱形；（2）设sin∠CDE=x，并设，试将y表示成x的函数；（3）当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC的长．【答案】解：（1）证明：根据题意，C、C′两点关于直线DE成轴对称，DE是线段CC′的垂直平分线，∴EC=EC′，GC=GC′，∠C′EG=∠CEG。由C′H⊥DC，BC⊥DC得：C′G∥CE，∴∠C′GE=∠GEC。∵∠C′EG=∠CEG，∴∠C′GE=∠C′EG。∴C′G=C′E。∴C′G=C′E=EC=GC。∴四边形CGCE为菱形。（2）设DE=a，由得CE=ax。又∵DC⊥CE，CF⊥DE，∴△DCE∽△CFE。∴。∴EF=，DG=DE－2EF=a－2ax2。∴。∴。59\n（3）由（2）得：，∴当x=时，此函数的图象达到最高点，此时，。∵GH∥CE，∴。由DC=2，得DH=。在Rt△DHC′中，。∴BC=。11.（2022年江苏盐城10分）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．59\n12.（2022年江苏盐城12分）已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB，过B作BC⊥AB，交AE于点C.（1）当B点的横坐标为时，求线段AC的长；（2）当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；（3）设过点P（0，－1）的直线l与（2）中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且59\n，求直线l的解析式．【答案】解：（1）∵A（0,1），B（），∴在Rt△AOB中，可求得AB＝。∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=900，∴△ABO∽△ABC。∴，由此可求得：AC＝。（2）当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则AC＝AD。∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，∴OB2＝AO×OD，即，化简得：。当O、B、C三点重合时，y=x=0。∴y与x的函数关系式为：。（3）∵直线l过点P（0，－1），∴设直线l的解析式为y=kx－1，59\n则由题意可得：，消去y得：，则有。由题设知：，即，∴，即。解之得：k1=2，k2=。当k1=2时，的△＝64－16>0，符合题意；当k2=时，的△＝4－16<0，不合题意，舍去。∴所求的直线l的解析式为：。13.（2022年江苏盐城12分）操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形．根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=5，CF=1，求DF的长度．59\n【答案】解：（1）作图如下：（2）结论：AB=AF+CF。证明如下：分别延长AE、DF交于点M。∵E为BC的中点，∴BE=CE。∵AB∥CD，∴∠BAE=∠M。在△ABE与△MCE中，∵∠BAE=∠M，∠AEB=∠MEC，BE=CE，∴△ABE≌△MCE（AAS）。∴AB=MC。又∵∠BAE=∠EAF，∴∠M=∠EAF。∴MF=AF。59\n又∵MC=MF+CF，∴AB=AF+CF。（3）分别延长DE、CF交于点G。∵AB∥CF，∴∠B=∠C，∠BAE=∠G。∴△ABE∽△GCE。∴。又∵，∴。∵AB=5，∴GC=10。∵FC=1，∴GF=9。∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G。又∵∠BAE=∠EDF，∴∠G=∠EDF。∴GF=DF。∴DF=9。【考点】作图（复杂作图），全等三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据全等三角形的判定中的边角边为作图的理论依据，来画出全等三角形。（2）作辅助线，将AB，FC，AF构建到一个相关联的三角形中，可延长AE、DF交于点M，不难证明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，现在只要将AF也关联到三角形BEC中，易知，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是个等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC。（3）作法与（2）类似，延长DE、CF交于点G，不难得出△ABE∽△GCE，可根据线段的比例关系和AB的值得到CG的值，然后就能得出FG的值，同（2）可得出△DFG是等腰三角形，那么DF=GF，这样就求出DF的值了。14.（2022年江苏盐城13分）如图，矩形EFGH的边EF=6cm，EH=3cm，在▱ABCD中，BC=10cm，AB=5cm，sin∠ABC=，点E、F、B、C在同一直线上，且FB=1cm，矩形从F点开始以1cm/s的速度沿直线FC向右运动，当边GF所在直线到达D点时即停止．（1）在矩形运动过程中，何时矩形的一边恰好通过▱ABCD的边AB或CD的中点．（2）若矩形运动的同时，点Q从点C出发沿C－D－A－B的路线，以cm/s的速度运动，矩形停止时点Q也即停止运动，则点Q在矩形一边上运动的时间为多少s？（3）在矩形运动过程中，当矩形与平行四边形重叠部分为五边形时，求出重叠部分面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出时间t的范围．是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S=16.5cm2？若存在，求出时间t，若不存在，说明理由．59\n【答案】解：（1）作AM⊥BC，∵AB=5，sin∠ABC=，∴BM=4，AM=3。①当GF边通过AB边的中点N时，有BF=BM=2，∴t1=3（s）。②当EH边通过AB边的中点N时，有BE=BM=2，∴BF=2+6=8。∴t2=8+1=9（s）。③当GF边通过CD边的中点K时，有CF=2，∴t3=1+10+2=13（s）。综上所述，当t等于3s或9s或13s时，矩形的一边恰好通过平行四边形的边AB或CD的中点。（2）点Q从点C运动到点D所需的时间为：（s），此时，DG=1＋14－10=5。点Q从D点运动开始到与矩形相遇所需的时间为：（s）。∴矩形从与点Q相遇到运动到停止所需的时间为：，从相遇到停止点Q运动的路程为：。∵，∴点Q从相遇到停止一直在矩形的边GH上运动。∴点Q在矩形的一边上运动的时间为：s。59\n（3）设当矩形运动到t（s）（7＜t＜11）时与平行四边形的重叠部分为五边形，则BE=t－7，AH=4－（t－7）=11－t。在矩形EFGH中，有AH∥BF，∴△AHP∽△BEP。∴，即。∴。∴（7＜t＜11）。由对称性知当11＜t＜15时重叠部分仍为五边形，综上，S与t的函数关系式为：（7＜t＜15且t≠11）。（把s=16.5代入得：，解得：t=9或13。∴当t=9或13时重叠部分的面积为16.5cm2。【考点】二次函数综合题，动点问题，矩形的性质，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。【分析】（1）何时矩形的一边恰好通过ABCD的边AB或CD的中点，题目本身就不明确，到底是GF还是HE，经过了AB的中点还是CD的中点，所以必须分情况讨论，即①当GF边通过AB边的中点②当EH边通过AB边的中点③当GF边通过CD边的中点。（2）点Q在矩形一边上运动的时间为多少s，这里的“一边”是哪一边，必须分情况进行解释，所以也有三种情况。（3）设当矩形运动到t（s）（7＜t＜11）时与平行四边形的重叠部分为五边形，则BE、AH都可用含有t的式子表示出来．在矩形EFGH中易证△AHP∽△BEP根据对应线段成比例，可求出EP的长，因此面积可表示出来。15.（2022年江苏盐城12分）如图，直线经过点B(，2)，且与x轴交于点A．将抛物线沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．（1）求∠BAO的度数；（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F．当线段EF∥x轴时，求平59\n移后的抛物线C对应的函数关系式；（3）在抛物线平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．【答案】解：（1）∵点B(，2)在直线AB上，∴，解得b=3。∴直线AB：。∴A（，0），即OA=。作BH⊥x轴，垂足为H．则BH=2，OH=，AH=。∴。∴。（2）设抛物线C顶点P（t，0），则抛物线C：，∴E（0，）。∵EF∥x轴，∴点E、F关于抛物线C的对称轴对称。∴F（2t，）。∵点F在直线AB上,∴，解得。∴抛物线C为或。.（3）假设点D落在抛物线C上，不妨设此时抛物线顶点P(t，0)，则抛物线C：，AP=+t。连接DP，作DM⊥x轴，垂足为M．由已知，得△PAB≌△DAB，又∠BAO＝300，∴△PAD为等边三角形。59\n∴PM=AM＝。∴。∴，。∴。∴。∵点D落在抛物线C上，∴，即。∴。当时，此时点P，点P与点A重合，不能构成三角形，不符合题意；当时，此时点P，能构成三角形。∴点P为。∴当点D落在抛物线C上顶点P为。59\n16.（2022年江苏盐城12分）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为▲，数量关系为▲．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．59\n【答案】解：（1）①垂直；相等。②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立。由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=900。∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC。∴∠DAB=∠FAC。又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC（SAS）。∴CF=BD，∠ACF=∠ABD。∵∠BAC=900，AB=AC，∴∠ABC=450，∴∠ACF=450。∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=900，即CF⊥BD。（2）作图如下：当∠BCA=45º时，CF⊥BD。理由如下：　　　　　　过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG。可证：△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠AGD=450。∴∠BCF=∠ACB＋∠ACF=900，即CF⊥BD。（3）当具备∠BCA=450时，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，∵DE与CF交于点P，∴此时点D位于线段CQ上。∵∠BCA=450，∴AQ=CQ=4。设CD=x，∴DQ=4—x。易证△AQD∽△DCP，∴。∴.∴。∵0＜x≤3，∴当x=2时，CP有最大值1。59\n17.（2022年江苏省12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点A的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点B的坐标为。设线段AB所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。59\n∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点C的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段BC所对应的函数关系式为。（3）线段AB。18.（2022年江苏省12分）如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．59\n【答案】解：（1）∵OM=5，，∴。∴。过点P作PH⊥轴于点H，∵，，∴OD=3，OE=4，DE=5。又∵，且，∴，即。∴。∴。∴。（2）①当的圆心C由点向左运动，使点A到点D时，有，即。当点C在点D左侧，与射线DE相切时，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，则由，得，则．解得。由，即，解得。∴当与射线DE有公共点时，的取值范围为。②（I）当PA=AB时，过P作PQ轴，垂足为Q，有。59\n由（1）得，，，∴。又∵，∴，即。解得。（II）当PA=PB时，有，∴，解得。（III）当PB=AB时，有，∴，即。解得（不合题意，舍去）。综上所述，当是等腰三角形时，，或，或，或。19.（2022年江苏盐城12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=750，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．（1）求∠AED的度数；（2）求证：AB=BC；（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=300．求的值．59\n【答案】解：（1）∵∠BCD=750，AD∥BC，∴∠ADC=1050。由等边△DCE可知：∠CDE=600，∴∠ADE=450。由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB=900，∴∠AED=450。（2）证明：由（1）知：∠AED=450，∴AD=AE。∴点A在线段DE的垂直平分线上。由△DCE是等边三角形得：CD=CE，∴点C也在线段DE的垂直平分线上。∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE。连接AC，∵∠AED=450，∴∠BAC=450。又∵AB⊥BC，∴BA=BC。（3）∵∠FBC=300，∴∠ABF=600。连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，∵∠FBC=300，∠DCB=750，∴∠BFC=750。∴BC=BF。由（2）知：BA=BC，∴BA=BF。∵∠ABF=600，∴AB=BF=FA。59\n又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠FAG=∠G=300。∴FG=FA=FB。∵∠G=∠FBC=300，∠DFG=∠CFB，FB=FG，∴△BCF≌△GDF（SAS）。∴DF=CF，即点F是线段CD的中点。∴。【考点】直角梯形的性质，平行的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）要求∠AED的度数，只要求∠ADE的度数，或者求∠DEA的度数，本题容易求得∠ADE的度数。（2）要证明AB=BC，则可作辅助线，过D点作DF⊥BC，交BC于点利用△DFC≌△CBE可以得到DF=BC从而得证，最为简洁。（3）要求，连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，可得BC=BF，由（2）知：BA=BC，从而推出△BCF≌△GDF，可得DF=CF，即可得解。20.（2022年江苏盐城12分）已知：函数的图象与x轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．59\n【答案】解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点。当a≠0时，由△=1－4a=0得，此时，图象与x轴只有一个公共点。∴函数的解析式为：y=x+1或。（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C，∵是二次函数，∴由（1）知该函数关系式为：。∵，∴顶点为B（－2，0）。令x=0，得，∴图象与y轴的交点坐标为A（0，1）。∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B，∴PB⊥AB。∴∠PBC=∠BAO。∴Rt△PCB∽Rt△BOA。∴。∴PC=2BC。设P点的坐标为（x，y），∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角。∴x＜－2。∴BC=－2－x，PC=－4－2x，即y=－4－2x，P点的坐标为（x，－4－2x）。59\n∵点P在二次函数的图象上，∴，解之得：x1=－2，x2=－10。∵x＜－2，∴x=－10。∴P点的坐标为：（－10，16）。（3）点M不在抛物线上。理由如下：由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ，即QE是中位线。∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE。∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴，∴∠QCE=∠EQB=∠CPB。∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=，CE=2QE=2×2BE=4BE。又∵CB=8，∴BE=，QE=。∴Q点的坐标为（）。∴可求得M点的坐标为（）。∵，∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，锐角三角函数定义，分类思想的应用。【分析】（1）分两种情况：①a=0，此函数是一次函数，与x轴只有一个交点；②a≠0，此函数是二次函数，可由根的判别式求出a的值，以此确定其解析式。（2）设圆与x轴的另一个交点为C，连接PC，由圆周角定理知PC⊥BC；由于PB是圆的直径，且AB切圆于B，得PB⊥AB，由此可证得△PBC∽△BAO，根据两个相似三角形的对应直角边成比例，即可得到PC、BC的比例关系，可根据这个比例关系来设P点的坐标，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标。（3）连接CM，设CM与PB的交点为Q，由于C、M关于直线PB对称，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；过M作MD⊥x轴于D，取CD的中点E，连接QE，则QE是Rt△CMD的中位线；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易证得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它们的正切值都等于59\n（在（2）题已经求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已经求出了CB的长，根据CE、BE的比例关系，即可求出BE、CE、QE的长，由此可得到Q点坐标，也就得到M点的坐标，然后将点M代入抛物线的解析式中进行判断即可。21.（2022年江苏盐城12分）情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是▲，∠CAC′=▲°．问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.59\n22.（2022年江苏盐城12分）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点A，且与轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥轴于点C，过点B作直线l∥轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的59\n速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）根据题意，得，解得，∴点A的坐标为(3，4)。令，得。∴点B的坐标为（7，0）。（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4。由S△APR＝S梯形COBA－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，得(3＋7)×4－×3×(4－t)－t(7－t)－t×4＝859\n整理，得t2－8t＋12＝0,解之得t1＝2，t2＝6（舍去）。当P在CA上运动时，4≤t＜7。由S△APR＝×(7－t)×4＝8，得t＝3（舍去）。∴当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8。②当P在OC上运动时，0≤t＜4.，此时直线l交AB于Q。∴AP＝，AQ＝t，PQ＝7－t。当AP＝AQ时，（4－t）2＋32＝2(4－t)2，整理得，t2－8t＋7＝0，解之得t＝1，t＝7(舍去)。当AP＝PQ时，（4－t）2＋32＝(7－t)2，整理得，6t=24.，∴t＝4(舍去)。当AQ＝PQ时，2（4－t）2＝(7－t)2，整理得，t2－2t－17＝0解之得t=1±3(舍去)。当P在CA上运动时，4≤t＜7，此时直线l交AO于Q。过A作AD⊥OB于D，则AD＝BD＝4。设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE＝RD＝t－4，AP＝7－t.。由cos∠OAC＝＝，得AQ＝(t－4)。当AP＝AQ时，7－t＝(t－4)，解得t＝。当AQ＝PQ时，AE＝PE，即AE＝AP，得t－4＝(7－t)，解得t＝5。当AP＝PQ时，过P作PF⊥AQ于F，AF＝AQ＝×(t－4)。59\n在Rt△APF中，由cos∠PAF＝＝，得AF＝AP，即×(t－4)＝×(7－t)，解得t＝。综上所述，t＝1或或5或秒时，△APQ是等腰三角形。23.（2022年江苏盐城12分）知识迁移：当且时，因为≥,所以≥,从而≥(当时取等号).记函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为.直接应用：已知函数与函数,则当_________时,取得最小值为_________.变形应用：已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该最小值时相应的的值.实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？59\n【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：∵函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为，∴函数与函数，则当时，取得最小值为。变形运用：先得出的表达式，然后将看做一个整体，再运用所给结论即可。实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案。24.（2022年江苏盐城12分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=+2t．现以线段OP为直径作⊙C．59\n①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．【答案】解：（1）将点A（2，0）和点B的坐标代入,得，解得。∴二次函数的表达式为。（2）①当点P在点B处时，直线与相切。理由如下：∵点P，∴圆心的坐标为C，的半径为。又抛物线的顶点坐标为（0，－1），即直线上所有点的巫坐标均为－1，从而圆心C到直59\n∴。∴当时,取得最大值为。59\n59